浙江省宁波市江口中学高三数学文摸底试卷含解析

浙江省宁波市江口中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值。为了简单起见，科学家用来记录A菌个数的资料，其中为A菌的个数。则下列判断中正确的个数为 （

）①；②假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5<<5.5③若今天的值比昨天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个 A．0 B．1 C．2 D．3

参考答案：略2.为虚数单位，复平面内表示复数的点在

（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：C3.已知，则是函数为偶函数的

（

）A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4.已知A，B，C，D是函数一个周期内的图象上的四个点，如图所示，B为轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在轴上的投影为，则的值为A.

B.

C.

D.参考答案：D略5.已知函数满足条件：且（其中为正数），则函数的解析式可以是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：6.设P为直线3x+4y+3=0上的动点，过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积最小时∠P=(

) A．60° B．45° C．30° D．120°参考答案：A考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：由题意画出图形，判断四边形面积最小时P的位置，利用点到直线的距离求出PC，然后求出∠P的大小．解答： 解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，即圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，圆心坐标（1，1），半径为1；由题意过点P作圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的两条切线，切点分别为A，B，可知四边形PACB的面积是两个三角形的面积的和，因为CA⊥PA，CA=1，显然PC最小时四边形面积最小，即PC最小值==2．，∠CPA=30°，所以∠P=60°．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，正确判断四边形面积最小时的位置是解题的关键，考查计算能力．7..函数的图象大致为参考答案：A略8.设是空间两条直线，，是空间两个平面，则下列选项中不正确的是（

）A．当时，“”是“∥”成立的充要条件

B．当时，“”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“”的必要不充分条件D．当时，“”是“”的充分不必要条件参考答案：CC中，当时，直线的位置关系可能平行，可能异面。若，则或者，所以是的既不充分也不必要条件，所以选C.9.将A、B、C、D、E五种不同的文件放入编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有（

）种．A．192

B．144

C．288

D．240参考答案：D略10.记函数,若曲线上存在点使得,则a的取值范围是（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】求出函数的值域，即，条件有解，转化为在上有解，进行常变量分离，构造函数，利用导数求出函数在上的值域，最后确定的取值范围.【详解】，所以，若有解，等价于在上有解，即，也就有在上有解，设，则，由，得为增函数，由，得为减函数，即当时，函数取得极小值同时也取得最小值，则为最大，即，要使在上有解，只需，所以的取值范围是，故本题选C.【点睛】本题考查了函数与方程的应用，求出函数的值域、常变量分离，构造函数是解决本题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点集A={(x，y)|(x－3)2+(y－4)2≤()2}，B={(x，y)|(x－4)2+(y－5)2>()2}，则点集A∩B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为

．参考答案：7解：如图可知，共有7个点，即(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，2)共7点．12.已知函数()（其中e是自然对数的底数）的图像上存在点与的图像上的点关于y轴对称，则实数a的取值范围是____参考答案：【分析】根据题意先设上的一点坐标为，再由该点关于y轴对称写出上的点的坐标为，且两点满足横坐标互为相反数，纵坐标相等，则有，对这个式子进行整理化简得，令，在定义域内求的值域，即得a的范围。【详解】存在函数图像上的一点与函数图像上一点关于y轴对称，则有，即，，令，则在上单调递增，故.【点睛】本题根据两个函数上的两个点关于y轴对称的条件，可得到含参数的等式，解题关键在于用分离参数的方法，在构造新函数的情况下，将求参数取值范围转化为求函数值域。13.已知函数f（x）=kx，g（x）=，如果关于x的方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，那么实数k的取值范围是．参考答案：[）【考点】函数的零点．【分析】将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到结论．【解答】解：由f（x）=g（x），∴kx=，∴k=，令h（x）=，∵方程f（x）=g（x）在区间[，e]内有两个实数解，∴h（x）=在[，e]内的图象与直线y=k有两个交点．∴h′（x）=，令h′（x）==0，则x=，当x∈[，]内h′（x）＞0，当x∈[，e]内h′（x）＜0，当x=，h（x）=，当x=e时，h（e）=，当x=，h（x）=﹣e2，故当k∈[）时，该方程有两个解．故答案为：[）14.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．参考答案：，

【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为2正方形，EA⊥底面ABCD，EA=2．∴棱锥的体积V==．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=2，∴棱锥的表面积S=22+2×+2×=．故答案为，．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于中档题．15.在平面直角坐标系xOy中，若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是__________．参考答案：设圆上的点(x0,y0)，这个点关于直线的对称点Q为(y0,x0)，将Q点代入圆C2上得到(x0－2)2+(y0－1)2=1，联立两个圆的方程得到r2=2x0+2y0－3，设x0=rcosθ，y0=1+rsinθ，故答案为：.

16.设函数的定义域为D，若函数满足下列两个条件，则称在定义域D上是闭函数．①在D上是单调函数；②存在区间，使在上值域为．如果函数为闭函数，则的取值范围是_______参考答案：

17.(14)设a+b=2,b>0,则当a=

时,取得最小值.参考答案：-2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.2017年《诗词大会》火爆荧屏，某校为此举办了一场主题为“爱诗词、爱祖国”的诗词知识竞赛，从全校参赛的600名学生中抽出60人的成绩（满分100分）作为样本.对这60名学生的成绩进行统计，并按，分组，得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）若规定60分以上（含60分）为及格，试估计全校及格人数；（Ⅱ）若同一组数据用该组区间的中点值代表，估计参加这次知识竞赛的学生的平均成绩；（Ⅲ）估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数（结果保留一位小数）.参考答案：（Ⅰ）样本中数据落在的频率为，则估计全校的几个人数为.（Ⅱ）设样本数据的平均数为，则.则估计参赛学生的平均成绩为72.5分.（Ⅲ）设样本数据的中位数为，由知，则解得，故估计参加这次知识竞赛的学生成绩的中位数约为73.3分.19.（不等式选讲）若不等式的解集是，则实数

(2)．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，点M(4，)到直线的距离d＝

.参考答案：1,20.（12分）如图一所示，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AD=4，BC=8，O、O1分别为BC、AD的中点，将梯形ABOO1沿直线OO1折起，使得平面ABOO1⊥平面OO1DC，得到如图二所示的三棱台AO1D﹣BOC，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面OO1E；（2）若直线O1E与平面ABCD所成的角的正弦值为，求三棱锥A﹣BOC的体积．参考答案：【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，可得OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，利用线面垂直的判定与性质可得OO1⊥BC，利用等腰三角形的性质可得：OE⊥BC，即可证明．（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，可得∠BOC=90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1=m，设平面ABCD的一个法向量为=（x，y，z），则，可得，利用设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，sinθ==，即可得出．解：（1）在等腰梯形ABCD中，O、O1分别为两底BC、AD的中点，∴OO1⊥BC，因此在三棱台三棱台AO1D﹣BOC中，OO1⊥BO，OO1⊥OC，又BO∩OC=O，∴OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又BO=OC，E为BC的中点，∴OE⊥BC，∵OO1∩OE=O，∴BC⊥平面OO1E；（2）由（1）可得：OO1⊥平面BOC，∴OO1⊥BC，又平面ABOO1⊥平面OO1DC，∴∠BOC=90°．以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系（如图所示）．设OO1=m，由题意可得，O（0，0，0），B（4，0，0），C（0，4，0），O1（0，0，m），E（2，2，0），A（2，0，m）．∴=（2，0，﹣m），=（﹣4，4，0），=（2，2，﹣m）．设平面ABCD的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=，即=，设直线O1E与平面ABCD所成的角为θ，则sinθ====，解得m=或m=2，∴VA﹣BOC===或．【点评】：本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、等腰三角形与等腰梯形的性质、线面角的计算公式、三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21.(本题12分)如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面，△是等边三角形，，，是线段的中点．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值．参考答案：(1)见解析(2)【知识点】空间中的垂直关系；空间角与距离的求法解析：（1）证明：因为侧面，平面，

所以．…………2分又因为△是等边三角形，是线段的中点，所以．

因为，所以平面．……4分

而平面，所以．………5分（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，．，，．设为平面的法向量．由

即令，可得．……9分设与平面所成的角为．．所以与平面所成角的正弦值为．……12分【思路点拨】（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD⊥EP且AB⊥EP，从而得到PE⊥平面ABCD．再结合线面垂直的性质定理，可得PE⊥CD；（II）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E、C、D、P各点的坐标，从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可