空间向量运算的坐标表示（市一等奖）

3.1.5空间向量运算的坐标表示[目标导航]课标要求1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式,并能运用这些知识解决一些相关问题.素养达成通过空间向量的概念、运算和共线向量和共面向量定理及推论的学习应用,逐步提升学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养.新知导学课堂探究新知导学·素养养成1.空间向量运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则a+b=

;a-b=

;λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);a·b=

;a∥b⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);a⊥b⇔a·b=0⇔

;(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=02.空间向量夹角和距离的坐标计算公式(1)夹角公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则cos<a,b>=

.思考:空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似吗?答案:类似,空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广,两者实质是一样的,只是表达形式不同而已,空间向量多了个竖坐标.名师点津(1)空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个竖坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题.(2)空间向量的坐标与坐标原点的选取无关,是由起点和终点的坐标决定的,因此求解时可先求其两端点的坐标.题型一课堂探究·素养提升空间向量的坐标运算[例1]已知a=(2,-1,3),b=(0,-1,2).求:(1)a+b;(2)2a-3b;(3)a·b;解:(1)因为a=(2,-1,3),b=(0,-1,2),所以a+b=(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5).(2)2a-3b=2(2,-1,3)-3(0,-1,2)=(4,-2,6)+(0,3,-6)=(4,1,0).(3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2)=2×0+(-1)×(-1)+3×2=7.(4)(a+b)·(a-b).方法技巧空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似,向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.即时训练1-1:已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b等于(

)(A)(2,-4,2) (B)(-2,4,-2)(C)(-2,0,-2) (D)(2,1,-3)解析:b=a-(-1,2,-1)=(1,-2,1)-(-1,2,-1)=(2,-4,2).故选A.[备用例题]已知a=(1,2,2),b=(1,0,1).(1)求|a|,|b|;(2)求a·b;(3)求<a,b>.(2)a·b=1×1+2×0+2×1=3.题型二利用向量解决平行与垂直问题(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.一题多变:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相平行”,其他条件不变,求k的值.方法技巧向量平行与垂直问题的两种类型(1)平行与垂直的判断①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线;②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两向量的数量积是否为0.(2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.即时训练2-1:(1)已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2,x),使a⊥b成立的x与使a∥b成立的x分别为(

)题型三利用向量求夹角与距离(2)求FH的长.方法技巧(1)求空间中两向量夹角的方法①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来,然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是坐标系的选取,二是要注意夹角的取值范围<a,b>∈[0,π],要特别关注向量共线的情况.(2)求空间中线段的长①建立恰当的空间直角坐标系;②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的坐标;③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.即时训练3-1:已知空间中三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).(1)求cos∠BAC;(2)求△ABC中BC边上中线的长度.经验分享区课堂达标D1.已知向量a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是(

)(A)a+b=(10,-5,-6) (B)a-b=(-2,-1,-6)(C)a·b=10 (D)|a|=6D2.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为(

)3.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是(

)(A)a∥b,a∥c (B)a∥b,a⊥c(C)a∥b,b∥c (D)a⊥b,a∥cD4.已知a=(cosα,1,sinα),b=(sinα,1,cosα),则向量a+b与a-b的夹角是

.

答案:90°5.已知向量a=(-2,0,1),b=(1,2,x),若a⊥b,则x=

,若2a+b=(-3,2,5),