数学人教A版高中必修一（2019新编）4-5-3 函数模型的应用（分层作业）

4.5.3函数模型的应用（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设反比例函数，再代入求解即可.【详解】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设，由题图可知，点在函数图像上，所以，解得，故．故选：D．2．（2022·全国·高一课时练习）据统计，第x年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）近似满足.观测发现第1年有越冬白鹤3000只，估计第7年有越冬白鹤（

）A．4000只 B．5000只 C．6000只 D．7000只【答案】C【分析】将代入表达式得，再将代入计算即可.【详解】解：由题意，得，得，所以当时，.故选：C.3．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，当很大时，随的增大而增大速度最快的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据各函数的增长快慢逐个判断即可.【详解】由题意，当很大时，指数函数增长速度大于一次函数的增长速度，一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度，又，所以当很大时，随的增大而增大速度最快的是.故选：A4．（2022·全国·高一课时练习）若三个变量，，随着变量x的变化情况如下表.x135791152545658510552924521891968517714956.106.616.957.27.6则关于x分别呈函数模型：，，变化的变量依次是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】根据幂，指，对函数型的性质即可得其变化特征，即可求解.【详解】由题表可知，随着x的增大而迅速增大，是指数型函数的变化；随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数型函数的变化；相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选:B.5．（2022·全国·高一）某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过元不予以折扣；②如一次性购物超过元但不超过元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过元的，其中元给予折优惠，超过元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款元和元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】根据题意求出付款元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款元，实际标价为元，如果一次购买标价元的商品应付款元.故选：B.6．（2022·湖南·新邵县教研室高一期末）有一组实验数据如下表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将各点分别代入各函数，即可求出．【详解】将各点分别代入各函数可知，最能体现这组数据关系的函数模型是．故选：D．7．（2022·山西·太原市同心外国语中学校高一阶段练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（

）年时，其营运的年平均利润最大.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先根据题意求出总利润（单位：10万元）与营运年数为二次函数关系式，从而可得，化简后利用基本不等式可求得其最大值.【详解】根据二次函数的图象设二次函数为，因为图象过，所以，解得，所以（），所以，当且仅当，即时取等号，所以每辆客车营运5年时，其营运的年平均利润最大，故选：C.8．（2022·全国·高一课时练习）在一次数学实验中，采集到如下一组数据：－2－101230.240.5112.023.988.02则，的函数关系与下列各类函数最接近的是（其中，为待定系数）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据表中数据作出散点图，结合一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数图象特征作出判断.【详解】解：根据题表中的数据描点如图所示．∵对应数据显示该函数是增函数，且增幅越来越快，∴A不成立；∵C是偶函数，∴的函数值应该相等，∴C不成立；∵时，无意义，∴D不成立；对于B，当时，，当时，，经验证它与各数据比较接近.故选：B.9．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃（结果保留整数，参考数据：）（

）A．9 B．8 C．7 D．5【答案】C【分析】根据冷却模型公式可以将数据代入直接就算即可【详解】由题意可知所以所以故选：C10．（2022·全国·高一课时练习）火箭在发射时会产生巨大的噪音，假设所有声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足，若火箭发射时的声强级约为，人交谈时的声强级约为，则火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知计算可得，计算出火箭发射时的声强与人交谈时的声强，相除可得结果.【详解】，得．因为火箭发射时的声强级约为，人交谈时的声强级约为，所以火箭发射时的声强约为，人交谈时的声强约为，所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为．故选：A.二、多选题11．（2022·江西·于都县新长征中学高一阶段练习）如图，建立平面直角坐标系轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为千米，它的横坐标为.则下列结论正确的是（

）A．炮的最大射程为10千米B．炮的最大射程为20千米C．当飞行物的横坐标超过6时，炮弹可以击中飞行物D．当飞行物的横坐标不超过6时，炮弹可以击中飞行物【答案】AD【分析】由，用k表示x并求出最大值判断A，B；由直线与炮弹轨迹有无公共点判断C，D作答.【详解】在中，令，可得，显然，因此，当且仅当，即时等号成立，即炮的最大射程为10千米，A正确，B错误；依题意，炮弹击中飞行物，即直线与炮弹轨迹有公共点，而，，于是得关于的方程，即有正根，当，即时，方程两根之和为正，两根之积为正，因此当时，关于的方程有正根，即当不超过6千米时，炮弹可以击中目标，C错误，D正确.故选：AD12．（2022·全国·高一课时练习）（多选）三个变量，，随变量变化的数据如下表：0510152025305130505113020053130450559016202916052488094478401700611205305580105130155则下列说法合理的是（

）A．关于呈指数增长 B．关于呈指数增长C．关于呈直线上升 D．的增长速度最快【答案】BCD【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，再由表格中单调性的特点，可得答案.【详解】随增大而增大，增加量依次是125，375，625，875，…，增长的速度越来越慢，呈对数增长，故A错误；随增大而增大，增加量依次是85，1530，27540，495720，…，增长的速度越来越快，呈指数增长，且增长速度最快，故B，D正确；随增大而增大，增加量依次是25，25，25，…，呈均匀增加状态，呈直线上升，故C正确.故选：BCD.13．（2022·全国·高一课时练习）（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（

）A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x【答案】BD【分析】根据图表逐项判断即可【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.故选：BD三、填空题14．（2022·江西·南城县第二中学高一阶段练习）已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费________元．【答案】【分析】用10加上超过1千克的部分的费用，即可求解.【详解】根据题意得，需要付费元故答案为:15．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）—家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：百辆）与净利润y（单位：十万元）之间关系如图（图象为抛物线的一部分），为使每百辆摩托车获得净利润最大，应生产摩托车______百辆.【答案】5【分析】设出二次函数的顶点式，代入，求出解析式，并求出定义域，再利用基本不等式求出的最大值，及相应的生产摩托车辆数.【详解】设，将代入，，解得：，故，令得：，，所以，，，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故，时，等号成立，故要想使每百辆摩托车获得净利润最大，应生产摩托车5百辆.故答案为：516．（2022·全国·高一单元测试）牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．（参考数据：，）【答案】188【分析】根据题意列出不等式计算即可.【详解】设经过个周期后细菌含量超标，即，即，所以，而，因此经过188分钟就不宜再饮用．故答案为：188.17．（2022·全国·高一课时练习）某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金（单位：万元）随利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①，②，③，则该符合该商场要求的模型为______（填序号）.【答案】②【分析】数形结合，根据三个函数图象是否在直线和的下方判断即可.【详解】在同一平面直角坐标系中作出函数，，的图象如图所示.观察图象可知，在区间内，函数，的图象都有一部分在直线的上方，只有函数的图象始终在直线和的下方，所以按模型进行奖励符合商场的要求.故答案为：②18．（2022·全国·高一课时练习）2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．若不改变信道带宽W，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递速率C大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：，）【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，根据题意求出，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为，提升后最大信息传递速率为，则由题意可知，，，所以，所以最大信息传递速率C会提升到原来的2.5倍．故答案为：四、解答题19．（2022·山东·淄博职业学院高一阶段练习）某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费.(1)若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？(2)若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？【答案】(1)56(2)125【分析】（1）设用电量为度，对应电费为元，求出关于的分段函数，将代入，求解出该月电费；（2）先判断出该户用电量超过了100度，进而解方程，求出其用电量.（1）设用电量为度，对应电费为元，由题意得：当时，；当时，，即，当时，，所以该月电费为56元；（2）因为时，，所以该户用电量超过了100度，令，解得：，故其用电量为125度.20．（2022·上海市中国中学高一阶段练习）已知某型号汽车从刹车到停车所滑行的距离（米）与车速（千米/时）的平方成正比，设该型号汽车以车速60千米/时行驶时，刹车到停车滑行了20米，如果该车在行驶时，与前面的车辆距离为15米（假设该车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁一秒），为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车，则该车的最大速度不能超过多少千米/时？（精确到0.1）【答案】该车的最大速度不能超过千米/小时.【分析】根据题意可设，进而可得，然后根据题中条件，列出不等式，进而即得.【详解】由题意，可设，则，即，因此，因为该车司机从发现前面车辆停车到自己刹车需耽搁一秒，为了保证前面车辆紧急停车时不与前面车辆撞车，只需，即，因为，所以，即该车的最大速度不能超过千米/小时.21．（2022·贵州贵阳·高一阶段练习）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本，若提价后定价为x（单位：元），销售总收入y（单位：万元）(1)提价后如何定价才能使销售总收入最大？销售总收入最大值是多少？（精确到0.1）(2)如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？【答案】(1)定价为每本元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为万元(2)每本杂志的定价不低于元且不超过4元【分析】(1)若提价后定价为x元,则可售出万件,总收入与售价函数关系为二次函数,利用二次函数求最值.(2)由销售总收入不低于20万元列出不等式,解二次不等式.（1）由题意可得当（元）时，（万元）.即定价为每本元可使销售总收入最大，销售总收入最大值约为万元.（2）由题意可得所以，当每本杂志的定价不低于元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元.22．（2022·宁夏六盘山高级中学高一阶段练习）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.(1)若该厂某日的销货量是30件，求该厂当日的获利是多少元？(2)若该厂日获利不少于1300元，求该厂日产量的取值范围.【答案】(1)1600；(2)当日产量在20到45件之间（含20件和45件）时，日获利不少于1300元.【分析】（1）由题可得单价与总成本，进而即得；（2）根据条件求出该厂日获利函数，列出不等式，进而即得.（1）当时，，，所以该厂当日的获利是(元)；（2）设该厂日获利为，则由题意得，由，得，所以，即，解得，所以当日产量在20到45件之间（含20件和45件）时，日获利不少于1300元.23．（2022·湖南·长沙一中高一阶段练习）某品牌电动汽车在某路段以每小时x千米的速度匀速行驶240千米．该路段限速（单位：千米/时）．充电费为1.5元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮胎磨损费为元/千米，道路通行费为0.2元/千米．(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；(2)当行车速度x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【答案】(1)(2)行车速度为千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（）元．【分析】（1）根据题意，计算出电动车行驶的时间和路程，然后列出相应的方程即可.（2）利用基本不等式的性质即可求出最值，注意等号成立的条件即可.（1）．（2）因为，．所以，所以行车费最低为（）元．当，即，时取得．答：行车速度为千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用为（）元．24．（2022·浙江大学附属中学高一期中）某创新科技公司为了响应市政府的号召，决定研发并生产某种新型的工业机器人，经过市场调查，生产机器人需投入年固定成本为100万元，每生产x个，需另投入流动成本为万元．在年产量不足80个时，（万元）；在年产量不小于80个时，（万元），每个工业机器人售价为6万元，通过市场分析，生产的机器人当年可以全部售完．(1)写出年利润（万元）关于年产量x（个）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入－固定成本－流动成本）(2)年产量为多少个时，工业机器人生产中所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)；(2)年产量为个时，工业机器人生产中所获利润最大为万元.【分析】（1）根据题意写出、的解析式，然后应用分段函数形式表示；（2）利用二次函数、基本不等式分别求出、上的最大值，比较大小即可得结果.（1）当时，；当时，；所以.（2）时，，故最大值为万元；时，，当且仅当，即时等号成立，所以最大值为万元；综上，年产量为个时，工业机器人生产中所获利润最大为万元.25．（2022·上海市第二中学高一阶段练习）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900m²的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3m宽的通道，如图，设矩形温室的室内长为(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为().(1)写出与之间的关系式，并写出的取值范围∶(2)若要求矩形区域总面积不少于656m²，求室内长的取值范围.【答案】(1)，；(2)(单位m).【分析】（1）根据题意得到温室的室内长和宽，进而求出三块种植植物的矩形区域的总面积以及自变量的取值范围；（2）由，解之即得.（1）根据题意，温室的室内长为，则宽为，所以三块种植植物的矩形区域的总面积为：，由，可得；（2）由，可得，解得，即室内长的取值范围为(单位m).26．（2022·全国·高一单元测试）某同学对航天知识有着浓厚的兴趣，通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，火箭是目前唯一能使物体达到宇宙速度，克服或摆脱地球引力，进入宇宙空间的运载工具．早在1903年齐奥尔科夫斯基就推导出火箭的最大理想速度公式：，被称为齐奥尔科夫斯基公式，其中为喷流相对火箭的速度，和分别是火箭的初始质量和发动机熄火（推进剂用完）时的质量，被称为火箭的质量比．(1)某火箭的初始质量为160吨，喷流相对火箭的速度为2千米/秒，发动机熄火时的火箭质量为40吨，求该火箭的最大理想速度（保留2位有效数字）；(2)根据现在的科学水平，通常火箭的质量比不超过10．如果喷流相对火箭的速度为2千米/秒，请判断该火箭的最大理想速度能否超过第一宇宙速度7.9千米/秒，并说明理由．（参考数据：）【答案】(1)2.8千米/秒(2)不能，理由见解析【分析】（1）根据题意可得，，，再代入公式计算即可；（2）代入数据可得，再分析可得，从而得到即可.（1）由题意，，，，∴，∴该火箭的最大理想速度为2.8千米/秒．（2）∵，，∴．∵，∴，即．∴该火箭的最大理想速度不能超过第一宇宙速度7.9千米/秒．27．（2022·全国·高一专题练习）某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．(1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？【答案】(1)，；(2)当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.0625万元．【分析】（1）由已知给出的函数模型设出解析式，代入已知数据即可算出结果；（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，则有，再利用换元法转化为求二次函数在给定区间上的最值问题即可求解．（1）设投资额为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元，由题设，，由图可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业的利润为万元，，，令，则，，所以当时，，此时，所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为万元，即4.0625万元．28．（2022·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，习近平总书记参观国家“十三五”科技成就展强调，坚定创新自信紧抓创新机遇，加快实现高水平科技自立自强.面向人民生命健康，重点展示一体化全身正电子发射磁共振成像装备，在红色“健康中国”四个大字衬托下，更显科技创新为人民健康“保驾护航”的意义.为促进科技创新，某医学影像设备设计公司决定将在2022年对研发新产品团队进行奖励，奖励方案如下：奖金（单位：万元）随收益（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过90万元，同时奖金不超过收益的，预计收益.(1)分别判断以下三个函数模型：，能否符合公司奖励方案的要求，并说明理由；（参考数据：）(2)已知函数模型符合公司奖励方案的要求，求实数的取值范围.【答案】(1)函数模型能符合公司奖励方案的要求，理由见解析(2)【分析】（1）结合题中的两个标准对每一种模型分别验证即可；（2）根据题中的标准建立不等式组，解不等式组即可.(1)函数模型，满足奖金随收益增加而增加，因为，所以当时，，即奖金超过90万，不满足要求；函数模型，当时，，此时奖金超过收益的，不满足要求；函数模型，满足奖金随收益增加而增加，当时，，满足奖金不超过90万元，又时，，满足奖金不超过收益的，函数模型能符合公司的要求.(2)函数模型，因为奖金随收益增加而增加，所以，当时，，解得，当时，，解得，当时，恒成立，即，又，当且仅当时等号成立，所以，综上所述，实数的取值范围是.【能力提升】一、单选题1．（2022·浙江师范大学附属中学高一期中）在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数．当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能逐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径．假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗（称为接种率），那么1个感染者可传染的新感染人数为．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的新感染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意，列出不等式，利用对数的运算性质求出，代入不等式中求解，即可得到答案．【详解】为了使1个感染者传染人数不超过1，只需，所以，即，因为，所以，解得，则地疫苗的接种率至少为．故选：A．2．（2022·浙江大学附属中学高一期中）声强级Li（单位：dB）为声强I（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为[70，80]（单位：dB），下列选项中错误的是（

）A．闻阈的声强级为0dBB．此歌唱家唱歌时的声强范围（单位：）C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍D．声强级增加10dB，则声强变为原来的10倍【答案】C【分析】根据题设可得，令求声强级判断A；将、代入求声强范围判断B；对对应声强级作商、对应声强作商判断C、D.【详解】由题意，则，故，当时，dB，A正确；若，即，则；若，即，则，故歌唱家唱歌时的声强范围（单位：），B正确；将对应的声强级作商为，C错误；将对应声强作商为，D正确.故选：C3．（2022·甘肃·天水市第一中学高一开学考试）一件工艺品的进价为元，标价元出售，每天可售出件，根据销售统计，一件工艺品每降价元，则每天可多售出件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（

）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】B【分析】设每件工艺品的标价为元，求出每天获得的利润关于的函数关系式，利用二次函数的基本性质即可得解.【详解】设每天的销售量为件，每件工艺品的标价为元，则关于的函数为一次函数，设，由题意可得，解得，则，故每天获得的利润为，故当元时，每天获得的利润最大，因此，要使每天获得的利润最大，则每件需降价元.故选：B.4．（2022·全国·高一单元测试）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n是（参考数据：，）（

）A．40 B．41 C．42 D．43【答案】C【分析】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），则由题意可得，然后解不等式可求得结果.【详解】设对折n次时，纸的厚度为y（单位：毫米），由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次，则.令，即，所以，即，所以至少对折的次数n是42.故选：C.5．（2022·全国·高一专题练习）一次越野跑中，前a秒钟小明跑了1600m，小刚跑了1450m．小明、小刚此后所跑的总路程y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，则图中b的值是（

）A．3050 B．2250 C．2050 D．2890【答案】C【分析】设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，由题可得小明跑(a+100)秒与小刚跑(a+100)秒，两人跑的距离相等，小明跑了a秒后还需要200秒到达终点，而小刚跑了a秒后还需要100秒到达终点，据此列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．【详解】设小明从1600处到终点的速度为m米/秒，小刚从1450米处到终点的速度为n米/秒，根据题意，得，解得：，故这次越野跑的全程为：（米），即米．故选：C．二、多选题6．（2022·全国·高一课时练习）某打车平台欲对收费标准进行改革，现制订了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用y（单位：元）与打车里程x（单位：km）的函数关系大致如图所示，则（

）A．当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱B．当打车里程为10km时，乘客选择甲、乙方案均可C．打车里程在3km以上时，每千米增加的费用甲方案比乙方案多D．甲方案3km内（含3km）付费5元，打车里程大于3km时每增加1km费用增加0.7元【答案】ABC【分析】根据图象一一判断即可.【详解】解：对于A，当3＜x＜10时，甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车里程为8km时，乘客选择甲方案更省钱，故A正确；对于B，当打车里程为10km时，甲、乙方案的费用均为12元，故乘客选择甲、乙方案均可，故B正确；对于C，打车3km以上时，甲方案每千米增加的费用为（元），乙方案每千米增加的费用为（元），故每千米增加的费用甲方案比乙方案多，故C正确；对于D，由图可知，甲方案3km内（含3km）付费5元，3km以上时，甲方案每千米增加的费用为1（元），故D错误.故选:ABC.7．（2022·全国·高一课时练习）某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为（参考数据：，）（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】BCD【分析】由解不等式可得答案.【详解】设经过n次过滤，这种溶液的杂质含量达到市场要求，则，即，两边取对数，得，即，得.故选：BCD.8．（2022·福建福州·高一期末）边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本的数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（

）A．取得最大值时每月产量为台B．边际利润函数的表达式为C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少【答案】BCD【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，，因为函数为减函数，则，C对；对于D选项，因为函数为减函数，说明边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对.故选：BCD.三、填空题9．（2022·全国·高一单元测试）美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的，两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）成正比，已知投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示．现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，则可以获得的最大利润是______千万元．（毛收入＝营业收入－营业成本）【答案】9【分析】首先求出生产、芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式，设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利润，根据二次函数的性质计算可得.【详解】解：因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为．对于芯片，因为函数的图象过点，，所以，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为．设投入，千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利润，，所以当，即时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．故答案为：10．（2022·云南昆明·高一期末）某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地年产值（单位：万元）的小微企业进行奖励，奖励方案为：奖金y（单位：万元）随企业年产值x的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过企业年产值的15%．若函数，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】先根据为增函数求得，再根据题意可得恒成立，再代入根据函数的单调性求解不等式即可【详解】由题意为增函数，故，解得.又根据题意可得对恒成立，故且在恒成立.解可得，又在区间上为增函数，故.综上有，即m的取值范围为故答案为：11．（2022·全国·高一）端午节来临之际，商家推出了两种礼盒进行售卖．A类礼盒中有4个甜味粽，4个肉馅粽；B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，两种礼盒的成本分别为盒中食品的成本之和，包装费用忽略不计．其中，每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，每个甜味粽的成本比每个肉馅粽的成本少，且每个甜味粽和每个肉馅粽的成本均为整数．已知A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．端午节当天一共卖出了两类礼盒共计128盒，且卖出的B类礼盒至少50盒．后续工作人员在核算总成本的过程中，把每个甜味粽和每个肉馅粽的成本看反了，并用看反的每个肉馅粽的成本的去计算每个成鸭蛋的成本，结果算出来的总成本比实际总成本少了480元，则当日实际卖出的两种礼盒的总成本为______元．【答案】5360【分析】设每个甜味粽的成本为x元，由题可得A类礼盒及B类礼盒的成本，再设卖出A类礼盒m盒，则卖出B类礼盒盒，根据条件列出方程，可得到，再由当日实际卖出的两种礼盒的总成本为，整理后把4mx代入，即可求解．【详解】∵A类礼盒的售价为50元，利润率为25%．∴A类礼盒的成本为元，即4个甜味粽，4个肉馅粽的成本为40元，∴1个甜味粽，1个肉馅粽的成本总和为10元，设每个甜味粽的成本为x元，则每个肉馅粽的成本为元，∵每个咸鸭蛋的成本为每个肉馅粽成本的，∴每个咸鸭蛋的成本为元，∵B类礼盒中有2个甜味粽，4个肉馅粽，6个咸鸭蛋，∴B类礼盒的成本为元，设卖出A类礼盒盒，则卖出B类礼盒盒，，整理得：，当日实际卖出的两种礼盒的总成本为（元）．故答案为：5360.12．（2022·四川广安·高一期末）为了做好疫情防控期间的校园消毒工作，某学校对教室进行消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：小时）的变化情况如图所示，在药物释放的过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习，那么从药物释放开始，至少需要经过___________小时后，学生才能回到教室.【答案】0.6##【分析】根据函数图象经过点，求出的值，然后利用指数函数的单调性解不等式即可.【详解】由题意知，点在函数的图象上，所以，解得，所以，由，即得，所以.所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的小时.故答案为：.四、解答题13．（2022·四川·成都市新都香城中学高一阶段练习）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本（万元）与月产量（吨）之间的关系式为：，已知此生产线月产量最大为20吨．(1)求月产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；(2)经过评估，企业定价每吨产品的出厂价为32万元，且最大利润不超过200万元，由该生产线月产量的最大值应为多少？【答案】(1)当月产量为10（吨）时，每吨平均成本最低，最低成本为12万元(2)最大值应为10吨【分析】（1）结合题中所给关系式，列出每吨的平均成本与月产量的关系式，利用基本不等式即可求解；（2）根据题意列出二次不等式，解之即可.（1）设每吨的平均成本为万元，且，则，当且仅当，即（吨）时，每吨平均成本最低，且最低成本为12万元．（2）由题意得，，即，整理得，解得或，因为，所以，所以当最大利润不超过200万元时，年产量的最大值应为10吨．14．（2022·浙江宁波·高一期中）因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入成本500万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等成本共为万元，每年的销售收入为260万元，设使用该设备前n年的总盈利额为万元．(1)写出关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利？（利润=销售收入-总成本）(2)问使用到第几年末，年平均利润最大，最大值为多少？【答案】(1)，第3年(2)在使用第5年末，年平均利润最大为50万元．【分析】（1）求出，再解一元二次不等式可得答案；（2）求出，再利用基本不等式求最值可得答案．（1），令，解得，而，所以该设备第3年开始盈利；（2），因为，当且仅当时取到等号，所以万元，故在使用第5年末，年平均利润最大为50万元．15．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）我国某企业自主研发了一款具有自主知识产权的平板电脑，并从2021年起全面发售.经测算，生产该平板电脑每年需投入固定成本1350万元，每生产（千台）电脑需要另投成本万元，且另外每台平板电脑售价为0.6万元，假设每年生产的平板电脑能够全部售出.已知2021年共售出10000台平板电脑，企业获得年利润为1650万元.(1)求该企业获得年利润（万元）关于年产量（千台）的函数关系式;(2)当年产量为多少千台时，该企业所获年利润最大?并求最大年利润.【答案】(1)(2)100千台，最大年利润为5900万元.【分析】（1）由已知的条件知道该函数为一个分段函数，所以分两种情况把表达式分别求出来即可（2）由（1）知当时，为二次函数，利用二次函数的性质求它在该区间上的最大值，当时，利用基本不等式性质求最大值.（1）解：10000台=10千台,则，根据题意得：，解得，当时，，当时，，综上所述.（2）当时，当时，取得最大值；当时，，当且仅当时，因为，故当年产量为100千台时,该企业所获年利润最大,最大年利润为5900万元.16．（2022·云南·高一阶段练习）为了解决受新冠疫情影响，文具用品滞销的问题，文具店老板利用某直播平台卖货，销售的文具主要有圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔，价格依次为2元/支、10元/本、14元/个、25元/支.为了增加销量，老板决定对这4种文具进行1次优惠大促销：优惠活动①，提供满50元减4元的优惠券，优惠券可叠加；优惠活动②，提供买1套文具（包括1支圆珠笔、1本笔记本、1个文具盒、1支钢笔）减x（，且）元的优惠券，优惠券可叠加，每位顾客只能参加其中一种优惠活动，每位顾客在网上支付订单成功后，文具店老板都会得到支付款的80%.已知甲顾客购买了1套文具，选择优惠活动②，并且文具店老板从甲顾客的支付款中得到了36元.(1)求x的值；(2)已知乙、丙两位顺客计划在该文具店购买圆珠笔、笔记本、文具盒、钢笔这4种文具，计划购买的圆珠笔的数量多于笔记本的数量的2倍，笔记本的数量多于文具盒的数量，文具盒的数量多于钢笔的数量，钢笔数量的3倍多于圆珠笔的数量，当乙、丙购买的文具总数最少时，请你给乙、丙设计1种最省钱的购买方案，并求乙、丙花费的总费用的最小值.【答案】(1)6(2)答案见解析【分析】（1）根据题意直接列方程求解即可，（2）设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为a，b，c，d，且，根据题意列不等式组可得，，，，分别求出方案1，2，3的总费用，再比较可得答案.（1）由题意得，解得.（2）设购买圆珠笔，笔记本，文具盒，钢笔的数量分别为a，b，c，d，且.由题意得，得，得，所以，，.当乙、丙购买的文具总数最少时，，，，.未选择优惠活动之前，文具总价格为元.方案1：乙、丙一起购买，选择优惠活动①，可以优惠元.方案2，乙，丙一起购买，选择优惠活动②，可以优惠元.方案3：乙、丙分开购买，因为优惠活动②的优惠力度更大，所以安排1人先购买6套文具，选择优惠活动②，另一个人购买11支圆珠笔、2本笔记本、1个文具盒，选择优惠活动①.因为，所以可以优惠元，此时乙、丙花费的总费用最小，最小值为元.故方案3最省钱，乙、丙花费的总费用的最小值为322元.17．（2022·浙江省衢州第三中学高一阶段练习）今年的新冠肺炎疫情是21世纪以来规模最大的突发公共卫生事件，疫情早期，武汉成为疫情重灾区，据了解，为了最大限度保障人民群众的生命安全，现需要按照要求建造隔离病房和药物仓库.已知建造隔离病房的所有费用（万元）和病房与药物仓库的距离（千米）的关系为：.若距离为1千米时，隔离病房建造费用为100万元.为了方便，隔离病房与药物仓库之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造病房与修路费用之和.(1)求的表达式；(2)当隔离病房与药物仓库距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值.【答案】(1)；(2)当时，费用取得最小，最小值为75万元.【分析】(1)根据距离为1km时隔离病房建造费用为100万元，求出k的值，由此可得的表达式；(2)由(1)可得，利用基本不等式计算即可求解.（1）由题意知，距离为1