粘弹性与温度场联合识别的正演策略

粘弹性与温度场联合识别的正演策略

1粘弹性参数的反演和求解在航空、航空航天、原子能工业和寒冷区域工程等领域，材料结构的温度应力通常需要计算。这是实际工程中经常遇到的问题。确定温度场分布、本构参量及边界条件等有关系统参数,是进行温度应力分析的必要前提。但由于实际工程的复杂性及各种条件的限制,使这些参数和信息往往无法直接测取,从而给研究和生产带来了很大的不便。这时可借助反演技术,对有关量进行预估和推演。基于准静态位移的反演技术,被广泛用于对力学相关参量的反演识别,文献[1]采用迭代法反演坝体混凝土的弹性模量;文献[2]从有限元和优化方法出发,给出非均质粘弹性介质的分阶反演公式,并对粘弹性本构模式的识别作了初步探讨;文献[3]采用直接边界单元法,依据边界、域内位移、扰动力的量测信息,建立了可以同时反演确定三维初始地应力和弹性常数以及粘弹性常数的计算方法。文献[4]对准静态位移反演的优化方法进行了对比。但据作者目前的查阅,尚未见到利用准静态位移信息对粘弹本构参数与温度场进行联合反演的工作。本文借助有限元法,给出了粘弹性情况下,离散形式的准静态位移与待识别的粘弹性本构参数及温度场的显式关系;并据此提出了对粘弹性参数和温度场分布进行联合反演的方法,为热-力/位移反问题的求解提供了一条新思路。在以往的工作中,粘弹性本构参数的反演一般是被作为一个无约束优化问题提出和求解的。但从物理意义上讲,此类变量应该存在大于、等于‘0’的下限约束。此外,在粘弹性反问题的凸性没有保证的情况下,由于对设计变量没有进行约束,无约束优化模型在迭代求解过程中,往往产生数值震荡、计算效率降低、甚至结果发散的现象。为此,本文将此联合识别问题归结为一个带有多个不等式约束的非线性规划问题,并采用凝聚函数法进行求解,给出了数值验证,讨论了与时间相关和无关的信息误差对识别结果的影响。2面力向量q本文着重研究轴对称问题,对一般的三维问题,求解思路是完全相同的。粘弹性系统的控制方程可写成如下形式应变和位移关系为积分形式表达的本构关系为这里{ε}和{σ}分别表示应变和应力向量,{F}为体力向量;{σ}[D]为仅与泊松比ν有关的常数矩阵,对于轴对称问题,L是一个积分算子E为杨氏模量;t为时间;τ为积分变量;δ表示蠕变核函数。边界条件为:式中{ˆu}为给定位移向量;[n]为边界的方向余弦矩阵;{f}为给定边界上的面力向量;x为坐标;Γ=Γ可以证明其中,Q(t)将因不同的粘弹性模型而异其中,xBurgers模型是一种相对复杂的粘弹性模型,包含了工程中常用的线性模型。取其作为反演模型,主要是为了验证算法对较复杂的粘弹性本构关系的识别能力。对于较其更复杂的粘弹性模型,按本文思路进行求解在理论和计算上没有原则性的困难。{u}简明起见,假设节点载荷仅是由温度变化所引起的。将温度应变作为初应变处理对于轴对称问题,[N]是形状函数矩阵,[B]=[H文献[10]根据代理约束的概念和最大熵原理给出了一个可微函数即“凝聚函数”,其中p是一个正的控制参数。凝聚函数(27)与“极大约束”(26)之间存在如下不等式关系式中m为约束的个数,此式可用来估计误差。可以证明在数值求解时,只要p取足够大,则可认为问题(P2)与(P1)或(P)是等价的。当原问题至少有一个紧约束时,问题(P2)中的单个不等式约束可进一步写成等式约束。利用乘子法式中α为函数(27)的拉格朗日乘子,c为惩罚因子;α值在迭代中按下式修正:式(30)中的拉格朗日乘子α在数值上等于原问题所有约束的拉格朗日乘子之和,这正是“凝聚”的意义所在,它代表了一种“凝聚”后的“总体惩罚”,因而计算效率较高对无约束优化问题(30),采用标准的BFGS5正态分布问题反演实验结果为保证设计变量{X简明起见,本节略去了计算中各参量的单位,这并不影响对计算结果的分析。在弹性计算中,各单元取E=1,µ=3.0;在粘弹性计算中,Burgers模型中的E1、辨识结果及初值、测点对反演结果的影响表1列出了对E2、误差处理由于实际问题中信息误差是不可避免的,因而反演求解必须考虑该因素的影响。1)对于与时间无关的位移误差按下式模拟2)对于与时间有关的位移误差,考虑其符合正弦规律变化,按下式模拟1)、2)中,u设有一组容量为30的样本观察值,(计算时对某一固定的σ,随机选取30个符合标准正态分布的ξ值),根据这组位移观察值,便可反演出30组结果。假设此反演结果也符合正态分布,则平均值的置信区间由下式决定其中,x是识别值的平均值,t是具有自由度(N-1)的t分布在置信度为1-α下的值,S是样本均方差,N是样本容量。表2及表3给出在误差与时间无关/相关的情况下,待识别参量的均值及其95%的置信区间,即各待定参量的真值以95%的概率存在于如上给出的置信区间中。各计算参数同1。计算结果表明:1)本文提出的方法可通过准静态位移信息,同时对粘弹性本构参数及温度场的变化进行有效的识别。2)迭代初值的选取并不影响最终识别结果,但会影响迭代次数。3)在保证问题适定性的前提下,测点的多少对结果基本上没有影响;4)信息误差对反演结果有一定影响,特别是与时间相关的误差对结果的影响较大,且随着信息误差的标准差的增加,影响也随着增加;5)本算法中的控制参数p与优化问题中的收敛域直接相联系,p值越大,收敛域就越小;而另一方面,凝聚函数的原理又要求p值应越大越好;故p值需在迭代过程中逐步修正。6)计算中发现,拉格朗日乘子α初值的选取对计算效率及结果有较大影响。但对于本文所涉及的此类问题而言,绝大多数情况下,取α=0都可得较满意的结果。7)在联合辨识的计算过程中,考虑到泛函对两类变量{X6考虑密度的计算方法本文建议根据准静态位移信息,对粘弹性本构参数及温度场进行联合辨识,为热-力/位移反问题的求解提供了一条新途径。本文将粘弹性本构参数及温度场的联合辨识,归结为一个带有多个不等式约束的非线性规划问题,使计算模型更加严密,也有望避免迭代过程中由于本构参数出现负值而造成的计算不稳定。并采用凝聚函数法将此非线性规划问题转化为一个光滑、可微的单约束优化问题,采用乘子法对此问题进行了求解,得到了满意的结果。本文计及了与时间无关/相关的信息误差的影响,基于数理统计的误差分析表明本文方法具有较好的抗不适定性。凝聚函数在数学上的良好性质(可微性、光滑性)