因式分解课件华东师大版数学八年级上册

12.5因式分解1.提公因式法1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点）2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）学习目标运用前面所学的知识填空：(1)m(a+b+c)=

；

(2)(x+1)(x-1)=

；(3)(a+b)2=

.ma+mb+mcx2

-1a2+2ab+b2复习引入把下列多项式写成乘积的形式(1)ma+mb+mc=()()(2)x2

-

1=()()

(3)a2+2ab+b2=()2都是多项式化为几个整式的积的形式ma+b+cx+1x-

1a+b因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式.概念学习想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？x2

-

1(x+1)(x-

1)因式分解整式乘法是互为相反的变形，即x2

-

1=(x+1)(x-

1)等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积辨一辨：在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有______________；不是因式分解的，请说明为什么.③⑥①

am+bm+c=m(a+b)+c②24x2y=3x

·8xy③(2x+1)2=4x2+4x+1④x2－

1=(x+1)(x－

1)⑤x2+x=x2(1+)⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z)最后不是积的运算因式分解的对象是多项式是整式乘法每个因式必须是整式这个多项式有什么特点？pa+pb+pc多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.相同因式

p因式分解之基本方法—提公因式法如何确定一个多项式的公因式？例1

找3x2–6xy

的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x

所以公因式是

3x指数：相同字母的最低次数1一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=提公因式法正确找出多项式各项公因式的关键是：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.找一找：下列各多项式的公因式是什么？(1)3x+6y(2)ab-2ac(3)a2

-

a3(4)9m2n

-

6mn

(5)

-

6x2y

-

8xy2

3aa23mn-2xy(1)8a3b2+12ab3c；例2

把下列各式分解因式：分析：提公因式法的步骤(分两步)：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-

3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.解：（1）

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？另一个因式将是

2a2b+3b2c，它还有公因式是

b.（2）2a(b+c)-

3(b+c)=(b+c)(2a-

3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算去检验.因式分解：(1)3a3c2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.(3)原式＝(a＋b)(a－b－1).解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).(2)原式＝(2a－3)(b＋c).针对训练小明的解法有误吗？因式分解：12x2y+18xy2.解：原式

=3xy(4x+6y).错误公因式没有提尽，还可以提出公因式

2注意：公因式要提尽.正确解：原式

=6xy(2x+3y).小亮的解法有误吗？因式分解：3x2

-6xy+x.解：原式=x(3x-6y).当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是

1.错误注意：某项提出莫漏1.正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1)小华的解法有误吗？因式分解：-

x2+xy-

xz.解：原式=-

x(x+y-

z).提出负号时括号里的项没变号错误注意：首项有负常提负.正确解：原式

=-(x2-

xy+xz)=-

x(x-

y+z).1.把下列各式分解因式：(1)

8m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-

9x2y2=_____________；(3)p(a2+b2)-

q(a2+b2)=______________；

(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________；(5)(x-y)2+y(y-x)=______________.当堂练习2mn(4m+1)3xy(4z-

3xy)(a2+b2)(p-

q)-xy(x2y2+xy+1)(y-

x)(2y-

x)2.分解因式：(x-

y)2

+y(y

-

x).解法1：(x-

y)2

+y(y

-

x)=(x

-

y)2

-

y(x

-

y)=(x

-

y)(x

-

y

-

y)=(x

-

y)(x

-

2y).解法2：(x-

y)2+y(y-

x)=(y-

x)2

-

y(y-

x)=(y

-

x)(y

-

x+y)=(y

-

x)(2y

-

x).3.简便计算：2

+

×

=(

+

)=.

(2)20222

+

2022–20232=2022×(2022+

1)-

20232=

2022×2023-

20232

=

2023×(2022-

2023)=

-

2023．(3)(-

2)101

+(-

2)100.=(-2)100×(-2+1)

=2100×(-

1)=-

2100.4.(1)已知2x+y=4，xy=3，求代数式2x2y+xy2

的值；2x2y+xy2

=xy(2x+y)=3×4=12.(2)化简求值：(2x+1)2-

(2x

+1)(2x-

1)，其中x=.=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).将

x=

代入上式，得原式

=4.

2.公式法1.认识平方差公式、完全平方公式的特点.（重点）2.会运用这两种公式将多项式分解因式.（难点）学习目标1.什么叫多项式的因式分解?把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.复习引入

2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个是整式乘法？它们有什么关系？1.a(x+y)=ax+ay

2.ax+ay=a(x+y)整式乘法因式分解它们是互为方向相反的变形一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

(a+b+c)pa+pb+pcp=提公因式法1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.正确找出多项式各项公因式的关键是：还记得前面学过的乘法公式吗？平方差公式：两数和（差）的平方公式：a2

-

b2=(a+b)(a

-

b)(a±b)2

=a2

±2ab+

b2运用平方差公式因式分解想一想：多项式

a2-

b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是

a，b两数的平方差的形式平方差公式：))((baba

-

+=22ba

-

))((22bababa

-

+=

-

整式乘法因式分解两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2（2）x2-

y2（3）

-

x2

-

y2（4）

-

x2+y2（5）x2

-

25y2（6）m2

-

1√√××√√

-

(x2+y2)y2

-

x2(x+5y)(x

-

5y)(m+1)(m

-

1)(x

+y

)(x

-

y

)(y

+

x)(y

-

x

)例1分解因式：=(2x+3)(2x-3).解：(1)原式=(2x)2-3方法总结：公式中的a，b无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例2分解因式：…………一提（公因式）……二套（公式）解：(1)原式=(x2)2-(y2)2=(x2+y2

)(x2

-

y2)=(x2+y2

)(x

-

y)(x

-

y).三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）两数和(或差)平方公式：两数和(或差)平方公式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的±2倍.=（a±b）2运用两数和(或差)平方公式因式分解凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解.a22abb2±.+.=(a±b)²利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.对照公式

a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？1、x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²2、m²-6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²x2x+2mm

-33x2m33、a²+4ab+4b²

=()²+2·()·()+()²=()²a22abb2±.+.=(a±b)²aa2ba+2b2b下列各式是不是两数和(或差)平方公式？（1）a2-6a+9；

（2）1+4a²；

（3）4b2+4b-1；

（4）a2+ab+b2；

（5）x2+x+0.25.是不是不是不是是分析：（2）因为它只有两项.（3）4b²与

-

1的符号不统一.（4）中间项缺2倍.例3分解因式：（1）16x2

+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2，

9=3²，24x=2·4x·3，

所以16x2+24x+9是一个两数和平方公式，即

16x2+24x+9=(4x)2

+2×4x·3+32.2ab

b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-

4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.例3分解因式：（1）16x2

+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2=(4x+3)2.

(2)-x2+4xy-4y2

=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.

例4把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解因式（2）(a+b)2

-12(a+b)+36.中将

a+b看成一个整体，设

a+b=m，则原式化为

m2

-12m+36.例4把下列各式分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2

-12(a+b)+36.

例5例5利用两数和(或差)平方公式简便计算：(1)1002

-2×100×99

+99²；(2)342

+34×32

+162.1.把下列各式分解因式：(1)16a2

-

9b2

=__________________；

(2)(a+b)2

-

(a

-

b)2=________；

(3)9xy3

-

36x3y=____________________；

(4)

-

a4+16=_______________________.(4a+3b)(4a

-

3b)4ab9xy(y+2x)(y

-

2x)(4+a2)(2+a)(2

-

a)当堂练习2.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36；（2）4a2－4a+1；=x2－2·x·6+62=(x－6)2.=(2a)2－2·2a·1+

12=(2a－1)2.