数学人教A版高中必修一（2019新编）5-4-3 正切函数的性质与图象（分层作业）

5.4.3正切函数的性质与图象（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2022·天津市第九十五中学益中学校高一期末）下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（

）A． B．y=tanxC．y=lnx D．y=x|x|【答案】D【分析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.【详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.故选：D2．（2022·全国·高一课时练习）函数的单调递增区间为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】利用正切函数的单调递增区间，可令，求得x的范围，即得答案.【详解】根据正切函数的单调性可得，欲求的单调增区间，令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，故选：A.3．（2022·黑龙江·大庆中学高一期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用最小正周期为排除选项AC；利用在区间上单调递减排除选项D；选项B以为最小正周期，且在区间上单调递减，判断正确.【详解】选项A：最小正周期为.判断错误；选项B：最小正周期为，且在区间上单调递减.判断正确；选项C：最小正周期为.判断错误；选项D：在区间上单调递增.判断错误.故选：B4．（2022·江西·景德镇一中高一期末）以下四个函数中，在上为减函数，且以为周期的偶函数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据常见函数的奇偶性，单调性以及周期即可求解.【详解】对A，最小正周期为，且在上为增函数，并为奇函数，不满足要求；对B，在上为减函数，且以为周期的偶函数，符合要求；对C，在上为增函数，且为偶函数，不符合要求;对D,在上为减函数，但是以为周期的偶函数，不符合要求；故选：B5．（2022·广东珠海·高一期末）下列函数最小正周期为的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的性质计算可得；【详解】解：对于A，的最小正周期，故A错误；对于B：的最小正周期，故B正确；对于C：的最小正周期，故C错误；对于D：的最小正周期，故D错误；故选：B6．（2022·辽宁·沈阳市第三十一中学高一期中）已知函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则的图像的一个对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定信息，结合正切函数的性质求出，再列出方程可求解.【详解】由函数的图像与直线的相邻两个交点的距离为，则有的周期，解得，于是得，所以的图像的对称中心横坐标方程满足，（），解得，（）,可知为其一个对称中心.故选：C7．（2022·全国·高一）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据和正切函数的单调性直接得出结果.【详解】由题意得，函数在上单调递增且，在上单调递增且，因为，所以，所以.故选：A.8．（2022·全国·高一）下列函数中，在其定义域上是偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇偶性定义，结合三角函数的奇偶性可直接得到结果.【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；对于B，定义域为，，为偶函数，B正确；对于C，定义域为，即定义域关于原点对称，，为奇函数，C错误；对于D，定义域为，，为奇函数，D错误.故选：B.9．（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数，，，，下列说法错误的是（

）A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心【答案】D【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，如下图所示：由图可知，函数不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心，A对；对于B选项，如下图所示：由图可知，是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴，B对；对于C选项，如下图所示：由图可知，不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对；对于D选项，如下图所示：由图可知，函数是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.故选：D.二、多选题10．（2022·广东湛江·高一期末）[多选题]下列函数中，同时满足：①在上是增函数；②为奇函数；③周期为的函数有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】对各选项中三角函数的单调性、周期性、奇偶性进行验证，即可得到结果.【详解】因为是周期为，且是奇函数，又在上单调递增函数，可知在上是增函数，故选项A正确；因为是偶函数，故B不满足；因为是周期为的周期函数，故C不满足；因为是奇函数，且周期，令，所以，所以函数的递增区间为，所以函数在上是增函数，故D正确；故选：AD．11．（2022·辽宁·同泽高中高一期中）下列命题为真命题的是（

）A．函数在定义域内是单调增函数B．函数的表达式可以改写为C．是最小正周期为的偶函数D．若一扇形弧长为，圆心角为，则该扇形的面积为【答案】BD【分析】利用正切函数的单调性可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用扇形的面积公式可判断D选项.【详解】对于A选项，函数在定义域内不单调，A错；对于B选项，，B对；对于C选项，设，因为，，则，所以，函数不是最小正周期为的函数，C错；对于D选项，设扇形的半径为，则，可得，因此，该扇形的面积为，D对.故选：BD.三、填空题12．（2022·湖南师大附中高一开学考试）写出一个定义域不是R，但值域是R的奇函数f(x)=___.【答案】tanx（答案不唯一，合理即可)【分析】根据所学函数合理构造选择即可.【详解】由正切函数性质可知满足条件，即.故答案为：(答案不唯一)13．（2022·北京·高一期末）函数在区间上为增函数，则实数的一个取值可以为___________.【答案】（答案不唯一）【分析】根据正切函数的单调性求出的取值范围，再写出一个正确答案即可.【详解】解：因为正切函数的单调递增区间为，，又函数在区间上为增函数，所以.故答案为：（答案不唯一）14．（2022·广西·桂林市第十九中学高一期中）函数的定义域为__________．【答案】【分析】解不等式,即得解.【详解】解：由题意得.解得.故答案为：15．（2022·河南省嵩县第一高级中学高一阶段练习）已知函数的图象关于点中心对称，则的一个值可以是___________.【答案】（答案不唯一）【分析】由正切函数的图象与性质即可得解.【详解】解：因为的图象关于点中心对称，所以，，则，.当时，故答案为：四、解答题16．（2022·全国·高一）求函数的定义域、值域和周期，并作出它在区间内的图象．【答案】答案见解析【分析】根据正切函数的性质可以分别求解.【详解】要使函数有意义，必须且只需，，即，，∴函数的定义域为．设，由，知，，∴的值域为，即的值域为．由，∴的周期为．函数在区间内的图象如图下图所示：17．（2022·山东聊城·高一期末）如图，一质点在以O为圆心，2为半径的圆周上逆时针匀速运动，角速度为，初始位置为，，x秒后转动到点.设.(1)求的解析式，并化简为最简形式；(2)如果曲线与直线的两个相邻交点间的距离为，求的值.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义求出，，进一步可得.（2）由已知建立三角方程，可求解.(1)由题意得，，故.(2)由，得，则或，，即或，由，得；由，得.综上，或.【能力提升】一、单选题1．（2022·上海交大附中高一期中）已知满足，有下列四个结论：①A、B可能都是锐角；②A、B中一定存在钝角；③；④．正确的是（

）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【答案】B【分析】利用选项对的大小情况进行分类讨论，根据三角形内角和以及正切函数的单调性得出结论，进一步再说明结论③④的正确与否.【详解】假设都是锐角，则当时，，，则，矛盾；当时，不存在，舍去；当时，，，且中至少有一个小于等于1，所以，综上所述，A、B不可能都是锐角，一定存在钝角，①错，②对；由上知为锐角，则，③错，④对.故选：B.2．（2022·山东东营·高一期中）下列关于函数说法正确的是（

）A．函数的定义域为R B．函数为奇函数C．函数的最小值为0 D．函数的最小正周期为【答案】D【分析】由解析式有意义列不等式求函数的定义域，判断A；根据偶函数的定义判断B；根据正切函数的性质作函数的图象，利用图象判断C，D.【详解】对于选项A，函数的定义域为，故选项A错误;对于选项B，函数的定义域为关于原点对称，又，则函数为偶函数，故选项B错误;对于选项C，根据函数的奇偶性结合正切函数的相关性质，根据图象变换作出函数草图如下：由图可知，函数没有最小值，最大值为0，故选项C错误;对于选项D，同样由图可知函数的最小正周期为，故选项D正确.故选：D.3．（2022·全国·高一课时练习）田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想运用的著名范例．故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜，从而获胜．在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表：第一局第二局第三局若，则我方必胜的排序是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】根据的范围判断出，再由，，可得答案．【详解】因为当时，，，所以，，即．又，所以，，，故类比“田忌赛马”，我方必胜的排序是．故选：D.4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数的图象与函数的图象交于两点，则（为坐标原点）的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件作出图象，利用平关关系及特殊值对应特殊角，结合三角形的面积公式即可求解.【详解】画出函数与的图象如图所示，由，可得，得，得或（舍去），又，所以或．所以，．根据函数图象的对称性可得的中点，所以，故选：D．二、多选题5．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高一期中）下列命题正确的是（

）A．已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为B．已知是第二象限角，则C．若扇形周长为20，则其面积最大值为25D．的内角、、的对边分别为、、，若，，，则符合条件的有2个【答案】BC【分析】结合三角函数的定义、三角函数的性质、扇形面积弧长公式以及正弦定理，对选项逐一分析，选出正确答案.【详解】因为角的终边上一点的坐标为，即，所以角在第四象限，所以角是第四象限角，，所以角的最小正值为，所以A项不正确；当是第二象限角时，，所以，，所以，所以B项正确；若扇形周长为20，设其半径为，则弧长为，扇形面积为，当时，取到最大值25，所以C项正确；因为，所以三角形无解，所以D项不正确；故选：BC.6．（2022·贵州·凯里一中高一开学考试）下列说法正确的是（

）A．若函数则B．函数的最小正周期为C．已知，若直线分别与的图像的交点为M，N，则的最大值为2D．不等式的解为【答案】AC【分析】根据三角函数有关性质对选项逐一判断【详解】对于A，由诱导公式知，即，故A正确对于B，的最小正周期为，故B错误对于C，，最大值为2，故C正确对于D，由正切函数图像可知不等式的解为，故D错误故选：AC7．（2022·重庆·西南大学附中高一期中）设函数，其中，若对任意的，在上有且仅有4个零点，则下列的值中不满足条件的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用换元思想转化为在，上有4个零点，则需满足，进而根据的取值范围得到的取值范围即可．【详解】解：设，则，所以在，上有4个零点，可知，所以，又，所以，即，满足的只有，故选：．8．（2022·全国·高一课时练习）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】通过最小正周期为，排除选项B，D；结合函数性质得出结论.【详解】对于选项A：的最小正周期为，在区间上单调递减，故选项A正确；对于选项B：的最小正周期为，故选项B不正确；对于选项C：的最小正周期为，在区间上单调递减，故选项C正确；对于选项D：的最小正周期为，故选项D不正确．故选：AC．三、填空题9．（2022·天津·耀华中学高一期末）给出下列命题：①若角的终边过点（），则；②若，是第一象限角，且，则；③函数的图象关于点对称；④函数的最小正周期为；⑤函数在区间内是增函数；⑥若函数是奇函数，那么的最小值为．其中正确的命题的序号是_____．【答案】③④⑥【分析】①由三角函数的定义判断；②举例判断；③由是否为零判断；④由判断；⑤由，利用正弦函数的性质判断；⑥由求解判断.【详解】①若角的终边过点（），则，故错误；②若，是第一象限角，且，则，故错误；③因为，所以函数的图象关于点对称，故正确；④因为，所以函数的最小正周期为，故正确；⑤，因为，所以，又在上递增，所以内是减函数，故错误；⑥若函数是奇函数，则，解得，那么的最小值为，故正确．故答案为：③④⑥10．（2022·全国·高一期末）如图，在海岸线TO一侧有一休闲游乐场，游乐场的其中一部分边界为曲线段TDBS，该曲线段是函数，，，的图象，图象的最高点为，曲线段TDBS上的入口D到海岸线TO的距离为千米，现准备从入口D修一条笔直的景观路到O，则景观路DO的长为_______千米．【答案】【分析】首先根据函数图象求出函数解析式，再设，显然，，代入函数解析式求出，再根据两点间的距离公式计算可得；【详解】解：由函数图象可知，又，，．又当时，有，所以，，解得，，，．曲线段的解析式为，．因为到海岸线的距离为千米，设，显然，，所以，即，所以，或，，解得，或，，所以，即，所以故答案为：11．（2022·湖北·襄阳四中高一阶段练习）已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________.【答案】【分析】先确定在区间上有最大值，且，因此在区间上的最大值为.然后按在处或处取最大值分类讨论，数形结合，进而可得结果.【详解】依题意可知，在区间上有最大值必然为，且，所以在区间上的最大值为.（1）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意；（2）若在处取最大值，即，解得，此时，所以适合题意.综上可知，的取值集合是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于确定在区间上有最大值，且，进而可得在区间上的最大值为.12．（2022·福建·莆田一中高一开学考试）已知函数的图像与函数的图像交于A，B两点，则（为坐标原点）的面积为_______．【答案】【分析】联立，解得，该方程在上有两个不同的解，根据解的特征可得，点关于点对称且，的纵坐标的绝对值为，从而可求的面积.【详解】令，化简得即.解得，因为，所以在上有两个不同的解，设为且.故，且.故，，所以，点关于点对称，所以的面积为.故答案为：.13．（2022·全国·高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到（，，）的图象如图，则的解析式为_____．【答案】【分析】由图像可知，函数的最值、最小正周期，可得的值，代入点，进而解得的值，根据函数的图像变换规律，可得答案.【详解】由题图可知，，函数的最小正周期为，所以，所以．又，所以，所以（），解得（）．因为，所以，所以．将函数的图象向右平移个单位长度后可得到函数的图象，故．故答案为：.四、解答题14．（2022·湖南·长沙市明德中学高一期末）已知且，给出下列四个函数：①；②；③；④．从中任选一个函数，回答下列问题：(1)求所选函数的定义域和值域；(2)写出所选函数的两条性质．注意：如果选多个函数作答，则按第一个函数的答案给分．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）利用指数型函数，对数型函数，幂函数及正切函数的性质求解；（2）利用函数的对称性及过定点求解①②；利用幂函数和正切函数的单调性及奇偶性求解③④.(1)选①，的定义域为R；当时，，所以的值域为；当时，，所以的值域为；选②，的定义域为；值域为R；选③，的定义域为；值域为；选④，的定义域为；值域为R；(2)选①，的图象关于直线对称；的图象过定点．选②，的图象关于直线对称；过定点和．选③，是偶函数；在上为增函数，在上为减函数．选④，在上为增函数；是奇函数．15．（2022·安徽·砀山中学高一期中）已知函数（，），其图象一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差，______；从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称且．②函数的一条对称轴为且；(1)求函数的解析式；(2)若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由最小正周期先求出．选①：利用函数向左平移个单位得到的图象关于轴对称求得的可能取值为、，再由验证出得到；选②：由函数的一条对称轴，求出的可能取值为、．再由验证出得到；（2）令，由得，时为增函数，时为减函数，并且．由得：，，研究方程存在4个不相等的实数根，列不等式，求出的取值范围.(1)由题意可知，函数的最小正周期为，∴．选①，将函数向左平移个单位，所得函数为.由于函数的图象关于轴对称，可得（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，，符合题意；若，则，，不符合题意．所以，；选②：因为函数的一条对称轴，则（），解得（）.∵，所以，的可能取值为、．若，则，则，符合题意；若，则，则，不符合题意．所以，；(2)令，由得，，所以．其中满足，时为增函数，满足时为减函数解方程得：，要使方程存在4个不相等的实数根，当，即在上存在两解，故取值范围应在或在或．即或或解得：或或故所求的的取值范围是【点睛】（1）已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质求其解析式时，A比较容易，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：①由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.②代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.（2）“结构不良问题”是2020年高考出现的新题型：题目所给的几个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的这几个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.16．（2022·山西·临汾第一中学校高一期末）已知函数，函数的图象经过点且的最小正周期为.(1)求函数的解析式；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围；(3)将函数图象上所有的点向下平移1个单位长度；再将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再将图象上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得到函数图象，令函数，区间且满足：在上至少有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由函数的最小正周期为得到，函数经过点，得到，从而求得；（2）由题意转化为，设，则在上是增函数，利用单调性可得答案.（3）令解得或，求得相邻两个零点之间的距离，若最小，则均为的零点，此时在区间，分别恰有个零点，即在区间恰有个零点，至少有一个零点可得答案.(1)，又函数的最小正周期为，，，又函数经过点，，于是，因为，所以，.(2)由题意得，，，设，则，设，则在上是增函数.当时，，.故实数的取值范围是.(3)由题意，，，令得：，或，解得：或，相邻两个零点之间的距离为或，若最小，则均为的零点，此时在区间，分别恰有个零点，在区间恰有个零点至少有一个零点，，即，检验可知，在恰有30个零点，满足题意，的最小值为.17．（2022·广东·华南师大附中高一期末）已知函数，图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差，______；（1）①的一条对称轴且；②的一个对称中心，