2021年高考真题-数学（浙江卷） （6月）

2021年高考真题——数学（浙江卷）（6月）1.已知

，，为虚数单位，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：复数相等的条件及应用复数的乘法答案：C解析：，

利用复数相等的充分必要条件可得：

故选C.2.设集合，，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：交集答案：D解析：由交集的定义结合题意可得：

故选D.3.已知非零向量，则“”是“”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件C.

充分必要条件

D.

既不充分又不必要条件知识点：必要不充分条件数量积的运算律答案：B解析：如图所示，，

当时，与垂直，，所以成立，此时，

不是的充分条件，

当时，，

，

成立，

是的必要条件，

综上，“”是“”的必要不充分条件.

故选B.4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：三视图棱柱、棱锥、棱台的体积答案：A解析：几何体为如图所示的四棱柱，其高为

，底面为等腰梯形，

该等腰梯形的上底为，下底为

，腰长为

，故梯形的高为，

故，

故选A.

5.若实数

，

满足约束条件，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：简单的线性规划问题答案：B解析：画出满足约束条件的可行域，

如下图所示：

目标函数化为，

由，解得，设，

当直线

过

点时，

取得最小值为

故选B.6.如图已知正方体，，分别是，的中点，则（

）

A.

直线与直线垂直，直线平面B.

直线与直线平行，直线平面C.

直线与直线相交，直线平面D.

直线与直线异面，直线平面知识点：空间中直线与直线的位置关系空间中直线与平面的位置关系异面直线直线与平面垂直的判定定理直线与平面平行的判定定理答案：A解析：

连，在正方体中，

是的中点，所以为中点，

又是的中点，所以，

平面平面，

所以平面

因为不垂直，所以不垂直，

则不垂直平面，所以选项B，D不正确；

在正方体中，，

平面，所以，

，所以平面，

平面，所以，

且直线是异面直线，

所以选项C错误，选项A正确

故选A.总结：熟练掌握正方体中的垂直、平行关系是解题的关键，如两条棱平行或垂直，同一个面对角线互相垂直，正方体的对角线与面的对角线是相交但不垂直或异面垂直关系.7.已知函数，则图象为如图的函数可能是（

）

A.

B.

C.

D.

知识点：导数与单调性函数图象的识别答案：D解析：对于A，，该函数非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，与图象不符，排除C.

故选D.8.已知是互不相同的锐角，则在​三个值中，大于的个数的最大值是（

）A.

B.

C.

D.

知识点：基本不等式的综合应用排序不等式答案：C解析：法：由基本不等式有，

同理，，

故

故​不可能均大于

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为，

故选C.

法：不妨设，则，,

由排列不等式可得：

​​

而，

故不可能均大于

取，，，

则，

故三式中大于的个数的最大值为，

故选C.总结：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或排序进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.9.已知

，函数若，，成等比数列，则平面上点的轨迹是（

）A.

直线和圆

B.

直线和椭圆

C.

直线和双曲线

D.

直线和抛物线知识点：圆锥曲线中求轨迹方程等比数列的定义与证明函数的定义答案：C解析：由题意得即，

对其进行整理变形：

，

，

，

，

所以或

，

其中为双曲线，为直线

故选C.总结：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养.10.已知数列满足记数列的前

项和为，则（

）A.

B.

C.

D.

知识点：数列的前n项和数列的递推公式累乘法求数列通项裂项相消法求和数列与不等式的综合问题答案：A解析：方法一：由得且故又即即即又.故选.

方法二：设则易知在上单调递增.现用数学归纳法证明当时，当时，不等式成立，假设当时，不等式成立，即成立，则当时，要证只需证即证即证即证即证该式显然成立成立，当时，即又.故选.11.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示若直角三角形直角边的长分别是

，，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则

​

​知识点：概率与统计中的新定义答案：解析：由题意可得，大正方形的边长为：，

则其面积为：，

小正方形的面积：，

从而

故答案为.12.已知，函数若，则

​.知识点：已知函数值（值域）求自变量或参数答案：解析：，故

，

故答案为13.已知多项式，则

​，

​.知识点：二项式系数和与各项的系数和二项式定理的应用答案：

；解析：，

，

所以，

，

所以

故答案为.14.在中，，是的中点，，则

​，

​.知识点：用余弦定理、正弦定理解三角形答案：

；解析：由题意作出图形，如图，

在中，由余弦定理得

即，解得（负值舍去），

所以

，

在

中，由余弦定理得，

所以；

在中，由余弦定理得

故答案为；.15.袋中有个红球，

个黄球，

个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为

​，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则

​，

​.知识点：超几何分布离散型随机变量的分布列及其性质离散型随机变量的均值或数学期望答案：；解析：，所以

，

，所以，则．

由于

．

故答案为

；．16.已知椭圆，焦点

，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则该直线的斜率是

​，椭圆的离心率是

​.知识点：椭圆的离心率椭圆的定义同角三角函数基本关系的综合应用直线和圆相切答案：；解析：

如图所示：不妨假设，设切点为，

，

所以，由，

所以，，

于是，即，所以．

故答案为；．17.已知平面向量满足记向量

在

方向上的投影分别为

，，在方向上的投影为，则的最小值为

​.知识点：柯西不等式投影的数量两个向量数量积的几何意义答案：解析：由题意，设，

则，即，

又向量

在

方向上的投影分别为

，，所以

，

所以

在

方向上的投影，

即，

所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以的最小值为

故答案为18.设函数

.(1)求函数

的最小正周期；(2)求函数

在上的最大值.知识点：三角恒等变换综合应用函数的图象及性质正弦（型）函数的单调性正弦（型）函数的周期性辅助角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式答案：(1)由辅助角公式得，

则

，

所以该函数的最小正周期;(2)由题意，

，

由

可得

，

所以当

即

时，函数取最大值

.解析：(1)由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；(2)由三角恒等变换可得

，再由三角函数的图象与性质即可得解19.如图，在四棱锥

中，底面

是平行四边形，，，分别为的中点，

(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.知识点：异面直线垂直用空间向量研究直线与平面所成的角直线与平面垂直的判定定理直线与平面垂直的性质定理答案：(1)在中，，，，由余弦定理可得

所以，由题意且，

平面，而平面，所以，又，所以．(2)由

，，而

与

相交，所以

平面，因为

，所以，取

中点，连接

，则

两两垂直，以点

为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,

则,

又为中点，所以

由（）得平面，所以平面的一个法向量

从而直线与平面所成角的正弦值为．

解析：(1)要证

，可证

，由题意可得，，易证

，从而

平面，即有，从而得证；(2)取中点

，根据题意可知，两两垂直，所以以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量和平面的一个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．20.已知数列的前项和为，，且.(1)求数列的通项；(2)设数列满足，记的前

项和为，若对任意恒成立，求实数

的取值范围.知识点：数列的前n项和数列的递推公式等比数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合问题答案：(1)当时，，

，

当时，由①，

得②，

①②得

，

又是首项为，公比为的等比数列，

；(2)由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由得恒成立，

即恒成立，

时不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以解析：(1)由，结合

与

的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；(2)由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数

，转化为

与关于

的函数的范围关系，即可求解总结：(2)（）求通项时不要忽略情况；（）恒成立分离参数时，要注意变量的正负零讨论，如中恒成立，要对讨论，还要注意时，分离参数不等式要变号.21.如图，已知

是抛物线

的焦点，

是抛物线的准线与轴的交点，且，

(1)求抛物线的方程；(2)设过点的直线交抛物线与､两点，斜率为

的直线

与直线，轴依次交于点，，，且，求直线

在

轴上截距的范围.知识点：抛物线的定义圆锥曲线的最值（范围）问题答案：(1)因为，故

，故抛物线的方程为：.(2)设，，

所以直线，由题设可得且

由可得，故

，

因为，故故

又，由可得，

同理，

由可得，

所以

整理得到

，

故，

令，则且，

故，

故即，

解得或或

故直线

在

轴上的截距的范围为或或解析：(1)求出的值后可求抛物线的方程(2)设，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，从而可求的范围总结：(2)直线与抛物线中的位置关系中的最值问题，往往需要根据问题的特征合理假设直线方程的形式，从而便于代数量的计算，对于构建出的函数关系式，注意利用换元法等把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题.22.设

，

为实数，且，函数.(1)求函数的单调区间；(2)若对任意，函数有两个不同的零点，求

的取值范围；(3)当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足(注：是自然对数的底数)知识点：导数与单调性利用导数证明不等式利用导数解决函数零点问题导数中的函数构造问题答案：(1)由，得，

①若，则，所以在上单调递增；

②若，当时，单调递减，

当时，单调递增

综上可得，时，在上单调递增；

时，函数的单调减区间为，单调增区间为.(2)有个不同零点有个不同解​有个不同的解，

令，则，

记，

记，，

又，所以时，时，，

则在单调递减，单调递增，

，

，

即实数的取值范围是.(3)当时，有个不同零点，

则，故函数的零点一定为正数

由可知有个不同零点，记较大者为，较小者为，

，

注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，又由知，

，

要证，只需，

且关于的函数在上单调递增，

所以只需证，

只需证，

只需证，

，只需证在时为正，

由于，故函数单调递增，

又，

故在时为正，

从而题中的不等式得证解析：(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数的取值范围；