小学奥数工程问题常见题型汇总

小学奥数工程问题常见题型汇总本讲主要讲解工程问题的解题方法。工程问题可以运用分数应用题的量率对应关系，即用对应分率表示工作总量与工作效率。解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率×工作时间=工作总量，表示出各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率。常用的数学思想方法有代换法、比例法、列表法、方程法等。抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案。工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。工程问题的公式有一般公式和用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式。一般公式包括工效×工时=工作总量、工作总量÷工时=工效、工作总量÷工效=工时。用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式包括1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几、1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5……。特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。例题1：甲、乙两队开挖一条水渠。甲队单独挖要8天完成，乙队单独挖要12天完成。现在两队同时挖了几天后，乙队调走，余下的甲队在3天内完成。乙队挖了多少天？可以理解为甲队先做3天后两队合挖的，即乙队挖了5天。例题2：加工一批零件，甲单独做20天可以完工，乙单独做30天可以完工。现两队合作来完成这个任务，合作中甲休息了2.5天，乙休息了若干天，这样共14天完工。乙休息了几天？共14天完工，说明甲做(14-2.5)天，其余是乙做的，用14天减去乙做的天数就是乙休息的天数，即1天。解：设甲、乙、丙的工作效率分别为a、b、c，那么根据题意可以列出以下三个方程：36a+36b=145b+45c=160a+60c=1将第一个方程乘以5，得到180a+180b=5，将第二个方程乘以4，得到180b+180c=4，将第三个方程乘以3，得到180a+180c=3，将三个方程相加，得到540a+360b+360c=12，化简得到3a+2b+2c=1/15。又因为甲、乙、丙三人合作一天完成的工作量为a+b+c，所以甲一人独做需要的天数为1/(3a)。将3a+2b+2c=1/15代入a+b+c=1/36中，得到b+c=1/45。将b+c=1/45代入2b+2c=4/180中，得到b+c=1/90。解得b=c=1/180，代入b+c=1/45中，得到甲的工作效率a=1/36-1/180=1/45。所以甲一人独做需要的天数为1/(3a)=45天。答：甲一人独做需要45天完成。2、一件工作需要甲12天完成，乙18天完成，丙24天完成。假设甲先做了x天，然后由乙接手，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接手，丙做的天数是乙做的天数的2倍。最终完成了这件工作，问总共用了多少天？解：假设乙做了3x天，则丙做了6x天。因为甲、乙、丙三人合作完成了这件工作，所以他们的工作量相同。因此，有：甲每天的工作量=1/12乙每天的工作量=1/18丙每天的工作量=1/24根据这个关系，可以列出方程：x/12+3x/18+6x/24=1化简得：x=2因此，甲先做了2天，乙做了6天，丙做了12天，总共用了20天。3、某项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天能完成。问甲组2人和乙组7人合作多少天能完成这项工作？解：设甲组2人和乙组7人合作x天能完成这项工作。根据工作量的关系，可以列出方程：2/3*x+7/4*x=1化简得：x=24/23因此，甲组2人和乙组7人合作24/23天能完成这项工作。4、制作一批零件，甲车间要10天完成，甲车间与乙车间合作6天就能完成，乙车间与丙车间合作8天才能完成。现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个。问丙车间制作了多少个零件？解：设甲车间每天的工作量为a，乙车间每天的工作量为b，丙车间每天的工作量为c。根据题意，可以列出以下方程组：10a=x6(a+b)=x8(b+c)=xa(x-bx/c)=2400其中，x表示完成这批零件所需的时间。将第一个方程代入第二个和第三个方程，得到：6(a+b)=10a8(b+c)=10a化简得：b=1/5ac=2/5a将b和c的值代入第四个方程，得到：a(10/3-8/5)=2400化简得：a=750因此，甲车间每天的工作量为750/10=75，乙车间每天的工作量为750/50=15，丙车间每天的工作量为750/125=6。完成这批零件需要10天，因此丙车间制作了10*6=60个零件。5、一项工程，甲独做需12小时，乙独做需18小时。假设甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……，两人如此交替工作，问完成任务时共用多少小时？解：设两人共用x小时完成任务。根据工作量的关系，可以列出方程：x/12+(x-1)/18=1化简得：x=21因此，两人共用21小时完成任务。6、一件工作，甲、乙、丙三人合作需要1小时，甲、乙合作需要1小时20分，甲、丙合作需要1小时30分。问甲独做需要多少时间？解：设甲、乙、丙三人每小时完成的工作量分别为a、b、c。根据题意，可以列出以下方程组：a+b+c=1a+b=5/4a+5/4ba+c=3/2a+3/2c化简得：a=1/4b=1/4c=1/2因此，甲独做需要4小时。7、甲、乙两人同做一项工程，需要8天完工。如果甲先做8天，然后乙独做10天才能完成工作，问甲、乙独做各需几天完工？解：设甲、乙独自完成这项工程需要的天数分别为x和y。根据题意，可以列出以下方程组：x+y=8x+10=2y化简得：x=2y=6因此，甲独自需要2天完工，乙独自需要6天完工。8、一件工作需要甲20天完成，乙12天完成。现在先由甲做了x天，然后乙断续做完，从开始到完工共用了14天。问甲、乙两人各做了多少天？解：设乙做了y天，则从开始到甲做完共用了x+20天，从乙开始做到完工共用了y+12天。因此，有以下方程组：x+20+y+12=14+x+yy=2x-18将y的表达式代入第一个方程，得到：3x=46因此，甲做了x=46/3≈15.33天，乙做了y=2x-18≈12.67天。9、一项工程，甲单独完成需12天，乙单独完成需9天。假设甲先做若干天后乙接着做，工用10天完成，问甲做了几天？解：设甲先做了x天，则乙需要完成这项工程的时间为10-x。根据工作量的关系，可以列出方程：x/12+(10-x)/9=1化简得：x=4因此，甲先做了4天。10、一份稿件，甲、乙、丙三人独自打字需要的时间分别是20小时，24小时，30小时。现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时完成，甲只打了多少小时？解：设甲、乙、丙三人每小时打字的速度分别为a、b、c。根据题意，可以列出以下方程组：20a+24b+30c=112(b+c)=1因为甲中途撤出，所以他打的字数与乙、丙两人相等。因此，有：20a=12b20a=12c将b和c的值代入第一个方程，得到：20a+24(12a/20)+30(12a/20)=1化简得：a=1/100因此，甲独自打字需要20小时，乙独自打字需要24小时，丙独自打字需要30小时。因为三人合打用了12小时，所以甲只打了12*(1/100+1/24+1/30)=1.2小时。11、一项工程，甲单独完成要30天，乙单独完成要45天，丙单独完成要90天。现在由甲、乙、丙三人合作完成此工程，在工作过程中甲休息了2天，乙休息了3天，丙没有休息，最后把工程完成了，问完成这项工程前后一共用了多少天？解：设三人合作完成这项工程需要x天。因为甲、乙、丙三人合作每天的工作量相等，所以有以下方程：x/30+x/45+x/90=1化简得：x=20因此，三人合作需要20天完成这项工程。完成这项工程前后，甲休息了2天，乙休息了3天，所以一共用了20+2+3=25天。12、一项工程，甲、乙两人合做4天后，再由甲单独做6天才完成全部任务。已知甲比乙每天多完成这项任务的1/3。问甲、乙两人各做了多少天？解：设甲、乙独自完成这项工程需要的天数分别为x和y。根据题意，可以列出以下方程组：4(x+y)/3+6x=yx+y=10化简得：x=4y=6因此，甲、乙两人合做了4天，其中甲做了4天，乙做了0天。甲单独做了6天。13、甲单独完成一件工作需要12天，乙单独完成需要18天，丙单独完成需要24天。甲先做了一段时间，然后由乙接手，乙的工作时间是甲的3倍。最后由丙完成，丙的工作时间是乙的2倍。问完成这件工作需要多少天？14、甲队单独修一段公路需要40天，乙队单独修需要24天。现在两队同时从两端开始修路，他们在距离中点750米处相遇。问这段公路有多长？15、甲、乙两人从A、B两地同时出发相向而行，甲走全程需要多少小时？已知甲每小时走4.5千米，乙每小时走全程的1/3。16、甲单独加工一批零件需要75小时，乙单独加工需要50小时。已知每小时甲比乙多加工12件。如果甲的工效提高50%，而乙每小时比原来多加工8件，那么他们合作完成这批零件需要多少小时？17、甲、乙合作完成一批零件需要24小时。现在甲先独自工作了16小时，然后由乙接手工作12小时，还剩下多少个零件没有完成？18、甲、乙两人合作完成一批零件需要30天。甲先干22天，然后两人再合作12天，最后乙单独完成还需要16天。已知甲每天比乙少生产4个零件。问乙共完成了多少个零件？19、甲单独完成一件工程需要6小时，乙单独完成需要10小时。如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序交替工作，每次工作1小时，那么需要多少小时完成？20、一项工程需要由一、二、三小队合作完成，需要8天。由二、三、四小队合作需要10天。如果按照一、二、三、四、一、二、三、四……的顺序轮流干，每个小队干1天，那么哪个小队最后完成？竞赛篇：1、甲队在晴天完成A工程需要12天，乙队在晴天完成B工程需要15天。在雨天，甲队的工作效率下降40%，乙队的工作效率下降10%。现在两队同时完成这两项工程，问在施工的日子里，雨天有多少天？2、某水箱有三个同样的进水管和一个出水管在底部。当只开一个进水管时，需要60分钟将水箱注满。当开两个进水管时，注满水箱的一半需要10分钟。那么，如果同时打开两个进水管，注满