2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）一试预测卷5（Word含解析）

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一试仿真模拟卷

5

一、填空题（每题8分，共64分）

1．若，成等比数列，则________.

2．已知正实数列满足：，，，则________.

3．已知定义在R上的函数（x），对任意满足的p、q、r均有，M、m分别为函数，在上的最大值和最小值，则________.

4．在直三棱柱中，已知，，，E、F分别为边的中点，则点E沿棱柱的表面到点F的最短路径的长度为________.

5．设复数满足．则的值为________.

6．已知：，则________.

7．已知、为椭圆和双曲线的公共焦点，P为其中的一个公共点，且，设椭圆和双曲线的离心率分别为和，则的最小值为________.

8．用1、2、3、4、5、6、7这七个数字组成没有重复数字的七位数，使其恰好是11的倍数的概率为________.

二、解答题（共56分）

9．（16分）设正整数数列满足：，且对于任何，有．求数列的通项．

10．（20分）如图，设动点P到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围，使，其中点O为坐标原点．

11．（20分）已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）对任意正数a，证明：．2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛

一试仿真模拟卷5详细解析

1．．解：由题意得：，．

故

2．．解：由题意得，

．

故数列是以为首项，为公比的等比数列．

从而，．故．

3．6．解：令，则．

令，，，则．

所以为奇函数．故也为奇函数．

因此，．

4．．解：比较以下三种情形下的线段EF的长度：

分别将以下三个二面角展成平面，

利用余弦定理计算即可．

5．．解：因为，所以．从而，．

故原式．

6．2023．解：

一方面，．

另一方面，当时，．

所以当时，．

又，，从而．故．

7．．解：

设，（不妨），椭圆的长轴长为2m，双曲线的实轴长为2n，．则，，．故，所以．

于是，

．

所以．

当，且，即，时，．

8．．解：注意到，一个正整数被11整除当且仅当其奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差被11整除．

记七位数为．则满足题意的七位数共有个．

又．

而

．

故只能是，

即：．

于是，分组只能是：和，和，和，和．

和共四种情形．每种情形可以组成个被11整除的七位数．

故所求的概率为．

9．解法一：易得：，，，猜想：．

下面用数学归纳法证明．

（1）当，2时，易知均成立；

（2）假设成立，则，且满足

①

当时，

由①得

因为时，，所以．

又，所以．

又，所以．

故，即时，成立．

由（1），（2）知，对任意，．

解法二：易得：，，，猜想：..

下面用数学归纳法证明

（1）当，2时，易知均成立；

（2）假设成立，则，且满足

①

当时，

由①得

．①

即

．②

由②左式，得，即，因为两端为整数，

则

于是．③

又由②右式，．

则．

因为两端为正整数，则，

所以．

又因时，为正整数，则

．④

据③④得，，即时，成立．

由（1），（2）知，对任意，．

10．解法一：（1）在△PAB中，，即

，，

即（常数），

点P的轨迹C是以A、B为焦点，实轴长的双曲线，方程为：

．

（2）设，

①当MN垂直于x轴时，MN的方程为，和在双曲线上．即，因为，所以．

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为．

由，得：，

由于该方程有两个不同的解，故，

所以，．

于是，．

因为，且M、N在双曲线右支上，所以

．

由①②知，．

解法二：（1）同解法一

（2）设，，MN的中点为

①当时，，

因为．所以；

②当时，．

又所以；

由得，

第二定义得

所以．

于是由

得．

因为，所以，又，

解得：由①②知．

11．（1）当时，．

则

令，结合，解得．

故在单调递增，同理在单调递减．

所以时，单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）对任意给定的，因

，若令，则．①

则．②

先证：因为

，，．

又由，从而．

所以

再证：：由①、②的关于x、a、b的对称性，不