江苏省苏州市吴江高级中学2023年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知复数满足,则复数在复平面内对应点所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．计算=A． B． C． D．4．已知是虚数单位，复数满足，则（）A． B． C．2 D．15．如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产品（吨）与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出关于的线性回归方程为，那么表中的值为（）A．4.5 B．3.75 C．4 D．4.16．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（）A． B．C． D．7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（）A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩8．定义域为的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．9．同时具有性质“①最小正周期是”②图象关于对称；③在上是增函数的一个函数可以是（）A． B．C． D．10．若正数满足，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．611．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（）A． B． C． D．12．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．中至少有两个偶数 B．中至少有两个偶数或都是奇数C．都是奇数 D．都是偶数二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据（），其回归直线方程是，且，则______.14．定义在R上的偶函数f(x)满足fx+8e=f(x)，当x∈0,4e时，f(x)=ex-2，则函数g(x)=f(x)-lnx15．曲线在点处的切线方程为．16．设当x=θ时，函数f（x）=2sinx+cosx取得最小值，则cos（）=______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.证明：；已知，证明：.18．（12分）在中，角的对边分别是，已知，，且．（1）求的面积；（2）若角为钝角，点为中点，求线段的长度．19．（12分）甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中的概率均为，乙每次投篮命中的概率均为，甲投篮3次均未命中的概率为，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响.（Ⅰ）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；（Ⅱ）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为，求的分布列和数学期望.20．（12分）在中，角的对边分别是，且满足.（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积.21．（12分）已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若不等式对于任意恒成立，求正实数的取值范围.22．（10分）为了调查喜欢旅游是否与性别有关，调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题，在火车站分别随机调研了名女性或名男性，根据调研结果得到如图所示的等高条形图.（1）完成下列列联表：喜欢旅游不喜欢旅游估计女性男性合计（2）能否在犯错误概率不超过的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”.附：参考公式：，其中

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

把已知变形等式，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为，在第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题.2、B【解析】试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.3、B【解析】分析：根据复数乘法法则求结果.详解：选B.点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为4、A【解析】分析:先根据已知求出复数z,再求|z|.详解：由题得，所以.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该基础知识的掌握水平.(2)复数的模.5、C【解析】

根据回归直线必过，求出代入回归直线可构造出方程求得结果.【详解】由数据表可知：，由回归直线可知：，即：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查利用回归直线求解实际数据点的问题，关键是能够明确回归直线必过点，属于基础题.6、C【解析】

作，垂足为点D．利用点在抛物线上、，结合抛物线的定义列方程求解即可.【详解】作，垂足为点D．由题意得点在抛物线上，则得．①由抛物线的性质，可知，，因为，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故抛物线C的方程是．故选C．【点睛】本题考查抛物线的定义与几何性质，属于中档题.7、A【解析】

根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果.【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.8、C【解析】

构造函数，利用导数可判断出函数为上的增函数，并将所求不等式化为，利用单调性可解出该不等式.【详解】构造函数，，所以，函数为上的增函数，由，则，，可得，即，，因此，不等式的解集为.故选：C.【点睛】本题考查函数不等式的求解，通过导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.9、B【解析】

利用所给条件逐条验证，最小正周期是得出，把②③分别代入选项验证可得.【详解】把代入A选项可得，符合；把代入B选项可得，符合；把代入C选项可得，不符合，排除C；把代入D选项可得，不符合，排除D；当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数；故选B.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象的核心素养.10、B【解析】

先根据已知得出的符号及的值，再根据基本不等式求解.【详解】∵；∴∴∴当且仅当，即时，等号成立.故选B.【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”.11、A【解析】

记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，计算出事件的概率和事件的概率，然后由条件概率公式可得所求事件的概率为.【详解】记事件甲获得冠军，事件比赛进行三局，事件甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局，由独立事件的概率乘法公式得，对于事件，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件，，，故选A.【点睛】本题考查利用条件概率公式计算事件的概率，解题时要理解所求事件的之间的关系，确定两事件之间的相对关系，并利用条件概率公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.12、B【解析】

用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.【详解】解：用反证法证明某命题时,应先假设命题的反面成立，及要证的命题的否定成立，而命题：“自然数中恰有一个偶数”的否定为“中至少有两个偶数或都是奇数”，故选：B.【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，求一个命题的否定，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由题意求得样本中心点，代入回归直线方程即可求出的值【详解】由已知，代入回归直线方程可得：解得故答案为【点睛】本题考查了线性回归方程，求出横坐标和纵坐标的平均数，写出样本中心点，将其代入线性回归方程即可求出结果14、4【解析】

根据函数的奇偶性和周期性画出函数图像，由y=fx,y=lnx【详解】由fx+8e=f(x)可知函数fx是周期为8e的周期函数，而函数fx为偶函数，函数图像结合x∈0,4e时,f(x)=ex-2的图像，可画出x∈-4e,0上的图像，进而画出函数fx的图像.令gx=0，则fx=lnx，画出y=fx,y=lnx两个函数图像如下图所示，由图可知，两个函数有A,B,C,D四个公共点，故gx有4个零点.另，当x∈0,4e时，故答案为4【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15、【解析】试题分析：因为，所以，则在点处的切线斜率为，所以切线方程为，即；故填．考点：导数的几何意义．16、【解析】

利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的余弦公式求出的值．【详解】对于函数f（x）=2sinx+cosx=sin（x+α），其中，cosα=，sinα=，α为锐角．当x=θ时，函数取得最小值，∴sin（θ+α）=-，即sin（θ+α）=-1，∴cos（θ+α）=1．故可令θ+α=-，即θ=--α，故故答案为．【点睛】本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值，两角和的余弦公式，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析；证明见解析.【解析】

(1)，于是证明即可，左边可由所证得到；（2）即证，表示成含n的表达式，利用数学归纳法可证.【详解】令，则在上单调递增，在上单调递减.，即①当时，由①可得，即，即由可知②下面用数学归纳法证明当时，，结论成立；假设时，结论成立，即；当时，设，其中，则在上单调递增又，数列单调递增，故由归纳假设和中结论时结论成立，即结合②可得，即【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.18、（1）；（2）【解析】

（1）由，根据正弦定理可证得，，利用面积公式求得结果；（2）运用公式即可求得结果.【详解】（1），，（2）由为钝角可得，【点睛】本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理求三角形边长，再运用面积公式求出三角形面积，在求解过程中要注意公式的运用，尤其是边角的互化，熟练掌握公式是本题的解题关键19、（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.【解析】试题分析：（1）本题为独立重复试验，根据独立重复试验概率公式列方程组解得，再根据独立重复试验概率公式求至少命中2次的概率；（2）先确定随机变量可能取法：0，1，2，3，4，再根据独立重复试验概率公式求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）由题意，，解得，设“乙投篮3次，至少2次命中”为事件，则（2）由题意的取值为0，1，2，3，4.；；；.故的分布列为.20、（1）（2）【解析】

（1）先后利用正弦定理余弦定理化简得到，即得B的大小；（2）设，则，所以，利用余弦定理求出m的值，再求的面积.【详解】解：（1）因为，由正弦定理，得，即.由余弦定理，得.因为，所以.（2）因为，所以.设，则，所以.在中，由余弦定理得，得，即，整理得，解得.所以.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.21、(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.(2)【解析】

(1)对函数求导得到，讨论a和0和1的大小关系，从而得到单调区间；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以，对g(x)求导研究单调性，从而得到最值，进而求得结果.【详解】（Ⅰ）函数的定义域为．．①若，则当或时，，单调递增；当时，，单调递减；②若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增；综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增．（Ⅱ）原题等价于对任意，有成立，设，所以．．令，得；令，得．∴函数在上单调递减，在上单调递增，为与中的较