2020年中考数学压轴题突破专题-与圆有关的综合问题

#2020年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练

与圆有关的综合问题一（2018年镇江中琴第26题）一（2D19年镇江中考第26题）【真题再现】与圜有关的综合问题乳（2019苏州中奢第26题）4.（2019扬州中考第25题｝【真题再现】与圜有关的综合问题5一（2019盐城中考第25题｝6.（201&年南京中若第26题）【题组一】4道【题绢二】4道【题绢三】4週【题组四】4jf【题组五】4道【題组六】4道真题再现】（2018年镇江中考第26题）如图1,平行四边形ABCD中，AB丄AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的OP与对角线AC交于A,E两点.（1）如图2,当OP与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当OP与边CD相切时，OP与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，OP与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围.PDEC图国2PDEC图国22．（2019年镇江中考第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的OO）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这

样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角a的大小是变化的.【实际应用】观测点A在图1所示的OO上，现在利用这个工具尺在点A处测得a为31°,在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得a为67°.PQ是OO的直径，PQ丄ON.求ZPOB的度数；已知OP=6400km，求这两个观测点之间的距离即OO上二的长.(n取3.1)指问北极星EH所在直线与直线ON指向北极星丄：指向北极星平行，在观测点处的地平线就*」早冷孩占姑Gc姑上T1妊审I图1@2(2019苏州中考第26题)如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，D是弧BC的中点,图1@2BC与AD、OD分别交于点E、F.求证：DO〃AC；求证：DE・DA=DC2；若tanZCAD二三，求sinZCDA的值.(2019扬州中考第25题)如图，AB是OO的弦，过点O作OC丄OA,OC交AB于P,CP=BC.求证：BC是OO的切线；已知ZBAO=25°，点Q是■^上的一点.求ZAQB的度数；若OA=18,求八匚的长.(2019盐城中考第25题)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的OO分别交AC、BC于点M、N过点N作NE丄AB,垂足为E.若OO的半径为，AC=6，求BN的长;(2)求证：NE与OO相切.(2018年南京中考第26题)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF丄DE,垂足为F，OO经过点C、D、F,与AD相交于点G.求证：△AFGs^DFC；若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求OO的半径.专项突破】题组一】1.(2020•连云港模拟)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF丄AE于F,设PA=x.求证：△PFAs'ABE；当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x,使得以点P，F，E为顶点的三角形也与AABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；探究：当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：.(2020•陆丰市模拟)如图，AABC中，以AB为直径作OO，交BC于点D，E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE,交BD于点F.若ZCAD=ZAED，求证：AC为OO的切线；若D^mEF-EA,求证：AE平分ABAD；在(2)的条件下，若AD=4,DF=2,求OO的半径.

(2020•播州区校级模拟)如图，RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,AB=10,OC与AB相切于点D,延长AC到点E,使CE=AC,连接EB.过点E作BE的垂线，交OC于点P、Q,交BA的延长线于点F.求AD的长；求证：EB与OC相切；求线段PQ的长.(2020•萧山区一模)如图，以AB为直径作半圆O点C是半圆上一点，ZABC的平分线交OO于E,D为BE延长线上一点，且DE=FE.求证：AD为OO切线；3若AB=20,tanZEBA=「求BC的长.题组二】(2019•亭湖区二模)如图，OA、OB是OO的两条半径，OA丄OB，C是半径OB上一动

点，连接AC并延长交OO于D,过点D作圆的切线交OB的延长线于E,已知OA=6.求证:ZECD=ZEDC；若BC=2OC,求DE长；当ZA从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积.(2020•长春模拟)如图，AB是OO的直径，BD是OO的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC，E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F,若ZCDE=ZDAC，AC=12.求OO半径；求证：DE为OO的切线；(2020•宿州模拟)如图，点O是△ABC的边AB上一点，OO与边AC相切于点E,与边BC、AB分别相交于点D、F,且DE=EF.(1)求证：ZC=90°；(2)当BC=3,sinA=£时，求AF的长.（2020•海门市一模）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的OO交BC于点D,交AC于点E,过点D作DFLAC于点F,交AB的延长线于点G.（1）若AB=10,BC=12，求ADFC的面积；（2）若tanZC=2,AE=6，求BG的长.GO.0.AAFCPC（备用團）GO.0.AAFCPC（备用團）题组三】（2020•朝阳区校级二模）如图，在△ABC中，ZC=90。，点D是AB边上一点，以BD为直径的OO与边AC相切于点E,与边BC交于点F,过点E作EH丄AB于点H,连接BE求证EH=EC；2若AB=4,sinA=三，求AD的长.（2020•西城区校级模拟）如图，AB为OO的直径，C、D为OO上不同于A、B的两点,ZABD=2ZBAC,连接CD,过点C作CE丄DB,垂足为E,直径AB与CE的延长线相交于F点.（1）求证：CF是OO的切线；jg3(2)当BD',sinF时，求OF的长.

11.(2020•海门市校级模拟)如图1,OO是△ABC的外接圆，连接AO,若ZBAC+ZOAB=90°.(1)求证：•止=如图2,作CD丄AB交于D,AO的延长线交CD于E,若AO=3,AE=4,求线段AC的长.(2020•镇江模拟)如图，OO的直径AB=26,P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为OO上的两点，若ZAPD=ZBPC,则称ZCPD为直径AB的“回旋角”若ZBPC=ZDPC=60°，则ZCPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；若.；的长为二n,求“回旋角”/CPD的度数；(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且APCD的周长为24+13・二直接写出AP的长.题组四】(2020•海门市校级模拟)如图，在△ABC中，ZACB=90°,O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF.(1)判断直线EF与OO的位置关系，并说明理由;若ZA=30。，求证：DG^WDA；(3)若ZA=30。，且图中阴影部分的面积等于2飞-亏一，求OO的半径的长.(2020•滨湖区模拟)如图，AB为OO的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长父弧AC于点D,过点D作OO的切线，交BA的延长线于点E.求证：ACIIDE；连接CD,若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积.(2020•海门市一模)定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M,如果线段OP与图形M有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”已知平面直角坐标系xOy中，点A(1,戶)，B(5,疋b,连接AB.在P(1,2),P2(3,2),P3(5,2)这三个点中，关于线段AB的''亲近点”是；若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C(t,2苗芒一已洛)、D(t+6,2启£—訓斫)，求实数t的取值范围；若OA与y轴相切，直线l：y=-*-「过点B,点E是直线l上的动点，OE半径为2,当OE上所有点都是关于OA的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围.

(2020•绵阳模拟)如图，直径为10的OO经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+48=0的两根.求线段OA、OB的长；已知点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D,当OG=CD・CB时，求C点的坐标;在OO上是否存在点P,使S^POD=S^ABD?若存在，求出点P的坐标；若不存在,【题组五】(2020•张家港市模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(-5，0)，以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC.BC，并延长BC至点D，使CD=BC，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足，连结OF.当ZBAC=30。时，求△ABC的面积；当DE=8时，求线段EF的长；在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与AABC相似？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

18.(2019•靖江市校级一模)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=12,E是BC边的中点,点P在线段AD上，过P作PF丄AE于F,设PA=x.(1)求证：△FFAs'ABE；(2)当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与AABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由;探究：当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，请直接写ADADEBE出DP满足的条件：ADADEBE出DP满足的条件：19.(2019•洪泽区二模)在AAOB中，ZABO=90°,AB=3,BO=4,点C在OB上，且备用團BC=1,(1)如图1,以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB,作DB丄PB,使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB=3：4,连接AD请说明△ADBOPB；如图2,当点P所在的位置使得AD〃OB时，连接OD,求OD的长；点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有,请说明理由.(2)如图3,若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动.连接PA点P在运动过程中，PA-三是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由.UJDD0BCUJDD0BCSC（2019•江都区三模）如图，矩形OABC顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点B的坐标为（8,6）,点D是BC边上一点，且D为BC中点，OB与AD相交于点E,动点P从点O沿y轴向点C运动，运动速度为1单位长/秒，过点P的直线与x轴平行分别交OB、AD、AB于点M、N、Q,设点P的运动时间为t秒.（1）求点D的坐标和直线AD的解析式；（2）设线段MN的长度为1,求l与t的函数关系式，写出t的取值范围；（3）若点G为过三点O、M、N的圆的圆心（当M、N重合时，规定点G在过M点且与y轴平行的直线上），当动点P从点O运动到点C,点G也随之运动，求点G的运动路径长.【题组六】（2019•宿迁模拟）在平面直角坐标系xOy中，OC的半径为r（r>1）,点P是圆内与圆心c不重合的点，OC的“完美点”的定义如下：过圆心c的任意直线CP与OC交于点A,B,若满足IPA-PBI=2,则称点P为OC的“完美点”，如图点P为OC的一个“完美点”.（1）当OO的半径为2时3衍1①点M（孑0）OO的“完美点”，点（一〒，一爻）OO的“完美点”;填“是”或者“不是”）②若OO的“完美点求PO的长及点P的坐标;(2)设圆心C的坐标为(s,t),且在直线y=-2x+l上，OC半径为r,若y轴上存在OC的“完美点”求t的取值范围.备用團(2019•苏州二模)如图，△ABC内接于OO,AC是直径，点D是AC延长线上一点,且ZDBC=ZBAC,tanZBAC=<求证：BD是OO的切线;求二：的值；(3)如图，直径AC=5,二「，求AABF面积.(2019•常熟市二模)已知：BD为OO的直径，点A为圆上一点，直线BF父DA的延长线于点F,点C为OO上一点，AB=AC，连接BC交AD于点E,连接AC,且ZABF=ZABC.如图1,求证：BF作OO的切线；如图2,点H为OO内部一点，连接OH,CH.如果ZOHC=ZHCA=90。，猜想CH与DA的数量关系，并加以证明；在(2)的条件下，若OH=6,OO的半径为10.记AAEC面积为S1,^ABE面

积为s2.求亠的值F卫CB0积为s2.求亠的值F卫CB0图I圍2DS24.（2019•丹阳市一模）如图，点C是线段AB上一点，AC=^AB,BC为OO的直径.（1）在图（1）直径BC上方的圆弧上找一点P,使得PA=PB；（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）（2）连接PA求证：PA是OO的切线；（3）在（1）的条件下，连接PC、PB,ZP4B的平分线分别交PC、PB于点D、E.求AE的值.参考答案【真题再现】1.（2018年镇江中考第26题）如图1,平行四边形ABCD中，AB丄AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的OP与对角线AC交于A,E两点.（1）如图2,当OP与边CD相切于点F时，求AP的长；不难发现，当OP与边CD相切时，OP与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，OP与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个斗。24数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围AP或AP=5•5」PA、DDEB凰PA、DDEB凰图2【分析】(1)连接PF,则PF丄CD,由AB丄AC和四边形ABCD是平行四边形，得PF//AC，可证明△DPFS0AC,列比例式可得AP的长；(2)有两种情况：①与边AD、CD分别有两个公共点；②OP过点A、C、D三点.【解析】(1)如图2所示，连接PF，在RtAABC中，由勾股定理得：AC8,设AP=x，贝9DP=10-x,PF=x,•：OP与边CD相切于点F，:.PF丄CD，•・•四边形ABCD是平行四边形,:.AB//CD，•AB丄AC,:.AC丄CD,:、ACIIPF,:.△DPFs^DAC,PFPD•…A—ax10-x•：10，(2)当OP与BC相切时，设切点为G,如图3,SABC^H■--=10PG,409J.①当OP与边AD、CD分别有两个公共点时，-AP，即此时OP与平行四边形9口ABCD的边的公共点的个数为4，②OP过点A、C、D三点.，如图4,OP与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,此时AP=5,斗094综上所述，AP的值的取值范围是：AP或AP=5.4&24故答案为：AP或AP=5.点评：本题是圆与平行四边形的综合题，考查了圆的切线的性质、勾股定理、平行四边形性质和面积公式，第2问注意利用分类讨论的思想，并利用数形结合解决问题．2．（2019年镇江中考第26题）【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的OO）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角a的大小是变化的.【实际应用】观测点A在图1所示的OO上,现在利用这个工具尺在点A处测得a为31°,在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得a为67°.PQ是OO的直径，PQ丄ON.（1）求ZPOB的度数；（2）已知OP=6400km，求这两个观测点之间的距离即OO上二的长.（n取3.1）AQ铜锤图E2；指向北极星E〔北极点）指问北极星指问北极星、AQ铜锤图E2；指向北极星E〔北极点）指问北极星指问北极星、2/指向北极星AG.所在直线与直线ON平行，在观测点处的地平线就是过该点的OO的切线厭！L1地平线【分析】（1）设点B的切线CB父ON延长线于点E，HD丄BC于D，CH丄BH父BC于点C,则ZDHC=67°，证出ZHBD=ZDHC=67°，由平行线的性质得出ZBEO=ZHBD=67°，由直角三角形的性质得出ZBOE=23°，得出ZPOB=90°-23°=67°；（2）同（1）可证ZPOA=31°，求出ZAOB=ZPOB-ZPOA=36°，由弧长公式即可得出结果．【解析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD丄BC于D，CH丄BH交BC于点C,如图所示：则ZDHC=67°，•:ZHBD+ZBHD=ZBHD+ZDHC=90°,.•・ZHBD=ZDHC=67°,•：ON〃BH，.•・ZBEO=ZHBD=67°,.•・ZBOE=90°-67°=23°,'：PQ丄ON,.•・ZPOE=90°,.•・ZPOB=90°-23°=67°；（2）同（1）可证ZPOA=31°,AZAOB=ZPOB-ZPOA=67°-31°=36°,POGJPOGJ4八B'DC极点）点评：本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．(2019苏州中考第26题)如图，AB为OO的直径，C为OO上一点，D是弧BC的中点,BC与AD、OD分别交于点E、F.求证：DO〃AC；求证：DE・DA=DC2；若tanZCAD二二，求sinZCDA的值.【分析】(1)点D是丸中点，OD是圆的半径，又OD丄BC,而AB是圆的直径，则ZACB=90°，故：AC〃OD；证明△DCEsGCA，即可求解；AE3,即△AEC和ADEF的相似比为3,设：EF=k，则CE=3k，BC=8k，tanIjE1ZCAD=［，则AC=6k,AB=10k，即可求解.【解析】(1)因为点D是弧BC的中点，所以ZCAD=ZBAD，即ZCAB=2ZBAD，而ZBOD=2ZBAD，所以ZCAB=ZBOD,所以DOIIAC；丁「二=左，AZCAD=ZDCB,.•.△DCEsADAC,:.CD2=DE・DA；1TtanZCAD=三，连接BD,则BD=CD,/DBC=/CAD,在RtABDE中，tanZDBE=翥二討=三,设：DE=a,则CD=2a,而CD2=DE・DA，则AD=4a,.°.AE=3a,AE而△AECsADEF,即AAEC和ADEF的相似比为3,设：EF=k,则CE=3k,BC=8k,tanZCA沪三,.AC=6k,AB=10k,sinZCDA=点评：本题为圆的综合运用题，涉及到三角形相似等知识点，本题的关键是通过相似比确定线段的比例关系，进而求解.(2019扬州中考第25题)如图，AB是OO的弦，过点O作OC丄OA,OC交AB于P,CP=BC.求证：BC是OO的切线；已知ZBAO=25°，点Q是二V上的一点.求ZAQB的度数；若OA=18,求•八三的长.【分析】（1）连接OB,根据等腰三角形的性质得到/OAB=/OBA,/CPB=/PBC,等量代换得到ZAPO=ZCBP，根据三角形的内角和得到ZCBO=90°，于是得到结论;（2）①根据等腰三角形和直角三角形的性质得到ZABO=25°,ZAPO=65°，根据三角形外角的性质得到ZPOB=ZAPO-ZABO=40°，根据圆周角定理即可得到结论；②根据弧长公式即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OB，.OA=OB，AZOAB=ZOBA，VPC=CB，AZCPB=ZPBC，VZAPO=ZCPB，：.ZAPO=ZCBP,VOC丄OA,.•・ZAOP=9O°,.•・ZOAP+ZAPO=9O°,.•・ZCBP+ZABO=9O°,.•・ZCBO=9O°,••・BC是OO的切线；(2)解：①VZBAO=25°,.•・ZABO=25°,ZAPO=65°,

:./POB=/APO-ZABO=40°,1：・ZAQB=mCZAOP+ZPOB^*130°=65°；@VZAQB=65°,：・ZAOB=130°,：・七!去的长十七：・七!去的长十七的长二旦存=23n.点评：本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,弧长的计算,圆周角定理,熟练正确切线的判定和性质定理是解题的关键．(2019盐城中考第25题)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中

线，以CD为直径的OO分别交AC、BC于点M、N过点N作NE丄AB,垂足为E.5若OO的半径为二，AC=6,求BN的长;(2)求证：(2)求证：NE与OO相切.【分析】(1)由直角三角形的性质可求AB=10，由勾股定理可求BC=8，由等腰三角形的性质可得BN=4；欲证明NE为OO的切线，只要证明ON丄NE.【解析】(1)连接DN，ONVOO的半径为:.CD=5VZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，:.BD=CD=AD=5,:.AB=10,・：BC=「牯—:=8VCD为直径:.ZCND=90°，且BD=CD・BN=NC=4(2)VZACB=90°,D为斜边的中点，1.•・CD=DA=DB二2AB，AZBCD=ZB,VOC=ON,AZBCD=ZONC,AZONC=ZB,.•・ON〃AB,VNE丄AB,・•・ON丄NE,.NE为OO的切线.点评：本题考查切线的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．(2018年南京中考第26题)如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF丄DE,垂足为F,OO经过点C、D、F,与AD相交于点G.求证：△AFGs^DFC；若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求OO的半径.【分析】（1）欲证明△AFGsADFC，只要证明ZF4G=ZFDC,ZAGF=ZFCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，ZADC=90°,AZCDF+ZADF=90°,VAF丄DE,.•・ZAFD=90°,AZDAF+ZADF=90°,AZDAF=ZCDF,•・•四边形GFCD是®O的内接四边形,AZFCD+ZDGF=180°,VZFGA+ZDGF=180°,AZFGA=ZFCD,•••△AFGsADFC.（2）解：如图,连接CGVZEAD=ZAFD=90°,ZEDA=ZADF,•△EDAsAadf,F卫。山EX卫戸・•・，即•△AFGsADFC,AGAFDCOFAGEAg~DA在正方形ABCD中，TDA=DC,:.AG=EA=1,DG=DA-AG=4-1=3,VZCDG=90°,••・CG是OO的直径,OO的半径为;点评：本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型．【专项突破】【题组一】(2020•连云港模拟)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF丄AE于F,设PA=x.求证：△PFAs'ABE；当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与AABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；探究：当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：__二=或0WxV1.【分析】(1)根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑:①当"EF=ZEAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当ZPEF=ZAEB时，再结合(1)中的结论，得到等腰△APE.再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径丫的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围.解答】(1)证明:如图1中，01•・•矩形ABCD，.•・ZABE=90°,AD〃BC,AZP4F=ZAEB，又...PF丄AE,AZPFA=90°=ZABE，:,\FFAs\ABE.(2)解:分二种情况:①若AEFPsAABE,如图1,则ZPEF=ZEAB,：・PE//AB,：・四边形ABEP为矩形，:PA=EB=3，即x=3，②如图2,若厶PFEsMBE，则/PEF=/AEB,•.•AD〃BC:.ZPAF=ZAEB,:.ZPEF=ZPAF.:・PE=PA.•.•PF1AE,.:点F为AE的中点，RtAABE中，AB=4,BE=3,：.AE=5,.:乞弓牯=£,^△PFEs^ABE,PREFAEBES_9•••（•••（8分）25-:•满足条件的x的值为3打.(3)如图3,当OD与AE相切时，设切点为G,连接DG,VAP=x,:.PD—DG=6-x,VZDAG=ZAEB,ZAGD=ZB=90°,:、\AGDs\EBA,ADDGAEAB当OD过点E时，如图4,OD与线段有两个公共点，连接DE,此时PD=DE=5,..AP=x=6-5=1,6・•・当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x二可或OWxVl；故答案为：x#或OWxVl.x满足的条件：：「=■!或OWxVl.(2020•陆丰市模拟)如图，△ABC中，以AB为直径作OO,交BC于点D,E为弧BD上一点，连接AD、DE、AE,交BD于点F.若ZCAD=ZAED，求证：AC为OO的切线；若D^mEF-EA,求证：AE平分ABAD；在(2)的条件下，若AD=4,DF=2，求OO的半径.【分析】(1)由圆周角定理可得ZBDA=90°，可得ZDBA+ZDAB=90°,可证ABAC=90。，由切线的判定可证AC为OO的切线；通过证明△DEFs^AED,可得AEDF=ADAE,可得ABAE=ADAE,即卩AE平分ABAD；过点F作FH丄AB,垂足为H,由角平分线的性质可得DF=FH=2,由面积法可求AB=2BF,由勾股定理可求BF的长，即可求OO的半径.【解答】证明：(l)TAB是直径，・ABDA=90°,・ADBA+ADAB=90°,•：ACAD=AAED,AAED=AABD,・ACAD=AABD,・ACAD+ADAB=90°,:.ZBAC=90°,即AB丄AC,且AO是半径,•••AC为®O的切线；(2)•:DE2=EF・EA,DEEA••且ZDEF=ZDEA,DE:.△DEF^^AED,:./EDF=/DAE,•:/EDF=/BAE,•ZBAE=ZDAE,•AE平分/BAD；(3)如图，过点F作FH丄AB,垂足为H,TAE平分/BAD,FH丄AB,ZBDA=90°,DF=FH=2,11•.•S^ABF二jABXF^^jXBFXAD,.•・2AB=4BF,.•・AB=2BF,在RtAABD中，AB2=BD2+AD2,.•・(2BF)2=(2+BF)2+16,10B尸丁,BF=-2(不合题意舍去)20A沪可，10-OO的半径为丁(2020•播州区校级模拟)如图，RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,AB=10,OC与AB相切于点D,延长AC到点E,使CE=AC,连接EB.过点E作BE的垂线，交OC于点P、Q,交BA的延长线于点F.求AD的长；求证：EB与OC相切；求线段PQ的长.【分析】(1)sinZABB至二彳二sina,贝Vtana二亍,AD=ACsina二专;(2)过点C作CF丄BE交BE于点F,则CF=CD=圆的半径=BCsina,即可求解;证明四边形EGCF为矩形，CG=EF=FCtana,PQ=2PG，即可求解.【解答】解：(1)连接CD,则CD丄AB,VCE=AC,ZACB=90°,AZACD=ZCBA=a,•.•AC=6,AB=10,・：BC=8,并匚3并匚3sinZABCsina.则tana=丁,_ISAD=ACsina过点C作CK丄BE交BE于点K,VZACB=90°,CE=AC,:.ZCBA=ZCBK=a24:CK=CD=圆的半径=BCsina=[:EB与OC相切；过点C作CG丄FE交FE于点G,VZBEF=90°,CG丄EF,CF丄BE,:四边形EGCF为矩形,33WCG=EF=FCtana=BC・sina・tana=8“-（2020•萧山区一模）如图，以AB为直径作半圆O点C是半圆上一点，ZABC的平分线交OO于E,D为BE延长线上一点，且DE=FE.（1）求证：AD为OO切线；3若AB=20,tanZEBA=「求BC的长.【分析】（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明Z4=Z2,再利用AB为直径得到Z2+ZBAE=90。，贝k4+ZBAE=90°，然后根据切线的判定方法得到AD为OO切线；(2)解：根据圆周角定理得到ZACB=90。，设AE=3k,BE=4k，则AB=5k=20，求得AE=12,BE=16，连接OE交AC于点G,如图，解直角三角形即可得到结论.【解答】(1)证明：TBE平分ZABC,AZ1=Z2，TAB为直径，:.AE丄BD,•:DE=FE，/.Z3=Z4,VZ1=Z3,AZ4=Z2,TAB为直径，AZAEB=90°,VZ2+ZBAE=90°AZ4+ZBAE=90。，即ZBAD=90°,Z.AD丄AB,/.AD为®O切线；(2)解：TAB为直径，AZACB=90°,3在RtAABC中，TtanZEBA二丁,・•.设AE=3k,BE=4k，则AB=5k=20,.•・AE=12,BE=16,连接OE父AC于点G,如图,TZ1=Z2，・•・OELAC,VZ3=Z2,3tanZEBA=tanZ3二j,・•・设AG=4x,EG=3x,AE=5x=12,_12•:尸可，45:.AG厂•・•OGIIBC,.•・AC=2Ab可,・・・BC=-.AB--AC-='^【题组二】(2019•亭湖区二模)如图，OA、OB是OO的两条半径，OA丄OB,C是半径OB上一动点，连接AC并延长交OO于D,过点D作圆的切线交OB的延长线于E,已知OA=6.求证：ZECD=ZEDC；若BC=2OC,求DE长；当ZA从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积.【分析】(1)连接OD,由切线的性质得出ZEDC+ZODA=90。，由等腰三角形的性质得出ZODA=ZOAC,得出ZEDC=ZACO，即可得出结论；(2)设DE=x，贝9CE=DE=x,OE=2+x,在Rt^ODE中，由勾股定理得出方程，解法长即可；过点D作DF丄AO交AO的延长线于F,当ZA=15。时，/DOF=30°,得出D^^OD^OA=3,ZDOA=150°,S弓形Abd=s扇形ODA'S^AOD=15n~9，当ZA=30°时，ZDOF=60°,S弓形abd=s扇形0DA-SM0D=12n7爲即可得出结果・【解答】(1)证明：连接OD,如图1所示：•：DE是OO的切线，AZEDC+ZODA=90°,•：OA丄OB,.•・ZACO+ZOAC=90°,•：OA、OB是OO的两条半径，:.oa=ob,azoda=zoac,azedc=zaco,•:zecd=zaco,AZECD=ZEDC；(2)解：：BC=2OC,OB=OA=6,••・OC=2,设DE=x,•:ZECD=ZEDC,CE=DE=x,••OE=2+x,•:ZODE=90°,OD2+DE2=OE2,即：62+x2=(2+x)2,解得:x=8,：・DE=8；(3)解：过点D作DF丄AO交AO的延长线于F,如图2所示:当ZA=15。时，ZDOF=30°,11.•・D尸百OD=gOA=3,ZDOA=150°,TOC\o"1-5"\h\z150tt-6£1__1S弓形ABD=S扇形ODA-S^AODOA^DF=15^<6X3=15n-9,当ZA=30。时，ZDOF=60°,•月.13L.D尸寸OD=〒OA=3：3,ZDOA=120°,ISOtfxS211、”石wS弓形ABD=S扇形ODA_S^AODOATFFS—三"6X3Y-12冗-9'■-,・•.当ZA从15°增大到30°的过程中,AD在圆内扫过的面积=(15n-9)-(12n-9：-^)=3n+9—9.(2020•长春模拟)如图，AB是OO的直径，BD是OO的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,E为AC上一点，直线ED与AB延长线交于点F,若ZCDE=ZDAC,AC=12.求OO半径；求证：DE为OO的切线；【分析】(1)证明AD丄BC,可得AB=AC=12，则半径可求出;(2)连接OD,由平行线的性质，易得OD丄DE,则结论得证.【解答】解：(1)TAB为OO的直径，.•・ZADB=90°,:.AD丄BC,又VBD=CD,.•・AB=AC=12,••・OO半径为6；(2)证明：连接OD,VZCDE=ZDAC,ZCDE+ZC=ZDAC+ZC,ZAED=ZADB,由（1）知ZADB=90°,ZAED=90°,•:DC=BD,OA=OB••・OD〃AC.ZODF=ZAED=90°,・•・半径OD丄EF.DE为OO的切线.(2020•宿州模拟)如图，点O是△ABC的边AB上一点，OO与边AC相切于点E,与边BC、AB分别相交于点D、F,且DE=EF.求证：ZC=90°；3当BC=3,sinA=三时，求AF的长.【分析】(1)连接OE,BE,因为DE=EF,所以匚三二三从而易证ZOEB=ZDBE,所以OE〃BC,从可证明BC丄AC；朋r3(2)设OO的半径为r,则AO=5-r,在Rt^AOE中，sinA■，从而可求出r的值.【解答】解：(1)连接OE,BE,•:DE=EF,：./OBE=/DBE,JOE=OB,:.ZOEB=ZOBE,:.ZOEB=ZDBE,：・OE//BC,JOO与边AC相切于点E,：・OE丄AC,.•.BC丄AC,:.ZC=90°；3(2)在△ABC,ZC=90°,BC=3,sinA=吕,.°.AB=5,设OO的半径为r,则AO=5-r,,.,.OSr3在Rt^AOE中，sinA=;(2020•海门市一模)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的OO交BC于点D,交AC于点E,过点D作DFLAC于点F,交AB的延长线于点G.若AB=10,BC=12，求ADFC的面积；若tanZC=2,AE=6，求BG的长.【分析】(1)连接AD,由AB是OO的直径，得到AD丄BC,根据等腰三角形的性质得到DF丄AC,根据射影定理得到CD2=CF・AC,根据三角形的面积公式即可得到结论；(2)连接BE,由AB是OO的直径，得到BE丄AC,根据已知条件得到BE=2DF,设CF=EF=x,则DF=2x，得到BE=4x,AB=AC=6+2x,根据勾股定理列方程得到AB=10,BE=8,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)连接AD，*/AB是OO的直径，.AD丄BC，VAB=AC=10,:・DF丄AC,VBD=CD=6,•:DF丄AC,・••由射影定理得，CD2=CF・AC,.•.62=10・CF,••・CF=3.6,•D尸；「匸：一「厂二4.8,11•△DFC的面积二^CF・D砰弓'<3.6X4.8=8.64；（2）连接BE,*/AB是®O的直径，BE丄AC,•:DF丄AC,tanZC=2,BE//DF,DF=2CF,•:BD=CD,CF=EF,BE=2DF,设CF=EF=x,则DF=2x,BE=4x,AB=AC=6+2x,AB2=AE2+BE2,•（6+2x）2=62+（4x）2,x=2,x=0（舍去）,AB=10,BE=8,•:BE//FG,:、\ABEs\AGF,ABAB•,10-£•:一获一y【题组三】(2020•朝阳区校级二模)如图，在△ABC中，ZC=90。，点D是AB边上一点，以BD为直径的®O与边AC相切于点E,与边BC交于点F,过点E作EH丄AB于点H,连接BE求证eh=ec；2若AB=4,sinA=「求AD的长.C【分析】(1)根据切线的性质可得AC丄OE,即可得OE〃BC,可证ZCBE=ZEBO,根据角平分线的性质可得ce=eh；(2)设OE=2a,AO=3a,(aM0),根据AB=4,可求a的值，根据AD=AB-DH=4-4a，可求AD的值.【解答】解：(1)如图，连接OE,TAC与OO相切，：.OELAC,且BC丄AC,・•・OE//BC；・/CBE=/OEB,•：EO=OB,:.ZEBO=ZOEB:.ZCBE=ZEBO,且CE丄BC,EH丄AB,:.CE=EH2OE(2)TsinA二可二£.:设OE=2a,AO=3a,(aMO)•:OB=2a,TAB=AO+OB=3a+2a=4-：a=TTAD=AB-BD=4-4a:ad=i(2020•西城区校级模拟)如图，AB为OO的直径，C、D为OO上不同于A、B的两点,ZABD=2ZBAC,连接CD,过点C作CE丄DB,垂足为E,直径AB与CE的延长线相交于F点.求证：CF是OO的切线；jg3当BD',sinF时，求OF的长.【分析】（1）连接OC.先根据等边对等角及三角形外角的性质得出Z3=2Z1,由已知Z4=2Z1,得到Z4=Z3，则OCIID，再由CE丄DB,得到OC丄CF,根据切线的判定即可证明CF为OO的切线；（2）连接AD.由圆周角定理得出ZD=90°,证出ZBAD=ZF,得出sinZBAD=singrj35og3ZF•，求出ABBD=6，得出OB=OC=3，再由sinF即可求出OF.【解答】解：（1）连接OC.如图1所示:VOA=OC，AZ1=Z2.又VZ3=Z1+Z2，AZ3=2Z1.又VZ4=2Z1，.*.Z4=Z3，：.OC//DB.•:CE丄DB,：OC丄CF.又：oc为oo的半径，:.CF为OO的切线；

(2)连接AD.如图2所示:TAB是直径，.•・ZD=90°,:、CF//AD,:.ZBAD=ZF,ED3:.sinZBAD=sin尸「AB=寸BD=6,.OB=OC=3,TOC丄CF,:.ZOCF=90°,□C_3：si"；解得:OF=5.(2020•海门市校级模拟)如图1,⑥O是△ABC的外接圆，连接AO,若ZBAC+ZOAB求证：二二”如图2,作CD丄AB交于D,AO的延长线交CD于E,若AO=3,AE=4,求线段AC的长．【分析】(1)连BO并延长BO交AC于T.只要证明BT丄AC,利用垂径定理即可解决问题；(2)延长AO并交OO于F,连接CF.在RtAAFC中，求出CF,AF即可解决问题；【解答】(1)证明：连BO并延长BO交AC于T.VAO=BO,AZOAB=ZOBA,又VZBAC+ZOAB=90°,AZBAC+ZOBA=90°,.•・ZBT4=90°,ABT.丄AC,.•d丸(2)延长AO并父OO于F,连接CF.TCD丄AB于D,AZCDA=90°,AZOAB+ZAED=90°,VZOAB+ZBAC=90°,AZAED=ZBAC=ZFEC,VAF为OO直径，AZACF=90°,同理：ZFCE=ZBAC,?.ZFEC=ZFCE,

：・FE=FC,*.*AO=3,AE=4,.•・OE=1,FE=FC=2,在RtAFCA中.•.AC=(2020•镇江模拟)如图，OO的直径AB=26,P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为OO上的两点，若ZAPD=ZBPC,则称ZCPD为直径AB的“回旋角”若ZBPC=ZDPC=60°，则ZCPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；若二的长为二n,求“回旋角”/CPD的度数；斗(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且APCD的周长为24+13.二直接写出AP的长.【分析】(1)利用平角求出ZAPD=60。，即可得出结论；先求出ZCOD=45°，进而判断出点D,P,E在同一条直线上，求出ZCED，即可得出结论；①当点P在半径OA上时，利用(2)的方法求出ZCFD=60°,ZCOD=120°,利用三角函数求出CD,进而求出DF,再用勾股定理求出OH,即可求出OP即可得出结论；②当点P在半径OB上时，同①方法求出BP=3，即可得出结论.【解答】解：ZCPD是直径AB的“回旋角”理由：•.•ZCPD=ZBPC=60°,.\ZAPD=180°-ZCPD-ZBPC=180°-60°-60°=60°,AZBPC=ZAPD,.•.ZCPD是直径AB的“回旋角”(2)如图1,VAB=26,

：.OC=OD=OA=!3,设ZCOD=n°,13的长为丁13的长为丁n,nirxl.313nirxl.313.V130斗Vn=45,.•・ZCOD=45°,作CE丄AB交OO于E,连接PE,V/BPC=/OPE,TZCPD为直径AB的“回旋角”VZAPD=ZBPC,：./OPE=/APD,VZAPD+ZCPD+ZBPC=180°,:.ZOPE+ZCPD+ZBPC=180°,.:点D,P,E三点共线，1VZCED二2ZCOD=22.5°,:,ZOPE=9O°-22.5°=67.5°,:.ZAPD=ZBPC=67.5°,:.ZCPD=45°,即：“回旋角”ZCPD的度数为45°,0EB025EEi(30EB025EEi(3)①当点P在半径OA上时，如图2,过点C作CF丄AB交OO于F,连接PF,：・：・PF=PC,同（2）的方法得，点D,P,F在同一条直线上,•・•直径AB的“回旋角”为120°,:.ZAPD=ZBPC=30°,.•・ZCPF=60°,:.△PCF是等边三角形，AZCFD=60°,连接OC,OD,AZCOD=120°,过点O作OG丄CD于G,1:・CD=2DG,/DOG二_ZCOD=60°,13.•・DG=ODsinZDOG=13Xsin60°:,ACD=13了，•△PCD的周长为24+13$,.•・PD+PC=24,•：PC=PF,.•・PD+PF=DF=24,过O作OH丄DF于H,.•・DH=2DF=12,在Rt^OHD中,OH=-匸壬=5,在Rt^OHP中，ZOPH=30°,・•・OP=10,:.AP=OA-OP=3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP=3,.•・AP=AB-BP=23,即：满足条件的AP的长为3或23.题组四】(2020•海门市校级模拟)如图，在△ABC中，ZACB=90°,O是边AC上一点，以O为圆心，以OA为半径的圆分别交AB、AC于点E、D,在BC的延长线上取点F,使得BF=EF.判断直线EF与OO的位置关系，并说明理由；若ZA=30。，求证：DG^WDA；若ZA=30°，且图中阴影部分的面积等于2芒-亍一，求OO的半径的长.【分析】(1)连接OE,根据等腰三角形的性质得到Z4=ZAEO，ZB=ZBEF，于是得到ZOEG=90。，即可得到结论；根据含30°的直角三角形的性质证明即可；由AD是OO的直径，得到ZAED=90。，根据三角形的内角和得到ZEOD=60°，求得ZEGO=30。，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.【解答】解：(1)连接OE，VOA=OE，AZA=ZAEO,•：BF=EF，AZB=ZBEF,VZACB=90°,.•・ZA+ZB=90°,・\ZAEO+ZBEF=90°,.•・ZOEG=90°,••・EF是OO的切线；VZAED=90°,ZA=30°,:,ed-wad,VZA+ZB=90°,:.ZB=ZBEF=60°,•:/BEF+/DEG=90°,:.ZDEG=30°,•:ZADE+ZA=90°,：・ZADE=60°,VZADE=ZEGD+ZDEG,:.ZDGE=30°,：・ZDEG=ZDGE,：・DG=DE,：・DG二EDA；：AD是OO的直径，:.ZAED=90°,•:ZA=30°,:.ZEOD=60°,:.ZEGO=30°,1I—fiOi—•:阴影部分的面积二弓'严■■:■'■t“-fn.解得：r2=4,即厂=2,即OO的半径的长为2.(2020•滨湖区模拟)如图，AB为OO的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作OO的切线，交BA的延长线于点E.求证：ACIIDE；连接CD,若OA=AE=2时，求出四边形ACDE的面积.【分析】(1)欲证明ACIDE，只要证明AC丄OD,ED丄OD即可.(2)由AAFO^ACFD(SAS),推出S/ofFD，推出S四边形acde=S“de，求出△ODE的面积即可.【解答】证明：(1)TF为弦AC(非直径)的中点，:.AF=CF，：.OD丄AC,VDE切®O于点D，：OD丄DE,：ACIDE.(2)TAC〃DE,且OA=AE，:F为OD的中点，即OF=FD，又VAF=CF,ZAFO=ZCFD,:.△AFO^^CFD(SAS),•，S^AFO=S△CFD，•:S四边形ACDE=S^ODE在Rt^ODE中，OD=OA=AE=2,:.OE=4,：.DE二；汨一〔口：二；丁一二=2,T•••S四边形ACDE=S"D#'ODXDH-2X2亡f飞.(2020•海门市一模)定义：在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形M,如果线段0P与图形M有公共点时，就称点P为关于图形M的“亲近点”已知平面直角坐标系xOy中，点A(1,记)，B(5,疋b,连接AB.在P1(1,2),P2(3,2),P3(5,2)这三个点中，关于线段AB的“亲近点”是P2和P3；若线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，点C(t,2苗芒一勺凋)、D(t+6,2西£—気厅)，求实数t的取值范围；若OA与y轴相切，直线l：y二-三-；过点B,点E是直线l上的动点，OE半径为2,当OE上所有点都是关于OA的“亲近点”时，直接写出点E横坐标n的取值范围.0【分析】(1)画出图根据“亲近点，定义即可求解；0、A、C在一条直线上，0、B、D在一条直线上，此时线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”满足条件圆的位置有两种情况：①当OE与OA的切线相切时OE上所有点都是关于OA的“亲近点”②当OE与y轴相切时，OE上所有点都是关于OA的“亲近点”【解答】解：(1)如图1：El由“亲近点”的定义可以判断OP2与OP3与AB线段有公共点,・•・线段AB的“亲近点”是P2与P3，故答案为P2和P3;(2)线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，°.°t+6>t,••・O、A、C在一条直线上，O、B、D在一条直线上，此时线段CD上的所有点都是关于线段AB的“亲近点”，・.t=3,**5・一一”11•-比tW3；(3)产一\&一过点B,・.b=6：■■-,二—■-=x+6二■,如图2：过原点的直线与®A相切于点F,连接OA,过点A作AG丄x轴,VOA=2,AF=1,:.ZAOF=30°,TAG二■-了，OG=1,.\ZAOG=60°,:.ZFOG=30°,当OE与OA的切线相切时，OE上所有点都是关于OA的“亲近点”・•・OP丄PE,TQ（6，0），••・PQ=3,•・•OE的半径PE=2,・.EQ=5,57•E点横坐标n=6_；.如图3：当OE与y轴相切时，OE上所有点都是关于OA的“亲近点”

2Wn匚(2020•绵阳模拟)如图，直径为10的OO经过原点O,并且与x轴、y轴分别交于A、B两点，线段OA、OB(OA>OB)的长分别是方程x2+kx+48=0的两根.求线段OA、OB的长；已知点C在劣弧OA上,连结BC交OA于D,当OG=CD・CB时，求C点的坐标;在OO上是否存在点P,使S\Pod=S、abd?若存在，求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据根与系数的关系写出OA+OB和OA・OB的值.连接AB,根据90°的圆周角所对的弦是直径，再结合勾股定理列方程求解.(2)若0O=CD・CB,则三角形OCB相似于三角形DCO,则ZCOD=ZCBO.又ZCOD=ZCBA，贝yZCBO=ZCBA，所以点C是弧OA的中点.连接O'C,根据垂径定理的推论，得O'E丄OA.再进一步根据垂径定理和勾股定理进行计算即可.首先求得直线BC的解析式，求得D的坐标，根据面积相等即可求得P的纵坐标,根据圆的直径即可作出判断．【解答】解：(1)连接AB，VZBOA=90°,:.AB为直径，根与系数关系得OA+OB=-k,OAXOB=48；根据勾股定理，得OA若OC2=CDXCB，则若OC2=CDXCB，则AOCBS0CO,AZCOD=ZCBO,又VZCOD=ZCBA,AZCBO=ZCBA,所以点C是弧OA的中点.连接O'C交OA于点D,根据垂径定理的推论，得O'C丄OA,根据垂径定理,得OD=4,根据勾股定理，得O'D=3,故CD=2,即C(4,-2)；设直线BC的解析式是y=kx+b,把B(0,6),C(4,-2)代入得:即(OA+OB)2-2OAXOB=100,解得：k2=196,••・k=±14(正值舍去).则有方程x2-14x+48=0,解得：x=6或8.又VOA>OB,•°.OA=8,OB=6；则直线BC的解析式是：y=-2x+6,令y=0，解得:x=3,则OD=3,AD=8-3=5,故S^bd二弓二5X6=15.若S△abd=S^obd，P到x轴的距离是h,1贝L・3h=15，解得:h=10.而OOZ的直径是10,因而P不能在OOZ±,故P不存在.【题组五】(2020•张家港市模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A(-5,0),以OA为半径作半圆，点C是第一象限内圆周上一动点，连结AC.BC,并延长BC至点D,使CD=BC,过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线AC于点E、F,点E为垂足，连结OF.当ZBAC=30。时，求△ABC的面积；当DE=8时，求线段EF的长；在点C运动过程中，是否存在以点E、O、F为顶点的三角形与AABC相似？若存【分析】（1）根据圆周角定理求得ZACB=90。，根据30°角的直角三角形的性质求得BC,进而根据勾股定理求得AC,然后根据三角形面积公式即可求得；（2）连接AD,由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8,在Rt^ODE中，由勾股定理求AE,依题意证明△AEFs^DEB,利用相似比求EF；（3）存在.当以点E、O、F为顶点的三角形与△ABC相似时，分为两种情况：①当交点E在O,B之间时；②当点E在O点的左侧时；分别求E点坐标.【解答】解：（1）TAB是OO的直径，AZACB=90°,在RT^ABC中，AB=10,ZBAC=30°,.•・BC二^AB=5,.AC二,玮丐乔=5T,.S^abc弓AC・Bb弓7辛VZACB=90°,CD=BC,.°.AD=AB=10,TDE丄AB,・・.AE=.工一厂=6,.BE=AB-AE=4,:.DE=2BE,•?ZDFC=ZDBEZDFC=ZAFE,?.ZAFE=ZDBE,

•:/AEF=/DEB=90°,.•.△AEFs&EB,ASDE.二二2…三吃，(3)连接EC,设E(x,0),当兴广的度数为60°时，点E恰好与原点O重合；”、0°的度数<60。时，点E在0、B之间，ZEOF>ZBAC=ZD，必须令/EOF=ZEBD，此时有厶EOFS&BD,OBOF&昌~BD•:EC是RTMDE斜边的中线,•:CE=CB,:./CEN=/EBD,?.ZEOF=ZCEB,：・OF//CE,AOQF2QFAECE吕。AO20S52x，即7二二L解得x=因为x>0解得x=-15+5vT7•:x，60°二亙广的度数V90。时，点E在O点的左侧,若ZEOF=ZB，贝9OF/BD,11：・O尸=BC=丁BD,QFQE1-x1'即二二-若/EOF=/BAC,则x二—言-15-F&VT755综上，点E的坐标为(-,0)、(一可，0)、(一^,0).(2019•靖江市校级一模)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=12,E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF丄AE于F,设PA=x.求证：△PFAs'ABE；当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x,使得以点P,F,E为顶点的三角形也与AABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；探究：当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，请直接写4S出DP满足的条件：」或10VxW12.kJAPDADBECBE备用图【分析】(1)根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑:①当ZPEF=ZEAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当ZPEF=ZAEB时，再结合(1)中的结论，得到等腰△APE.再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径丫的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围.【解答】(1)证明：•・•矩形ABCD,AZABE=90°,AD〃BC,:.ZPAF=ZAEB,又...PF丄AE,:.ZPFA=90°=ZABE,:.△PFA^^ABE.（2）解：分二种情况：①若AEFPsAabe,如图1,则/PEF=/EAB,:.PE//AB,・•・四边形ABEP为矩形，.°.P4=EB=6,即x=6.②如图2,若厶PFEsMBE，则ZPEF=ZAEB,.AD/BC.\ZPAF=ZAEB,/.ZPEF=ZP4F..PE=PA.•：PF丄AE,・•.点F为AE的中点，RtAABE中，AB=8,BE=6,6•.•△PFEs^ABE,PFEF•''AE目迟x5•,'_厂.一，25'PE—,25・•・满足条件的x的值为6或丁.(3)如图3,当®D与AE相切时，设切点为G,连接DG,•AP=x,:.PD=DG=12-x,VZDAG=ZAEB,ZAGD=ZB=90°,:、\AGDs\eBA,ADDG,1212-x1.0S当OD过点E时，如图4,OD与线段有两个公共点，连接DE,此时PD=DE=10,・•・当以D为圆心，DP为半径的OD与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x=-^或10VxW12；48故答案为：x或10VxW12.(2019•洪泽区二模)在AAOB中，ZABO=90°，AB=3,BO=4,点C在OB上，且BC=1,如图1,以O为圆心，0C长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB,作DB丄PB,使点D落在直线OB的上方，且满足DB：PB=3：4,连接AD请说明△ADBOPB；如图2,当点P所在的位置使得ADHOB时，连接OD,求OD的长；点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由.如图3,若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动.连接PA点P在运动过程中，叶卡是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由.

ADD05UBCADD05UBC【分析】（1）①由ZABO=90。和DB丄PB可得ZDBA=ZPBO,结合边长关系由两边对应成比例及其夹角相等的三角形相似即可证明结论．②过D点作DH丄BO交OB延长线于H点，由AD^OB平行可得ZDAB=90°,而厶ADBsMPB可知ZPOB=90°，由已知可求出AD.由RtADHO即可计算OD的长，ADAE©由△ADBs^OpB可知，可求AD，丁，由此可知D在以A为圆心AD为半径的圆上运动，所以OD的最大值为OD过A点时最大.求出OA即可得到答案.3g3（2）在OC上取点B'，使OB'OP，构造△BOP〜△POB'，可得PA-PB’WAB',求出AB'即可求出最大值.【解答】解：（1）①TDB丄PB，ZABO=90°,・•・/ADB=/CDP,又•.•AB=3,BO=4，DB：PB=3：4，即:ABBQDS3斗:.即:ABBQDS3斗:.△ADBs^OPB；tn_j_HBc解图⑵②如解图（2）,过D点作DH丄BO交OB延长线于H点,•.•AD〃OB,ZABD=9O°,AZDAB=90°,又•:aADBsaoPB,ADPO°F—5.：'，•°.AD=丁,:四边形ADHB为矩形,9:.HD=AB=3,HB=AD=丁,25OH=OB+HB=—在RtADHO中，OD=■③在AAOB中，ZABO=9O°,AB=3,BO=4,AOA=5.由②得AD二j,AD在以A为圆心AD为半径的圆上运动，AOD的最大值为OD过A点时最大，g25即OD的最大值为=OA+AD=5-「

（2）如解图（4）,在OC上取点（2）如解图（4）,在OC上取点B',使OB'=|OP=l，vzbop=zpob!OSOP3OPQBf4:.△BOP〜APOB',=P4_PB'WAB',.•・"-；巧有最大值为AB'g7在RtAABB'中，AB=3,BB'二=_丁=丁,.AB'="产―「门—”=手，3\-l93即：点P在运动过程中，PA有最大值为.，■,（2019•江都区三模）如图，矩形OABC顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点B的坐标为（8,6），点D是BC边上一点，且D为BC中点，OB与AD相交于点E,动点P从点O沿y轴向点C运动，运动速度为1单位长/秒，过点P的直线与x轴平行分别交OB、AD、AB于点M、N、Q,设点P的运动时间为t秒.（1）求点D的坐标和直线AD的解析式；设线段MN的长度为l,求l与t的函数关系式，写出t的取值范围；若点G为过三点O、M、N的圆的圆心(当M、N重合时，规定点G在过M点且与y轴平行的直线上)，当动点P从点O运动到点C,点G也随之运动，求点G的运动路径长．【分析】(1)点D(4，6)，点A(8，0)，将点AD的坐标代入一次函数表达式，即可求解；分点E在MN上方、点E在MN上方，两种情况分别求解；分点E在MN上方、点E在MN上方，两种情况分别求解.【解答】解：(1)点D(4，6)，点A(8，0)，一r6=4fr十bb=—色将点AD的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得：，解得：-，Lb12故直线AD的表达式为：尸-弓x+12,同理直线OB的表达式为：尸弓x,联立上述两式并解得：x=M，16即点E(丁,4)；(2)①当点E在MN上方时，即0VtW4时，OPPMtPM4斗VPM#CD，贝『，即:-，则PMt,此时点MCt，t)，同理点N(8-ft,t),

丄l=8ftrt=8-2t，②当点E在MN上方时，即4VtW6时,点M、N的坐标不变；戸打t-8—~t=2t-8，I8—j-0Ut生4即：1="；；21—8,r-4兰6)①当点E在MN上方时，即0VtW4时,1线段MN的中垂线为x=4-亍，o、m中点的坐标为q,勺),om中垂线的k值为-扌,当x=4—当x=4—寸时，尸土厂16则OM中垂线的表达式为:在点G所在的直线表达式为：口一三，TOC\o"1-5"\h\zt=0时，点G(4,),414t=4时，点G(4-亍，),点G运动的路径为直线即为两点间的距离=②当点E在MN上方时，即4VtW6时，点G所在的直线表达式不变，

5-vT7同理可得在此时间段点G运动的距离为：5-vT710V13,5-/135/13-故：点G的运动路径长—=飞厂.【题组六】（2019•宿迁模拟）在平面直角坐标系xOy中，OC的半径为r（r>l）,点P是圆内与圆心C不重合的点，OC的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与OC交于点A,B,若满足IPA-PBI=2,则称点P为OC的“完美点”，如图点P为OC的一个“完美点”.（1）当OO的半径为2时点me,o）不是oo的“完美点”，点（—亨，—+）是oo的“完美点”;（填“是”或者“不是”）若oo的“完美点”P在直线y二去上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为（s,t），且在直线y=-2x+1上,OC半径为r,若y轴上存在OC的“完美点”，求t的取值范围.【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.

【解答】解：(1)①•・•点MU，0),・••设OO与x轴的交点为A,B,•OO的半径为2,・•.取A(-2,0),B(2,0),3.•・IMA-MBI=I(二一2)-(2—三)1=3工2,・••点M不是OO的“完美点”，同理：点(一寸，一扌)是00的''完美点”.故答案为不是，是．②如图1,V1根据题意，IPA-PBI=2,IOP+2-(2-OP)I=2，OP=1．若点P在第一象限内，作PQ丄x轴于点Q,•点P在直线尸寸x上，OP=1,55-P5-一43若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-石，-可).3斗§综上所述，PO的长为1,点P的坐标为(—)或(一■，一亍).(2)对于OC的任意一个“完美点”P都有IPA-PBI=2，.•・ICP+r-(r-CP)1=2.••・CP=1.・•・对于任意的点P,满足CP=1，都有ICP+r-