2023年全国高中数学联合竞赛(浙江省六校2022-2023学年下学期第四次联考)试题PDF版含解析

第第页2023年全国高中数学联合竞赛(浙江省六校2022-2023学年下学期第四次联考)试题（PDF版含解析）2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2023年全国高中数学联合竞赛

加试（模拟4）参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可

参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一．（本题满分40分）如图，DABC的外接圆为，P为BC边上一点，

满足APB=BAC．过点A作的切线交DABP的外接圆于点Q，Q关于AB

中点的对称点为T，AT交QP于点D．

111

证明：+>．（答题时请将图画在答卷纸上）

ABACCD

证明：由于四边形AQBT为平行四边形，所以

DAC=BAC-BAT=BAC-ABQ=APB-APQ=QPB=DPC

进而D,P,A,C四点共圆．…………10分

因此QPB=QAB=ACB，即AC∥PQ，于是知四边形APDC为等腰

梯形，得AP=CD．…………20分

111AB+AC1

要证+>，只需证>．注意到DABP∽DCBA，所

ABACCDAB×ACAP

1CBABAC

以，证毕．…………40分

APABACABAC

1

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

二．（本题满分40分）设c是非负整数．求所有的无穷正整数数列{an}，

满足：对任意正整数n，恰存在an个正整数i使得aian1c．

2

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

三．（本题满分50分）设正整数n6，图G中有n个顶点，每个顶点的度

数均至少为3．设C1,C2,,Ck是G中所有的圈，求gcd(C1,C2,,Ck)的所有可

能值，其中C表示圈C中顶点的个数．

四．（本题满分50分）对非负整数a,b，定义位异或运算ab，是唯一的

非负整数，使得对每个非负整数k，

abab

2k

2k2k

都是偶数．例如：9101001210102001123．

求所有正整数a，使得对任意整数xy0，都有xaxyay．

3

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

4

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5

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2023年全国高中数学联合竞赛

加试试题（模拟4）

一．（本题满分40分）如图，DABC的外接圆为，P为BC边上一点，

满足APB=BAC．过点A作的切线交DABP的外接圆于点Q，Q关于AB

中点的对称点为T，AT交QP于点D．

111

证明：+>．（答题时请将图画在答卷纸上）

ABACCD

二．（本题满分40分）设c是非负整数．求所有的无穷正整数数列{an}，

满足：对任意正整数n，恰存在an个正整数i使得aian1c．

三．（本题满分50分）设正整数n6，图G中有n个顶点，每个顶点的度

数均至少为3．设C1,C2,,Ck是G中所有的圈，求gcd(C1,C2,,Ck)的所有可

能值，其中C表示圈C中顶点的个数．

四．（本题满分50分）对非负整数a,b，定义位异或运算ab，是唯一的

非负整数，使得对每个非负整数k，

abab2kk

22k

都是偶数．例如：9101001210102001123．

求所有正整数a，使得对任意整数xy0，都有xaxyay．

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）

暨2023年全国高中数学联合竞赛

一试（模拟4）参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的

评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可

参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、

11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．

1．已知sin()1,cossin1，则cos(22)的值为．

36

1

答案：．

9

解：因为sin()sincoscossin

1

，而cossin

1

，因此sincos

1

32，6

则sin()sincos

2

cossin，所以

3

cos(22)cos2()12sin2()12(21)2．

39

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S45,S621S2，则S8．

答案：85．

解：设等比数列an的公比为q，首项为a1．

若q1，则S66a132a13S2，与题意不符，所以q1．

a1q4a1q6a1q2

由S45，S21S可得，1

1

625，21

1

，故

1q1q1q

1q2q421q2

a

4S11q

8a1q41，解得：，所以81q4511685．

1q1q

3．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三

角形是直角三角形的概率是．

答案：3．

7

解：从圆内接正八边形的8个顶点中任取两点连成线段，其中有4条为圆的

直径，若从这8个顶点中任取3个顶点构成三角形，所得的三角形是直角三角形，

则其中直角三角形的斜边为圆的直径，然后从剩余的6个顶点（除去直角三角形

斜边的顶点）中任取一个点，与斜边的顶点可构成直角三角形，故所求事件的概

1

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

P46243率为3C567．8

2023

4．已知定义域为R的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，若f(k)1，

k1

则f(0)的值为．

答案：1．

解：因为fx2fx，所以fx4fx2fx，所以fx的周期

为4，所以f2f0，f3f1，f4f2f0，即

f1f2f3f4f1f0f1f00．

2023

若f(k)1，则f1f2f3f4f20231，

k1

即505f1f2f3f4f1f2f31，

可得f1f2f3f1f0f11，所以f01．

5．已知z为复数，且关于x的方程x2zx43i0有实数解，则z最小

的

值为．

答案：32．

2

解：由x2zx43i0可得zxx43i，显然x0不是方程

x243

x2zx43i0的实数根，所以x0，即zixx．

若关于x的方程x2zx43i0有实数根，则z4x3i，xR，所以

xx

22

zx43225225x82x81832，当且仅当x5xxx2x2

时等号成立，故z的最小值为32．

22

6xy．在平面直角坐标系中，直线l与双曲线:221(a0,b0)的左右ab

两支交于A,B两点，与的渐近线交于C,D两点，且A,C,D,B在l上顺次排列．若

OAOB，AC,CD,DB成等差数列，则的离心率的取值范围是．

答案：[10,)．

解：设Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4,直线AB:ykxm，

ykxmxx2a

2km

12222

联立x2y2

222

，可得bakx22ka2mxa2m2a2b20akb，则2222①

1a2b2x1x

amab

2a2k2b2

2

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

2

ykxm

x3x4xx

2akm

1

2222

22b2a2k2x22ka2mxa2m2akb联立xy，可得0，则

0a22

②

ma2b2x3x4a2k2b2

a2b2k21

因为OAOB，所以x1x2kx1mkx2m0，所以m20③

b2a2

因为m20，所以b2a2，所以e22，即得e2④

因为x3x4x1x2，所以CD中点为AB的中点，所以ACBD，因为

AC,CD,BD成等差数列，所以ACCDBD，又因为A，C，D，B从左到右

b2b29a2

依次排列，所以AB3CD，所以x1x23xx

2

34，代入①②③有k．a29b2a2

因为k20且e22，又因为b2a2，则9b2a2所以b29a2，所以e219，

即e10．

综上所述，的离心率的取值范围是[10,)．

7．已知在四棱锥P-ABCD中，

APBBPCCPDDPA60,APCBPD,PBPD．

若该四棱锥存在半径为1的内切球，且PA6，则PC的长为．

答案：3643．

解：如图，APBBPCCPDDPA60，且APCBPD，

可以在四棱锥上截取一个正四棱锥PABCD，

此时四边形ABCD为正方形，且边长为6，

ACAB2BC223，PA2PC212AC2

APCBPD90．

设PBPDt0,ACBDO,PCx0，

APBBPCCPDDPA60，且PBPD，

ABAD,BCCD，ACBD，O为BD中点，

PBPD，POBD．

又POACO，BD平面PAC，

BPD90，BDPB2PD22t，

VVV1BDS113PABCDBPACDPACPAC2t6xtx．3323

又因为四棱锥PABCD存在半径为1的内切球，

V1PABCDS3PABSPADSPBCSPCDS四边形ABCD

1

1

PAPBsin60

1PAPD111sin60PCPBsin60PCPDsin60ACBD

322222

116t31

6t

313131

txtx2t6x23tx

3222222222

，

3

3

{#{ABSUggCoQBJAARhCEQFSCACQkAECAKgORBAAsAAAiRFABAA=}#}

323x26x23x3322即，即x6x2，x266x60，解得

222222

x3643．

因为四棱锥PABCD存在半径为1的内切球，直径为2，PC2，而

36432，故PC3643，

8．令实数集S{a1,a2,a3,a4,a5,a6}，定义函数f:SS，使得

f(f(a1))=f(f(a2))=f(f(a3))=f(f(a4))=f(f(a5))=f(f(a6))，

则满足条件的f的个数为．

答案：1176．

解：

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、