北京建国里中学高三数学文期末试卷含解析

北京建国里中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.右图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：D 通过函数图象，可以看出①②③均正确.故选D.

2.设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D3.已知A，B，C三点都在以O为球心的球面上，OA，OB，OC两两垂直，三棱锥O﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A． B．16π C． D．32π参考答案：B【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，所以三棱锥O﹣ABC的体积为，利用三棱锥O﹣ABC的体积为，求出R，即可求出球O的表面积．【解答】解：设球O的半径为R，则OA=OB=OC=R，所以三棱锥O﹣ABC的体积为．由，解得R=2．故球O的表面积为16π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．4.已知点在角的终边上，且，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.函数f（x）=﹣x2+2x，x∈[﹣1，3]，则任取一点x0∈[﹣1，3]，使得f（x0）≥0的概率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】解不等式f（x0）≥0，求出满足条件的x0的取值范围，利用几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：由f（x0）≥0得﹣x02+2x0≥0，解得0≤x0≤2，则有几何概型的概率公式可知f（x0）≥0的概率是=，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据一元二次不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键．6.过抛物线x2=4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，C，D四点，且AB⊥CD，则?+?的最大值等于（）A．﹣4 B．8 C．4 D．﹣16参考答案：D【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD的方程为．分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：如图所示，由抛物线x2=4y可得焦点F（0，1）．设直线AB的方程为：y=kx+1，（k≠0）．∵AB⊥CD，可得直线CD的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．联立，化为x2﹣4kx﹣4=0，得x1+x2=4k，x1x2=﹣4．同理可得，x3x4=﹣4．∴=（x1，y1﹣1）?（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）=（1+k2）x1x2=﹣4（1+k2）．同理可得=．∴?+?==﹣16，当且仅当k=±1时取等号．∴?+?的最大值等于﹣16．故选：D．【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与抛物线相交转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的坐标运算和数量积运算、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．7.已知，而，则λ等于（

）A．1或2

B．2或

C．2

D．以上都不对参考答案：答案：B8.设是定义在R上的偶函数，对任意，都有且当时，．若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：D9.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心到O平面α的距离为（）A． B． C．1 D．2参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．【解答】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故选：A10.对于实数和，定义运算“?”：?=，设函数?，，若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.对于命题，使得，则为：__________________________。参考答案：，使得，12.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是________．参考答案：略13.函数的最小正周期

.参考答案：

14.的值等于

▲

．参考答案：【知识点】对数B7【答案解析】

==【思路点拨】根据对数的性质求解。15.已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为________.参考答案：216.已知不等式有实数解，则实数的取值范围是______________.参考答案：略17.若函数，则不等式的解集是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC－ccosA(1)

求A(2)

若a=2，△ABC的面积为，求b,c参考答案：19.某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：

ABCDE身高1.691.731.751.791.82体重指标19.225.118.523.320.9（Ⅰ）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．参考答案：【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键在于列举基本事件时做到不重不漏，是基础题．20.已知.（Ⅰ）若曲线与轴有唯一公共点，求的取值范围；（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）解：函数的定义域为..由题意，函数有唯一零点..（1）若，则.显然恒成立，所以在上是增函数.又，所以符合题意.（2）若，.；.所以在上是减函数，在上是增函数.所以.由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）.①若，则.令，则.；.所以函数在上是增函数，在上是减函数.所以.所以，当且仅当时取等号.所以，，且.取正数，则；取正数，显然.而，令，则.当时，显然.所以在上是减函数.所以，当时，，所以.因为，所以.又在上是减函数，在上是增函数.则由零点存在性定理，在、上各有一个零点.可见，，或不符合题意.注：时，若利用，，，说明在、上各有一个零点.②若，显然，即.符合题意.综上，实数的取值范围为.（Ⅱ）.令，则对任意的恒成立.

（1）当时，.当时，，所以在上是减函数.所以，当时，.可见，符合题意.（2）若，显然在上是减函数.取实数，显然.则（利用）.又，在上是减函数，由零点存在定点，存在唯一的使得.于是，当时，，函数在上是增函数.所以，当时，.可见，不符合题意.当时，分如下三种解法：解法一：（3）若，，.令，显然在上是减函数，所以，当时，，当且仅当时取等号.所以，当时，，在上是减函数.所以，当时，.所以，在上是减函数.所以，当时，.可见，符合题意.（4）若，，.令，显然在上是减函数，且，，所以，存在唯一的，使得，即.于是，当时，；当时，.所以，当时，；当时，.所以，在上是增函数，在上是减函数.所以，在上的最大值.将式代入上式，得.所以，当时，，所以在上是减函数.所以，当时，.可见，符合题意.综上，所求的取值范围是.解法二：（3）若，对任意的恒成立对任意的恒成立.令，.，当时，，所以在上是增函数.所以.显然在上是减函数，.所以，当时，，即对任意的恒成立.所以符合题意.综上，所求的取值范围是.解法三：（3）若，对任意的恒成立.令，.，当时，，所以在上是减函数.所以.所以，当时，.当，时，.所以，当，时，恒成立.所以符合题意.综上，所求的取值范围是.解法四：.令，则对任意的恒成立..令，当时，，所以在上是增函数.（1）若，则时，，，所以在上是增函数.所以，当时，.可见，符合题意.（2）若，，.（这里利用了时，）又在上是增函数，由零点存在性定理，知存在唯一的，使得.于是，当时，，，所以，在上是减函数.所以，当时，.可见，不符合题意.综上，所求的取值范围是.注：利用，，说明在上有零点.解法五：.令，则对任意的恒成立.（1）先寻求使结论成立的充分条件.由，要使对任意的恒成立.只需要在上是减函数，即对任意的恒成立.而，所以，只需要对任意的恒成立.令，.显然在上是减函数，所以，当时，.所以在上是减函数.所以在上的最大值.则只需要.可见，当时，对任意的恒成立.（2）当时，，（时，）.又时，在上是减函数，由零点存在定理，存在唯一的，使得.于是，当时，，所以在上是增函数.所以，当时，.可见，不符合题意.综上，所求的取值范围是.注：时，用，，说明在上有零点.21.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．（1）当时，求函数f（x）的值域；（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．参考答案：考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：解三角形．分析：利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x﹣A），由于函数在处取得最大值．令，其中k∈z，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由△ABC的面积等于，算出即可．解答： 解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA﹣cos2xsinA=sin（2x﹣A）又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在处取得最大值．∴，其中k∈z，即，其中k∈z，（1）∵A∈（0，π），∴A=∵，∴2x﹣A∴，即函数f（x）的值域为：（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即，∴b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA即49=169﹣3bc，∴bc=40故△ABC的面积为：S=．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正、余弦定理的应用，正弦函数的值域，属于中档题．22.已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（1）先将原极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到曲线C的直角坐标方程．（2）欲求△ABM面积的最大值，由于AB一定，故只要求AB边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M在过圆心且垂直于AB的直线上时，距离AB最远，据此求面积的最大值即可．解答