【高中数学】直线的点斜式方程+讲义+高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

课题:§1.2.1直线的点斜式方程教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、理解并掌握直线方程的点斜式的形式特点和适用范围．2、理解并掌握直线方程的斜截式的形式特点和适用范围．3、能正确利用直线的点斜式、斜截式求直线方程．4、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．学科素养目标本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．本节重点难点重点：能正确利用直线的点斜式、斜截式求直线方程．难点：体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．教学过程赏析基础知识积累1.直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x0,y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式y-y0=_________y=________适用条件斜率________【思考】直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?2.直线在y轴上的截距定义:直线l与y轴交点(0,b)的_________.符号:可正,可负,也可为零.【思考】直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?【课前基础演练】题1.直线y=(x-)的斜率与在y轴上的截距分别是 ()A., B.,-3C.,3 D.-,-3题2.倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是 ()A.x-y+1=0 B.x-y-=0C.x+y-=0 D.x+y+=0题3（多选题）．下列说法正确的有()A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率C．过点(2，－1)，斜率为－eq\r(3)的直线的点斜式方程为y＋1＝－eq\r(3)(x－2)D．直线的斜率越大，倾斜角越大题4（多选题）．已知直线l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，则它们的图象可能为()题5.在y轴上的截距为2,且斜率为-3的直线的斜截式方程为.题6.已知直线l过点P(2,1)且斜率为-1,则l的点斜式方程为.题7.当k变化时,动直线y=k(x-2)+3必过定点.题8.已知三角形三顶点A(4,0),B(8,10),C(0,6),求过A点且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程.【当堂巩固训练】题9．经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线方程是 ()A.x=-1 B.y=1C.y-1=(x+1) D.y-1=2(x+1)题10.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是 ()A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)题11(多选题)．下列四个结论，其中正确的为()A．方程k＝eq\f(y－2,x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为eq\f(π,2)，则其方程为x＝x1C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1D．所有直线都有点斜式和斜截式方程题12．已知直线l：y＋2＝eq\r(3)(x＋1)，则直线l的斜率是________，倾斜角是________.题13．已知直线y＝eq\f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.题14.过点P(6,-1)的直线l与x轴、y轴的正方向分别交于点A,B,且△AOB的面积为4,则l的方程是.题15．根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.题16．已知所求直线l的斜率是直线y＝－eq\r(3)x＋1的斜率的－eq\f(1,3)，且分别满足下列条件：(1)经过点(eq\r(3)，－1)；(2)在y轴上的截距是－5，分别求该直线的斜截式方程．【课堂跟踪训练】题17．经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为 ()A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x-3 D.y=-x-3题18.直线l经过原点O,且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍,则l的方程是 ()A.y=x B.y=x C.y=x D.y=-x题19.已知直线l的倾斜角为60°,且经过点(0,1),则直线l的方程为 ()A.y=x B.y=x-2 C.y=x+1 D.y=x+3题20.过点(1,0)且斜率为2的直线在y轴上的截距是 ()A.1 B.-1 C.2 D.-2题21.直线的倾斜角α=45°,且过点(1,5),则该直线方程是 ()A.x+y-4=0 B.x-y-4=0 C.x+y+4=0 D.x-y+4=0题22.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为 ()A.y=-x+B.y=-x+1C.y=3x-3D.y=x+1题23(多选题).下列选项中,在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a的是 ()题24.直线l过点M(1,-2),倾斜角为60°.则直线l的方程为.题25.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为.题26.已知直线l的倾斜角为60°.(1)若直线l过点P(,-2),求直线l的方程;(2)若直线l在y轴上的截距为4,求直线l的方程.题27．求满足下列条件的直线的斜截式方程．(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；(2)过点M(0，4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.题28.求斜率为-,且在两坐标轴上的截距之和为的直线l的方程.编号：002课题:§1.2.1直线的点斜式方程教学课时安排1、上课时间：_________________．2、课时安排：_________________．3、上课班级___________________．学科目标要求1、理解并掌握直线方程的点斜式的形式特点和适用范围．2、理解并掌握直线方程的斜截式的形式特点和适用范围．3、能正确利用直线的点斜式、斜截式求直线方程．4、体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．学科素养目标本章内容的呈现，除了注意体现解析几何研究问题的方法和特点以外，同时又考虑到学生的认知规律，通过设计相关的问题情景，降低学习的难度，使学生形成对知识的认识．如在直线斜率的呈现过程中，从学生最熟悉的例子——坡度入手，通过类比，使学生认识到斜率刻画直线倾斜程度和直线上两点刻画直线倾斜程度的一致性和内在联系．数形结合是本章重要的数学思想．这不仅是因为解析几何本身就是数形结合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性、“数”的严谨性．本节重点难点重点：能正确利用直线的点斜式、斜截式求直线方程．难点：体会直线的斜截式方程与一次函数的关系．教学过程赏析基础知识积累1.直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x0,y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式y-y0=k(x-x0)y=kx+b适用条件斜率存在【思考】直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢?提示:不能.有斜率的直线才能写成点斜式方程,凡是垂直于x轴的直线,其方程都不能用点斜式表示.2.直线在y轴上的截距定义:直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b.符号:可正,可负,也可为零.【思考】直线在y轴上的截距和直线与y轴交点到原点的距离是一回事吗?提示:不是,直线在y轴上的截距是它与y轴交点的纵坐标,截距是一个实数,可正、可负、可为0.当截距非负时,它等于直线与y轴交点到原点的距离;当截距为负时,它等于直线与y轴交点到原点距离的相反数.【课前基础演练】题1.直线y=(x-)的斜率与在y轴上的截距分别是 ()A., B.,-3C.,3 D.-,-3【解析】选B.由直线方程知直线斜率为,令x=0可得在y轴上的截距为y=-3.题2.倾斜角为120°,在x轴上的截距为-1的直线方程是 ()A.x-y+1=0 B.x-y-=0C.x+y-=0 D.x+y+=0【解析】选D.由于倾斜角为120°,故斜率k=-.又直线过点(-1,0),所以直线方程为y=-(x+1),即x+y+=0.题3（多选题）．下列说法正确的有()A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．任何一条直线都有倾斜角，都存在斜率C．过点(2，－1)，斜率为－eq\r(3)的直线的点斜式方程为y＋1＝－eq\r(3)(x－2)D．直线的斜率越大，倾斜角越大【解析】选AC.对于A，若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k<0，b>0，所以点(k，b)在第二象限，选项A正确；对于B，任何一条直线都有倾斜角，但是不一定都存在斜率，如倾斜角为90°时斜率不存在，所以选项B错误；对于C，由点斜式方程知，过点(2，－1)，斜率为－eq\r(3)的直线的点斜式方程为y＋1＝－eq\r(3)(x－2)，所以选项C正确；对于D，在[0°，90°)内，直线的斜率越大，倾斜角就越大；在(90°，180°)时，直线的斜率越大，倾斜角也越大；在[0°，180°)时，直线的斜率越大，不满足倾斜角也越大；所以选项D错误．题4（多选题）．已知直线l1：y＝ax＋b，l2：y＝－bx＋a，则它们的图象可能为()【解析】选AB.选项A，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，－b<0，a>0，可能成立；选项B，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，－b>0，a>0，可能成立；选项C，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象可知，－b<0，a>0，不成立；选项D，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象可知，－b>0，a>0，不成立．题5.在y轴上的截距为2,且斜率为-3的直线的斜截式方程为.【解析】由斜截式方程可得y=-3x+2.答案:y=-3x+2题6.已知直线l过点P(2,1)且斜率为-1,则l的点斜式方程为.【解析】l的点斜式方程为y-1=-(x-2).答案:y-1=-(x-2)题7.当k变化时,动直线y=k(x-2)+3必过定点.【解析】化为点斜式y-3=k(x-2),可得动直线必过定点(2,3).答案:(2,3)题8.已知三角形三顶点A(4,0),B(8,10),C(0,6),求过A点且倾斜角等于直线BC的倾斜角的点斜式方程.【解析】设所求直线的方程为y=k,由题意得:k=kBC==,所以所求方程:y=.【当堂巩固训练】题9．经过点(-1,1),斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线方程是 ()A.x=-1 B.y=1C.y-1=(x+1) D.y-1=2(x+1)【解析】选C.由条件知已知直线的斜率为,故所求直线的斜率是,因此所求直线的方程为y-1=(x+1).题10.直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是 ()A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)【解析】选C.令x=0,可得y=;令y=0,可得x=-b,所以≤1,b≠0,解得-2≤b≤2,且b≠0.题11(多选题)．下列四个结论，其中正确的为()A．方程k＝eq\f(y－2,x＋1)与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一条直线B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为eq\f(π,2)，则其方程为x＝x1C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程为y＝y1D．所有直线都有点斜式和斜截式方程【解析】选BC.对于A，方程k＝eq\f(y－2,x＋1)，表示两条射线不过点(－1，2)，方程y－2＝k(x＋1)表示的直线过点(－1，2)，故这两个方程表示不同的线，A错误；对于B，直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为eq\f(π,2)，则其斜率不存在，直线垂直于x轴，B正确；对于C，因为斜率为0，故方程为y＝y1，显然正确；对于D，所有直线都有点斜式和斜截式方程，是不对的，比如斜率不存在的直线就没有点斜式方程．故D错误．题12．已知直线l：y＋2＝eq\r(3)(x＋1)，则直线l的斜率是________，倾斜角是________.【解析】由题得直线的斜率k＝eq\r(3)，设直线的倾斜角为α，则tanα＝eq\r(3)，由于α∈[0，π)，所以α＝eq\f(π,3).答案：eq\r(3)eq\f(π,3)题13．已知直线y＝eq\f(1,2)x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.【解析】令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)|k|·|－2k|＝k2.由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的取值范围是k≥1或k≤－1.答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)题14.过点P(6,-1)的直线l与x轴、y轴的正方向分别交于点A,B,且△AOB的面积为4,则l的方程是.【解析】设直线l的方程为y=kx+b(k<0,b>0),则直线l与x轴的交点为,与y轴的交点为(0,b),因为△AOB的面积为4,直线l过点P(6,-1),所以解得或(舍去),所以直线l的方程为y=-x+2.答案:y=-x+2题15．根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)由于倾斜角α＝150°，所以斜率k＝tan150°＝－eq\f(\r(3),3)，由斜截式可得方程为y＝－eq\f(\r(3),3)x－2.(3)由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan60°＝eq\r(3).由于直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，故所求直线方程为y＝eq\r(3)x＋3或y＝eq\r(3)x－3.题16．已知所求直线l的斜率是直线y＝－eq\r(3)x＋1的斜率的－eq\f(1,3)，且分别满足下列条件：(1)经过点(eq\r(3)，－1)；(2)在y轴上的截距是－5，分别求该直线的斜截式方程．【解析】因为直线方程为y＝－eq\r(3)x＋1，所以k＝－eq\r(3).由题知，所求直线l的斜率kl＝－eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝eq\f(\r(3),3).(1)因为直线过点(eq\r(3)，－1)，所以所求直线l的方程为y＋1＝eq\f(\r(3),3)(x－eq\r(3))，即y＝eq\f(\r(3),3)x－2.(2)因为直线在y轴上的截距为－5，又因为所求直线的斜率kl＝eq\f(\r(3),3)，所以所求直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x－5.【课堂跟踪训练】题17．经过两点A(-3,2),B(0,-3)的直线的方程为 ()A.y=x-3 B.y=-x-3 C.y=x-3 D.y=-x-3【解析】选D.因为k==-,所以直线的方程为y-2=-·(x+3)⇒y=-x-3.题18.直线l经过原点O,且它的倾斜角是直线y=x的倾斜角的两倍,则l的方程是 ()A.y=x B.y=x C.y=x D.y=-x【解析】选C.由已知,若直线y=x的倾斜角为θ,则tanθ=,易知θ=,所以直线l的倾斜角为,即kl=,又直线l经过原点O,所以l的方程是y=x.题19.已知直线l的倾斜角为60°,且经过点(0,1),则直线l的方程为 ()A.y=x B.y=x-2 C.y=x+1 D.y=x+3【解析】选C.由题意知,直线l的斜率为,又直线l经过点(0,1),则直线l的方程为y=x+1.题20.过点(1,0)且斜率为2的直线在y轴上的截距是 ()A.1 B.-1 C.2 D.-2【解析】选D.因为直线过点(1,0)且斜率为2,所以y-0=2(x-1),即y=2x-2,化成截距式+=1,所以直线在y轴上的截距是-2.题21.直线的倾斜角α=45°,且过点(1,5),则该直线方程是 ()A.x+y-4=0 B.x-y-4=0 C.x+y+4=0 D.x-y+4=0【解析】选D.因为直线的倾斜角α=45°,所以直线的斜率为k=tan45°=1,又因为直线过点(1,5),该直线方程是y-5=x-1,即x-y+4=0.题22.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到的直线为 ()A.y=-x+B.y=-x+1C.y=3x-3D.y=x+1【解析】选A.将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,得到直线y=-x,再向右平移1个单位,所得到的直线为y=-(x-1),即y=-x+.题23(多选题).下列选项中,在同一直角坐标系中,能正确表示直线y=ax与y=x+a的是 ()【解析】选BC.①当a>0时,直线y=ax的倾斜角为锐角,直线y=x+a在y轴上的截距a>0,B成立;②当a=0时,直线y=ax的倾斜角为0°,A,B,C,D都不成立;③当a<0时,直线y=ax的倾斜角为钝角,直线y=x+a的倾斜角为锐角且在y轴上的截距a<0,C成立.题24.直线l过点M(1,-2),倾斜角为60°.则直线l的方程为.【解析】因为直线l的倾斜角为60°,所以直线l的斜率k=tan60°=,又因为直线l过点M(1,-2),所以直线l的方程为y+2=(x-1),即y=x--2.答案:y=x--2题25.已知直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,且过定点P(3,3),则直线l的方程为.【解析】因为直线y=x+1的倾斜角是45°,直线l的倾斜角是直线y=x+1的倾斜角的2倍,所以直线l的倾斜角是90°,因为直