中考数学真题：2021年兰州市初中学业水平考试

2021年兰州市初中学业水平考试数学(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若∠A＝40°，则∠A的余角为()A.30°B.40°C.50°D.140°2.如图，该几何体的主视图是()3.计算：2a(a2＋2b)＝()A.a3＋4abB.2a3＋2abC.2a＋4abD.2a3＋4ab4.关于x的元一次不等式5x≥x＋8的解集在数轴上表示为()5.因式分解：x3－4x＝()A.x(x2－4x)B.x(x＋4)(x－4)C.x(x＋2)(x－2)D.x(x2－4)6.在平面直角坐标系xOy中，点A(－3，4)关于y轴对称的点B的坐标是()A.(3，－4)B.(－3，－4)C.(－3，4)D.(3，4)7.二次函数y＝x2＋2x＋2的图象的对称轴是()A.x＝－1B.x＝－2C.x＝1D.x＝28.如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，只有一个面被涂色的概率为()A.eq\f(4,27)B.eq\f(2,9)C.eq\f(8,27)D.eq\f(20,27)第8题图9.如图，点A在反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为2，则k＝()第9题图A.4B.8C.12D.1610.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为5m时，标准视力表中最大“E”字高度为72.7mm，当测试距离为3m时，最大的“E”字高度为()第10题图A.4.36mmB.29.08mmC.43.62mmD.121.17mm11.如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙).若四边形ABCD的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b，则(a＋b)2＝()A.12B.13C.24D.25第11题图12.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE，CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2＋2eq\r(3)，则AD＝()第12题图A.4B.3C.2eq\r(2)D.2二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.大意为：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若水位上升1m记作＋1m，则下降2m记作m.14.将一副三角板如图摆放，则∥，理由是.第14题图15.如图，传送带的一个转动轮的半径为10cm，转动轮转n°，传送带上的物品A被传送6πcm，则n＝.第15题图16.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝3.①以点A为圆心，以不大于AB长为半径作弧，分别交边AD，AB于点E，F，再分别以点E，F为圆心，以大于eq\f(1,2)EF长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP分别交BD，BC于点O，Q；②分别以点C，Q为圆心，以大于eq\f(1,2)CQ长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AP于点G，则OG长为.第16题图三、解答题(本大题共12小题，共72分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(4分)计算：(eq\r(\f(4,3))＋eq\r(3))×eq\r(6).18.(4分)先化简，再求值：eq\f(2m－6,m2－9)÷eq\f(m－1,m－3)－eq\f(1,m－1)，其中m＝4.19.(4分)解方程：x2＋4x－1＝0.20.(5分)如图，点E，C在线段BF上，∠A＝∠D，AB∥DE，BC＝EF.求证：AC＝DF.第20题图21.(6分)如图，一次函数y＝－eq\f(1,2)x＋b与反比例函数y＝－eq\f(10,x)(x<0)，y＝eq\f(k,x)(x>0)的图象分别交于点A(－2，m)，B(4，n)，与y轴交于点C，连接OA，OB.(1)求一次函数y＝－eq\f(1,2)x＋b和反比例函数y＝eq\f(k,x)(x>0)的表达式；(2)求△AOB的面积.第21题图22.(6分)避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置.如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼BC顶部避雷针CD的长度(B，C，D三点共线)，在水平地面A点测得∠CAB＝53°，∠DAB＝58°，A点与大楼底部B点的距离AB＝20m，求避雷针CD的长度.(结果精确到0.1m.参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)第22题图23.(6分)小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车也从景区入口处出发，沿相同路线先后到达观景点.如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y(m)与时间x(min)之间的关系.根据图象解决下列问题：(1)观光车出发分钟追上小军；(2)求l2所在直线对应的函数表达式；(3)观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由.第23题图24.(6分)2021年2月25日.习近平总书记在全国脱贫攻坚总结表彰大会上庄严宣告中国脱贫攻坚取得了全面胜利，完成了消除绝对贫困的艰巨任务，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.根据2021年4月7日《人民日报》刊登的“人类减贫的中国实践”的相关数据进行收集和整理，信息如下：信息一：脱贫攻坚以来中国农村年度贫困人口数量信息二：脱贫攻坚以来财政专项扶贫资金投入信息三：脱贫攻坚以来贫困地区农村居民和全国农村居民年人均可支配收入及增长率年份、统计量名称20132014201520162017201820192020平均数贫困地区农村居民年人均可支配收入/元607968527653845293771037111567125889117贫困地区农村居民年人均可支配收入增长率/%16.512.711.710.410.910.611.58.811.6全国农村居民年人均可支配收入增长率/%12.411.28.98.28.68.89.66.99.3请根据以上信息，解决下列问题：(1)2019年底中国农村贫困人口数量为万人；(2)2013年底至2020年底，贫困地区农村居民年人均可支配收入的极差为元；(3)下列结论正确的是.(只填序号)①脱贫攻坚以来中国农村贫困人口数量逐年减少，最终全部脱贫；②脱贫攻坚以来我国贫困地区农村居民人均可支配收入年平均增长率为11.6%，增长持续快于全国农村；③2016－2020年各级财政专项扶贫资金投入连续5年超过中央财政专项扶贫资金1000亿元.25.(7分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，将∠BAC绕点A顺时针旋转，角的两边交射线BC于D，E两点，F为AE上一点，连接CF，且∠ACF＝∠B(当点B，D重合时，点C，F也重合)，设B，D两点间的距离为xcm(0≤x≤8)，A，F两点间的距离为ycm.第25题图小刚根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小刚的探究过程，请补充完整.(1)列表：下表的已知数据是根据B，D两点间的距离x进行取点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.511.522.53y/cm6.005.765.535.315.094.884.69x/cm3.544.55678y/cm4.504.334.174.023.793.65a请你通过计算，补全表格：a＝；(2)描点、连线：在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点(x，y)，并画出函数y关于x的图象：(3)探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势：_____________________；(4)解决问题：当AF＝CD时，BD的长度大约是cm.(结果保留两位小数)26.(7分)如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，E为AB上一点，BE＝BC，延长CE交AD于点D，AD＝AC.(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若tan∠ACE＝eq\f(1,3)，OE＝3，求BC的长.第26题图27.(8分)已知正方形ABCD，E，F为平面内两点.【探究建模】(1)如图①，当点E在边AB上时，DE⊥DF，且B，C，F三点共线.求证：AE＝CF；【类比应用】(2)如图②，当点E在正方形ABCD外部时，DE⊥DF，AE⊥EF，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；【拓展迁移】(3)如图③，当点E在正方形ABCD外部时，AE⊥EC，AE⊥AF，DE⊥BE，且D，F，E三点共线，DE与AB交于G点.若DF＝3，AE＝eq\r(2)，求CE的长.第27题图28.(9分)如图①，二次函数y＝a(x＋3)(x－4)的图象交坐标轴于点A，B(0，－2)，点P为x轴上一动点.(1)求二次函数y＝a(x＋3)(x－4)的表达式；(2)过点P作PQ⊥x轴分别交线段AB，抛物线于点Q，C，连接AC，当OP＝1时，求△ACQ的面积；(3)如图②，将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PD.①当点D在抛物线上时，求点D的坐标；②点E(2，－eq\f(5,3))在抛物线上，连接PE，当PE平分∠BPD时，直接写出点P的坐标.第28题图

2021年兰州市初中学业水平考试(数学)解析1.C【解析】如果两个角的和为直角，那么其中一个角是另一个角的余角，∴∠A的余角为90°－40°＝50°.2.B【解析】由立体图形可以看出，B选项即为该立体图形的主视图．3.D【解析】2a(a2＋2b)＝2a·a2＋2a·2b＝2a3＋4ab.4.B【解析】5x≥x＋8，移项得4x≥8，即x≥2，在数轴上的表示如B选项所示．5.C【解析】原式＝x3－4x，提取公因式得原式＝x(x2－4)，运用平方差公式得原式＝x(x＋2)(x－2)．6.D【解析】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标取相反数，得点B的坐标为(3，4)．7.A【解析】对称轴为x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(2,2)＝－1.8.B【解析】由题图可知，正方体共被分割为27个小正方体，只有一个面被涂色的小正方体共有6个，∴P(只有一个面被涂色)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).9.B【解析】由题图可知，∵C是OB的中点，△AOC的面积为2，∴△AOB的面积为4，即eq\f(1,2)×OB·AB＝4，k＝OB·OA＝8.10.C【解析】由题图可知，设较小的“E”字高度为xmm，两三角形相似，则eq\f(3×103,5×103)＝eq\f(x,72.7)，解得x＝43.62mm.11.D【解析】如解图，可知四边形ABCD是正方形，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab，∵a，b为直角三角形的两条直角边，∴由勾股定理可知AD2＝a2＋b2＝13，∴直角三角形的面积＝eq\f(1,2)ab，2ab＝4倍直角三角形的面积＝正方形ABCD的面积－四边形EFGH的面积＝13－1＝12，∴(a＋b)2＝13＋12＝25，故D选项正确.第11题解图小鹿提示：剪完再接起来，面积不会变化哦！12.A【解析】∵四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD相交于点O，且∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝2OC，∴∠OCE＝∠OCB－∠BCE＝60°－15°＝45°，根据菱形性质可知AC与BD垂直，∴△COE为等腰直角三角形，∴OE＝OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)AD.∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝2∠OAD＝120°，∴在Rt△AOD中，sin60°＝eq\f(OD,AD)，∵ED＝2＋2eq\r(3)，∴OE＋OD＝eq\f(1,2)AD＋ADsin60°＝2＋2eq\r(3)，解得AD＝4.故A选项正确．13.－2【解析】上升表示正数，下降则表示负数．14.BC，DE，内错角相等则两条直线互相平行【解析】由图可知，三角板中∠ACB＝∠DEF＝90°.15．108【解析】由题图可知，物体A被传送的距离等于转动轮转动了n°的圆弧长，故2×10×π×eq\f(n,360)＝6π，解得n＝108.16.eq\f(5,4)eq\r(2)【解析】如解图，过点O作OH⊥AD于点H，由作图可知AG平分∠BAD，GK垂直平分CQ，∴BQ＝DK＝1，AK＝2，∠GAD＝45°，∴AG＝2eq\r(2)，设AH＝x，则OH＝x，DH＝3－x，∵△DOH∽△DBA，∴eq\f(DH,DA)＝eq\f(OH,BA)，即eq\f(3－x,3)＝eq\f(x,1)，∴x＝eq\f(3,4)，AH＝OH＝eq\f(3,4)，∴AO＝eq\f(3,4)eq\r(2)，∴OG＝AG－AO＝2eq\r(2)－eq\f(3,4)eq\r(2)＝eq\f(5,4)eq\r(2).第16题解图17.解：原式＝eq\r(\f(4,3))×eq\r(6)＋eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\r(8)＋eq\r(18)＝2eq\r(2)＋3eq\r(2)＝5eq\r(2).18.解：原式＝eq\f(2（m－3）,（m＋3）（m－3）)÷eq\f(m－1,m＋3)－eq\f(1,m－1)＝eq\f(2,m＋3)×eq\f(m＋3,m－1)－eq\f(1,m－1)＝eq\f(2,m－1)－eq\f(1,m－1)＝eq\f(1,m－1).当m＝4时，eq\f(1,m－1)＝eq\f(1,4－1)＝eq\f(1,3).19.解：x2＋4x＝1.x2＋4x＋22＝1＋22，(x＋2)2＝5.x＋2＝±eq\r(5)，即x＋2＝eq\r(5)或x＋2＝－eq\r(5).∴x1＝－2＋eq\r(5)，x2＝－2－eq\r(5).20.证明：∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF.又∵BC＝EF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC＝DF.21.解：(1)∵点A(－2，m)在y＝－eq\f(10,x)(x＜0)的图象上，∴m＝eq\f(－10,－2)＝5.∴A(－2，5)．∵点A(－2，5)在y＝－eq\f(1,2)x＋b的图象上，∴5＝－eq\f(1,2)×(－2)＋b，∴b＝4.∴一次函数的表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋4.∵点B(4，n)在y＝－eq\f(1,2)x＋4的图象上，∴n＝－eq\f(1,2)×4＋4＝2，∴B(4，2)．∵点B(4，2)在y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象上，∴k＝4×2＝8，∴反比例函数的表达式为y＝eq\f(8,x)(x＞0)；(2)∵直线y＝－eq\f(1,2)x＋4与y轴交于C点，∴当x＝0时，y＝4，即OC＝4.∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2)×OC×(|xA|＋|xB|)＝eq\f(1,2)×4(2＋4)＝12.22.解：在Rt△DAB中，DB＝AB·tan∠DAB＝20×tan58°，在Rt△CAB中，CB＝AB·tan∠CAB＝20×tan53°，∴CD＝DB－CB＝20×tan58°－20×tan53°≈20×(1.60－1.33)＝20×0.27＝5.4(m)．答：避雷针CD的长度约是5.4m.23.解：(1)6；(2)设l2的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(15，0)和(21，1800)代入y＝kx＋b得，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝0,21k＋b＝1800))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝300,b＝－4500))，∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x－4500(15≤x≤25)；【自变量范围不作要求】(3)在直线l2上，当y＝3000时，x＝25.∴33－25＝8(min)，即观光车比小军早8min到达观景点．24.解：(1)551；(2)6509；(3)①②③.eq\a\vs4\al(题目这么长，没想到做起来这么简单！)25.解：(1)3.60；(2)所求作的图象如解图①所示；第25题解图(3)随着自变量x的不断增大，函数y不断减小；(4)3.50(如解图②交点横坐标)(3.40≤BD≤3.60都给分)．26.(1)证明：∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.∵∠AED＝∠BEC，∴∠AED＝∠BCE.∵AD＝AC，∴∠D＝∠ACE.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠BCE＝90°.∴∠D＋∠BCE＝90°.∴∠D＋∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°，即AD⊥AO.∵OA为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线；(2)解：∵AD＝AC，∴∠D＝∠ACE.∴tanD＝tan∠ACE＝eq\f(1,3).设AE＝x，则AD＝AC＝3x，OA＝OB＝AE＋OE＝x＋3，BC＝BE＝OE＋OB＝3＋x＋3＝x＋6，AB＝2(x＋3)＝2x＋6.在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3x)2＋(x＋6)2＝(2x＋6)2，解得x1＝2，x2＝0(舍去)．∴BC＝x＋6＝8.27.(1)证明：∵DE⊥DF，∴∠CDF＋∠CDE＝90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠DCF＝∠ADC＝∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.∵∠DAE＝∠DCF＝90°，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF；(2)AE＋CE＝eq\r(2)DE，证明：∵DE⊥DF，∴∠DFC＋∠DEC＝90°，∵AE⊥EF，∴∠AED＋∠DEC＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∵DE⊥DF，∴∠CDF＋∠CDE＝90°，∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF.∵∠AED＝∠DFC，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF，DE＝DF.∴EF＝CF＋CE＝AE＋CE.又∵DE⊥DF，∴∠DEF＝45°.∴DE＝EF·cos∠DEF＝eq\f(\r(2),2)(AE＋CE)，即AE＋CE＝eq\r(2)DE；【或在Rt△DEF中由勾股定理得(AE＋CE)2＝2DE2也得分】(3)解：如解图，过D作DH⊥DE交EC延长线于点H.∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAF＋∠FAG＝90°.第27题解图∵AE⊥AF，∴∠BAE＋∠FAG＝90°，∴∠DAF＝∠BAE.∵∠DAB＝90°，∴∠ADF＋∠DGA＝90°，∵DE⊥BE，∴∠ABE＋∠BGE＝90°，∵∠DGA＝∠BGE，∴∠ADF＝∠ABE.∴△ADF≌△ABE(ASA)．∴AF＝AE＝eq\r(2).∵AF⊥AE，∴∠AEF＝45°，∴EF＝2.∴DE＝DF＋EF＝3＋2＝5.由(2)得△DAE≌△DCH，AE＝CH＝eq\r(2)，EH＝eq\f(DE,cos∠DEH)＝eq\f(5,cos45°)＝5eq\r(2).∴CE＝EH－CH＝5eq\r(2)－eq\r(2)＝4eq\r(2).28.解：(1)∵二次函数y＝a(x＋3)(x－4)的图象过点B(0，－2)，∴－12a＝－2，解得a＝eq\f(1,6)，∴y＝eq\f(1,6)(x＋3)(x－4)；【或y＝eq\f(1,6)x2－eq\f(1,6)x－2】(2)∵y＝eq\f(1,6)(x＋3)(x－4)，令y＝0，解得x1＝－3，x2＝4，∴A(4，0)，OA＝4.当OP＝1时，PA＝OA－OP＝4－1＝3，PQ＝PA·tan∠OAB＝3×eq\f(2,4)＝eq\f(3,2