习题课99004公开课一等奖课件省课获奖课件

一、内容提要向量空间定义设Fn

非空子集V满足条件：(1)若

V,

V,

则

+

V;(2)若

V,k

F,

则

k

V,当非空集V满足条件(1),(2)时,称V对线性运算封闭.

(3)这两种线性运算满足下列八条运算规律:第1页一、内容提要设

,

,

V;k,l

F,(i)

+

=+;(加法交换律)(ii)(+)+=+(+);(加法结合律)(iii)在

V

中存在零元素0,

对任何

V,(v)1=;使得

+(-

)=0;(iv)对任何

V,都有

负元素-

V,都有

+0=

;(vi)k(l)=(kl)

;(有关数乘结合律)第2页一、内容提要(vii)(k+l)

=k+l;(分派律)(viii)k(+)=k+k,(分派律)则称V为(数域F上)线性空间或向量空间.

有关线性空间两点说明①

假如数域F是实数域,则称V为实线性空间;②

线性空间V必含零向量.假如数域F是复数域,则称V为复线性空间;第3页一、内容提要线性空间基本性质性质1

线性空间零元素是唯一.性质2

线性空间任一元素负元素是唯一.性质3

0α=0,(-1)α=-α

,k0=0.性质4

假如kα=0,则k=0或α=0.第4页一、内容提要线性空间子空间定义设W是线性空间V一种非空子集,当W

V

时,

W按照V中所定义线性运算也组成了一种线性

则称W是V一种子空间.是V真子空间.称W假如空间,定理1

设W是线性空间V一种非空子集,则W是V一种子空间W对于V线性运算封闭.第5页一、内容提要生成空间设a1,a2,...,am是线性空间V中一组向量,记则称V子集span{a1,…,am

}为由向量组a1,a2,...,am生成V子空间.dimspan{a1,…,am

}

=

R(a1,a2,...,am).第6页一、内容提要向量组线性表达等价说法

设有向量组A:a1,…,as,B:b1,…,bt.则有

(2)span{a1,…,as}=span{b1,…,bt}充足必要条件是A

组与B

组等价.(1)span{a1,…,as}为

span{b1,…,bt}子空间充足必要条件是A组可由B组线性表达；第7页一、内容提要向量空间基和维数定义

设

V

为线性空间,

a1,a2,...,ar

V,(i)a1,a2,...,ar

线性无关;(ii)V中任历来量都可由a1,a2,...,ar线性表达；则向量组a1,a2,...,ar

称为线性空间V一种基,假如

r个向量且满足r

称为线性空间V维数,并称V为记作dim(V)=r,

r

维线性空间.第8页一、内容提要有关线性空间基几点说明：①若把线性空间V看作向量组,则V基就是向量组最大线性无关组,

V维数就是向量组秩.②线性空间基不唯一.③假如线性空间V没有基,

那么V维数为0.④若向量组a1,a2

,...,ar

是线性空间V一种基,

则V可表达为V

={x=

1a1+

2a2+…+

rar|

1,...,

r

F}.第9页一、内容提要向量在基下坐标定义

假如在线性空间V中取定一种基α1,α2,…,αr,α=x1α1+x2α2+…+xrαr,数组

x1,x2,…,xr称为向量α在基

α1,α2,…,αr下坐标.那么V中任历来量α可惟一地表达为记作(

x1,x2,…,xr)T.第10页一、内容提要线性空间基变换与坐标变换

线性空间基变换公式定义设α1,α2,...,αn和β1,β2,...,βn是n维线性空间V

两个基,且第二个基可由第一种基表达为其中aij

为常数

(i,j=1,2,...,n),则称矩阵A=(aij)n

n

为由基α1,α2,...,αn到基β1,β2,...,βn过渡矩阵.第11页一、内容提要利用矩阵乘法,可将上式改写为：即(1)和(2)称为基变换公式.第12页一、内容提要(I)α1,α2,...,αn;(II)β1,β2,...,βn.

定理2

设n维线性空间V有两个基：且由基(I)

到基(II)过渡矩阵为A,基(I)下坐标为x=(x1,x2,...,xn)T,

为y=(y1,y2,...,yn)T,

α在基(II)下坐标或则有坐标变换公式

坐标变换公式第13页一、内容提要向量内积与欧氏空间

内积和欧氏空间定义设V是一种实线性空间,两个向量α和β都指定了一种实数与之对应,假如对于V中任意这个实数记作<α,β>，且满足下列条件：

(1)对称性：

<α,β>=<β,α>;(4)非负性：

<α,α>

0,等号成立充足必要条件是(2)齐次性：<kα,β>=k<α,β>;(3)加性：<α+β,γ>=<α,γ>+<β,γ>;α

=0.第14页一、内容提要柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwarz)不等式其中α,β和γ是V中任意向量,则称实数k是任意实数,<α,β>为α和β内积,称定义了内积实线性空间V为实内积空间或欧几里得空间,简称为欧氏空间.定理3

设α和β是欧氏空间V中任意两个向量,则有其中等号成立充要条件是向量α和β线性有关.第15页一、内容提要向量范数与夹角对欧氏空间Rn来说,Cauchy-

Schwarz不等式是：

向量范数定义在欧氏空间V中,称非负实数为向量α

范数(或长度),记作

||a||.即第16页一、内容提要

范数基本性质对欧氏空间Rn来说,则假如向量α=(a1,a2,...,an

)T,设α,β为欧氏空间V中任意两个向量,则向量范数有下列基本性质：k为任意实数,

(2)齐次性

||kα||=|k|

||α||;(3)三角不等式

||α+β||

||α||+||β||.(1)非负性

||α||

0,||α||=0充足必要条件是α

=

0;第17页一、内容提要

向量夹角定义非零向量a与b夹角φ为要求:零向量与任历来量成任意角.

范数为1

向量称单位向量.则称向量a与b正交.

若

<a,b>=0,

非零向量a单位化(或规范化)向量第18页一、内容提要

距离定义对于欧氏空间V中两个向量α和β

,称范数

||α-β||为α与β距离,记作d(α,β).即d(α,β)=||α-β||.

距离基本性质(2)非负性

d(α,β)≥0,且d(α,β)=0当且仅当α=β.(3)三角不等式

d(α,β)

d(α,γ)+d(γ,β).(1)对称性

d(α,β)=d(β,α);第19页一、内容提要标准正交基及其基本性

正交向量组与正交单位向量组定义

对于欧氏空间V中一种向量组,假如向量组且其中向量两两正交,中不含零向量,则称它为向量组或正交规范向量组.一种正交向量组.假如一种正交向量组中每个向量都是单位向量,则称它是正交单位向量组或标准正交第20页一、内容提要

正交向量组性质定理4

正交向量组必是线性无关向量组.

正交基与标准正交基定义

在n维欧氏空间V中,单位向量组或称为V标准正交基或规范正交基.由n个向量组成正交向量组称为V正交基;由n个向量组成正交第21页一、内容提要定理5设

α1,…,αn

是n维欧氏空间V一种标准设α和β是V中任意两个向量,α=x1α1+…+xnαn,β=y1α1+…+ynαn,正交基,则(1)xi=<α,αi

>(i=1,2,…,n),

(2)

<α,β>=x1y1+…+xnyn;即α=<α,α1>α1+…+<α,αn>αn,

(3)||α||=(4)d(α,β)=第22页一、内容提要Gram-Schmidt(格拉姆-施密特)正交化办法

问题已知α1,…,αn为n维欧氏空间V一种基,如何求V一种标准正交基e1,…,en?第一步:先求出V一种正交基β1,β2,…,βn.令…，则β1,β2,…,βn就是V一种正交基.第23页一、内容提要第二步:再求V

一种标准正交基e1,…,en.再令则e1,…,en

就是V一种标准正交基.第24页一、内容提要正交矩阵与正交变换

正交矩阵

正交矩阵几个简单性质定义设

A为实方阵,

假如

ATA=

I,就称

A为正交矩阵.(1)|A|=±1,即正交矩阵行列式为1或-1;设A,B

为同阶正交矩阵,

则有(2)A-1,AT及A

伴随矩阵A*均为正交矩阵;

(3)

AB

也是正交矩阵.第25页一、内容提要定理6

实方阵A为正交矩阵充要条件是A列(行)向量组为标准正交向量组.推论

A为n阶正交阵充足必要条件是A列(行)向量组为Rn一种规范正交基.第26页一、内容提要

Rn上正交变换定义

设P为n阶正交矩阵,称Rn到Rn线性变换对于x=(x1,

x2,,…,

xn)T∈Rn,

y=Px为Rn正交变换.第27页一、内容提要

正交变换几个主要性质即正交变换保持向量内积不变;定理7

设P为n阶正交矩阵,

则有x1,x2是Rn中任意向量,(1)<Px1

,Px2>

=<x1

,x2>

;即正交变换保持向量范数不变.(2)||Px1||=||x1||;第28页二、典型例题第29页例1

检查下列集合对于所指线性运算是否组成(1)与向量(0,1,1)T不平行全体3维数组向量,

对于数组向量加法和数乘运算.线性空间.向量α1=(1,1,1)T,α2=(-1,1,1)T都与向量

因此全体与向量(0,1,1)T不平行向量集合对向量加法运算不封闭,

解(0,1,1)T但α1+α2=(0,2,2)T与向量(0,1,1)T线性空间.不是故该集合不平行,

平行,第30页(2)次数等于

n(n

1)实系数多项式全体,

对于多项式加法和数乘运算.不封闭,

f(x)=xn是xn次多项式,

n次多项式,

解但0·f(x)=0不是x故全体n次多项式集合对数乘运算故此集合不是线性空间.第31页

(3)n阶实对称阵全体,

对于矩阵加法和数乘运算.解故V是线性空间.记n阶实对称阵集合为V

,

(i)若A

V,B

V,

(A+B)T=(ii)若A

V,

R,(A)T

=从而

则A=AT,B=BT,因此

A+B

V.AT+BT

=A+B,则

A=AT,AT=A,因此

A

V.第32页例2

判定四维向量(四元数组)是否是R4

一组基.解R4

维数为4

,

完全取决于这4个向量是否线性无关.四个维向量,故R4

任何一组基有4

个而4个四维向量是否是R4

一组基,第33页记则故从而向量α1,α2,α3,α4线性无关.因此

1,

2,

3,

4

是

R4基.第34页例3

已知

R4

两组基求基

1,

2,

3,

4

到基

1,

2,

3,

4

过渡矩阵.解由基变换公式(

1,

2,

3,

4)=(

1,

2,

3,

4)A求过渡矩阵分析第35页因此

A=P-1Q.要求出从基

1,

2,

3,

4到基

1,

2,

3,

4

过渡矩阵,

3,

4.设过渡矩阵为A,

(

1,

2,

3,

4)=(

1,

2,

3,

4)A,记

P=(

1,

2,

3,

4),则上式可写为即要用向量组

1,

2,

3,

4表达向量组

1,

2,则有用矩阵初等行变换来求P-1Q.Q=(

1,

2,

3,

4),Q=PA,第36页～～第37页～～～第38页～因此过渡矩阵A为第39页例4

已知

R4

有两组基(1)求由基(I)

到基(II)过渡矩阵;(2)求向量α=(x1,x2,x3,x4)

T在基(II)下坐标.解第40页(1)设由基(I)到基(II)过渡矩阵为A,则由于(e1,e2,e3,e4)=I,因此即第41页(2)已知向量α在基(I)下坐标为x=(x1,x2,x3,x4)T,(2)求向量α=(x1,x2,x3,x4)T在基(II)下坐标.设向量α在基(II)下坐标为y=(y1,y2,y3,y4)T,则由坐标变换公式得:即故第42页即(3)求向量α=(3,6,-9,12)T

在基(II)坐标.思考题第43页例5

求向量α=(1,2,1,1)T

在

R4

一组基

1,

2,

3,

4

下坐标,

其中解向量

在基

1,

2,

3,

4

下坐标,

1,

2,

3,

4

表达向量

系数.即为用基第44页故本题等价于解方程组x1

1+