河南省新乡市第一农业中学高三数学文期末试题含解析

河南省新乡市第一农业中学高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数项和是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案:C2.设函数f（x）=当x∈[﹣，]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（）A．（，） B．（﹣1，） C．（，0） D．（，﹣]参考答案：C【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】考虑a=0，a＞0不成立，当a＜0时，画出f（x）的图象和f（x+a）的大致图象，考虑x=﹣时两函数值相等，解方程可得a的值，随着y=f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，即可得到a的范围．【解答】解：a=0时，显然不符题意；当x∈[﹣，]时，恒有f（x+a）＜f（x），即为f（x）的图象恒在f（x+a）的图象之上，则a＜0，即f（x）的图象右移．故A，B错；画出函数f（x）=（a＜0）的图象，当x=﹣时，f（﹣）=﹣a?﹣；而f（x+a）=，则x=﹣时，由﹣a（﹣+a）2+a﹣=﹣a?﹣，解得a=（舍去），随着f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，则a的范围是（，0），故选：C．3.已知函数f（x）=，令g（n）=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1），则g（n）=(

) A．0 B． C． D．参考答案：D考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=+=1，能求出g（n）=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）=．解答： 解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=+=1，∴g（n）=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）=．故选：D．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4.已知向量=（cosθ，sinθ），θ∈（，π），=（0，﹣1），则与的夹角等于（） A．θ﹣ B． +θ C． ﹣θ D． θ参考答案：考点： 平面向量数量积的运算．专题： 计算题；平面向量及应用．分析： 由向量夹角公式可得cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），再由∈（，π），＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，可得结论．解答： 解：?=cosθ×0+sinθ×（﹣1）=﹣sinθ，||=1，||=1，∴cos＜，＞==﹣sinθ=cos（），∵θ∈（，π），∴∈（，π），又＜，＞∈[0，π]，y=cox在[0，π]上单调递减，∴＜，＞=，故选C．点评： 本题考查向量的数量积运算、夹角公式及诱导公式等知识，属基础题．5.△ABC的三个内角，，所对的边分别为，，，，则（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：Ａ6.一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于（

）A.1

B.2

C.3

D.4参考答案：B7.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01

对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是A.y＝2x－2

B.y＝()x

C.y＝log2x

D.y＝(x2－1)参考答案：D8.（3分）设z=1+i（i是虚数单位），则复数+z2在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得对应点的坐标，则答案可求．解答：∵z=1+i，则复数+z2=，∴复数+z2在复平面上对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题．9.已知集合，其中ai∈且a3≠0，则A中所有元素之和等于(

)A．3240

B．3120

C．2997

D．2889参考答案：D略10.平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，如果=+，=﹣3，D是BC的中点，那么||=（）A． B．2 C．3 D．6参考答案：A【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】由已知，将所求用向量与表示，利用已知转化为求模以及数量积解答．【解答】解：由已知，=+，=﹣3，D是BC的中点，那么=（）=（2）=；又平面向量与的夹角是，且||=1，||=2，所以（）2==1+4﹣2×1×2×cos=3，所以||=；故选：A．【点评】本题考查了向量的加减运算和数量积的运算；属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为．参考答案：9考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=的值，根据条件确定跳出循环的i值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=的值，∵S==＞﹣1，S=∴跳出循环的i值为9，∴输出i=9．故答案为9；点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．12.定义:如果函数在区间上存在，满足，则称是函数在区间上的一个均值点.已知函数在区间上存在均值点，则实数的取值范围是________.参考答案：略13.已知一个半径为Im的半圆形工件，未搬动前如图所示（直径平行于地面放置），搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移40m，则圆心D所经过的路线长是

m．参考答案：14.已知a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，则的最小值为．参考答案：7【考点】基本不等式．【分析】a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，可得=1．于是=+b2﹣1.+b==+2≥4，再利用柯西不等式（+b2）（1+1）≥即可得出．【解答】解：∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．则=+b2﹣1．+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．∴+b2≥8，∴=+b2﹣1≥7．故答案为：7．15.已知集合，则

参考答案：16.如图，AB、CD是圆O的两条平行弦，交CD于

点E，交圆为O于点F，过B点的切线交CD的延长线于点P，若，则BC的长为_______________。参考答案：略17.=（2，4），=（﹣1，2）．若=﹣（?），则||=

．参考答案：8考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量数量积的运算，求出向量的坐标表示，即可求出模长||．解答： 解：∵=（2，4），=（﹣1，2），∴=﹣（?）=﹣=（2，4）﹣6（﹣1，2）=（2+6，4﹣12）=（8，﹣8）；∴||==8．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及求平面向量的数量积与模长的问题，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为分，“居民素质”得分为分，统计结果如下表：

社区数量

居民素质1分2分3分4分5分社区服务1分131012分107513分210934分6015分00113（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分的均值（即数学期望）为，求、的值。参考答案：解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即且）的社区数量为个．设这个社区能进入第二轮评比为事件，则．所以这个社区能进入第二轮评比的概率为．……………………4分（2）由表可知“居民素质”得分有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为个、个、个、个、9个．…………6分所以“居民素质”得分的分布列为：……8分因为“居民素质”得分的均值（数学期望）为，所以．…………………10分即．因为社区总数为个，所以．解得，．…………………12分19.(14分)设函数，若对任意，都有≥0成立，求实数a的值.参考答案：解析:解法（一）：

时，

即……①⑴时,恒成立，⑵时，①式化为……②⑶时，①式化为……③………5分记，则……………7分所以故由②，由③…………13分综上时，在恒成立.………………14分解法（二）：

时，

即……①⑴时,，，不合题意………………2分⑵恒成立∴在上为减函数，得，矛盾，…………………5分⑶，=

若则，，故在［－1,1］内，，得，矛盾.若依题意，

解得

即综上为所求.……………14分20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）根据△MF1F2的周长等于6，再由离心率为可求出a的值，进而得到b的值，写出椭圆方程．（2）先设M的坐标为（x0，y0）根据题意满足椭圆方程，利用圆M与l有公共点可得到M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R，整理可得到关系y02+10x0﹣15≥0，再由即可消去y0，求出x0的取值范围，再表示出△MF1F2面积即可求出最大值．【解答】解：（1）因为椭圆的离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．所以c=1，a=2．所以b2=3．所以椭圆C的方程为．（2）设点M的坐标为（x0，y0），则．由于直线l的方程为x=4，圆M与l有公共点，所以M到l的距离4﹣x0小于或等于圆的半径R．因为R2=MF12=（x0+1）2+y02，所以（4﹣x0）2≤（x0+1）2+y02，即y02+10x0﹣15≥0．又因为，所以3﹣+10x0﹣15≥0．解得．又﹣2＜x0＜2，则，所以0＜|y0|≤因为△MF1F2面积为|y0||F1F2|=|y0|，所以当|y0|=时，△MF1F2面积有最大值．【点评】本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的综合题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的重点，每年必考，经常以压轴题的形式出现，要想答对此题必须熟练掌握其基础知识，对各种题型多加练习．21.已知函数f（x）的导函数f′（x）=x2+2ax+b（ab≠0），且f（0）=0．设曲线y=f（x）在原点处的切线l1的斜率为k1，过原点的另一条切线l2的斜率为k2．（1）若k1：k2=4：5，求函数f（x）的单调区间；（2）若k2=tk1时，函数f（x）无极值，且存在实数t使f（b）＜f（1﹣2t）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用函数的导数，求出k1=f'（0）=b，设l2与曲线y=f（x）的切点为（x0，y0）（x0≠0），利用斜率相等推出b=﹣3a2，化简f'（x）=x2+2ax﹣3a2=（x+3a）（x﹣a），通过①当a＞0时，②当a＜0时，分别求解单调区间．（2）由（1）若k2=tk1，利用f（x）无极值，，求出t的范围，利用f（b）＜f（1﹣2t），推出3a2＜4（1﹣t）（1﹣2t），然后求解a的范围．【解答】解：（1）由已知，k1=f'（0）=b，设l2与曲线y=f（x）的切点为（x0，y0）（x0≠0）则所以，即，则．又4k2=5k1，所以﹣3a2+4b=5b，即b=﹣3a2因此f'（x）=x2+2ax﹣3a2=（x+3a）（x﹣a）①当a＞0时，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3a）和（a，+∞），减区间为（﹣3a，a）．②当a＜0时，f（x）的增区间为（﹣∞，a）和（﹣3a，+∞），减区间为（a，﹣3a）．…（2）由（1）若k2=tk1，则，∵ab≠0，∴t≠1，于是，所以，由f（x）无极值可知，，即，所以由f（b）＜f（1﹣2t）知，b＜1﹣2t，即，就是3a2＜4（1﹣t）（1﹣2t），而，故，所以，又a≠0，因此．…【点评】本题考查函数的导数的应用