传染病传播模型专家讲座

传染病传输模型

人们不可能去做传染病传输试验以获取数据，从医疗卫生部门得到资料也是不完全和不充分。不一样类型传染病传输过程有其各自不一样特点，搞清这些特点需要相当多病理知识，这里更不可能从医学角度来分析各种传染病传输，所以，我们只能按照普通传输机理建立模型。传染病传播模型专家讲座第1页传染病传输问题和自然科学中一些已经有确定规律问题不一样，不可能马上对它做出恰当假设，建立完善模型，只能先做出最简单假设，建立模型，得出结果，分析是否符合实际，然后针对其不合理或不完善处，进行修改或补充假设，逐步得到较为合理模型。

传染病传播模型专家讲座第2页模型1（SI模型）

假设条件(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占百分比分别记为s(t)和i(t)。(2)在疾病传输期内所考查地域总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，而且时间以天为计量单位。(3)每个病人天天有效接触平均人数是常数

，

称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。传染病传播模型专家讲座第3页依据假设，每个病人天天可使

s(t)个健康者变为病人。因为病人数为Ni(t)，所以天天共有

Ns(t)i(t)个健康者被感染，即病人数Ni(t)增加率为

Ns(t)i(t)。于是得到人员流程图以下传染病传播模型专家讲座第4页进而有再设初始时刻（t=0）病人百分比为i0，则由s(t)+i(t)=1，得到初值问题Logistic模型传染病传播模型专家讲座第5页初值问题解为

传染病传播模型专家讲座第6页可画出i(t)~t和di/dt~i图形为

i(t)~t

图形传染病传播模型专家讲座第7页di/dt~i图形传染病传播模型专家讲座第8页于是可知：①当t

时，i

1，即全部些人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。其原因是模型中没有考虑到病人能够治愈，人群中健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。传染病传播模型专家讲座第9页

②然而，这个模型在传染病流行前期还是可用，可用它来预报传染病高潮到来：当i=1/2时，di/dt到达最大值(di/dt)m，这个时刻为这时病人增加得最快，能够认为是医院门诊量最大一天，预示着传染病高潮到来，是医疗卫生部门关注时刻。传染病传播模型专家讲座第10页

③还能够看出，tm

与

成反比。因为日接触率

表示给定地域卫生水平，

越小卫生水平越高，所以改进保健设施、提升卫生水平能够推迟传染病高潮到来。传染病传播模型专家讲座第11页模型2（不考虑出生和死亡SIS模型）

有些传染病如伤风、痢疾等治愈后免疫力很低，能够假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还能够被感染再变成病人，所以在SI模型基础上，增加一个假设条件就会得到SIS模型。假设条件(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占百分比分别记为s(t)和i(t)。

传染病传播模型专家讲座第12页(2)在疾病传输期内所考查地域总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，而且时间以天为计量单位。(3)每个病人天天有效接触平均人数是常数

，

称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。(4)天天被治愈病人数占病人总数百分比为常数

，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染健康者，1/

称为这种传染病平均传染期。传染病传播模型专家讲座第13页假如考虑到假设条件(4)，则人员流程图以下

于是有传染病传播模型专家讲座第14页记初始时刻病人百分比i0（i0>0），从而SI模型能够修正为我们称之为Bernolli（贝努里）方程初值问题，其解析解为传染病传播模型专家讲座第15页其中

=

/

。由

和1/

含义可知，

是整个传染期内每个病人有效接触平均人数，称为接触数。于是有传染病传播模型专家讲座第16页我们画出di/dt~i和i~t图形为

di/dt~i

图形（

>1）传染病传播模型专家讲座第17页i(t)~t

图形（

>1）传染病传播模型专家讲座第18页di/dt~i

图形（

1）传染病传播模型专家讲座第19页i(t)~t

图形（

1）传染病传播模型专家讲座第20页模型3（考虑出生和死亡SIS模型）

当传染病传输周期比较长时，若不考虑出生和死亡原因显然不妥，接下来考虑带有出生和死亡情况SIS模型。假设条件(1)人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类，以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占百分比分别记为s(t)和i(t)。传染病传播模型专家讲座第21页(2)在疾病传输期内所考查地域总人数为N，总认为人口出生率与死亡率相同，而且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为

，则人口平均寿命为1/

。(3)每个病人天天有效接触平均人数是常数

，

称为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。(4)天天被治愈病人数占病人总数百分比为常数

，称为日治愈率。病人被治愈后称为仍可被感染健康者，1/

称为这种传染病平均传染期。传染病传播模型专家讲座第22页在上述假设条件下，人员流程图以下

传染病传播模型专家讲座第23页于是有传染病传播模型专家讲座第24页记初始时刻健康者和病人百分比分别是s0（s0>0）和i0（i0>0），从而考虑出生和死亡SIS模型为传染病传播模型专家讲座第25页而由s+i=1有ds/dt=

di/dt，于是，上式第二个方程变为恒等式，从而模型简化为假如令

=

/(

+

)，则

仍表示整个传染期内每个病人有效接触平均人数，即接触数。于是，以下求解与讨论与不考虑出生和死亡SIS模型相同。传染病传播模型专家讲座第26页模型4（不考虑出生和死亡SIR模型）许多传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后都有很强免疫力，所以病愈人既非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），它们已经退出传染系统。传染病传播模型专家讲座第27页模型假设条件为(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占百分比分别为s(t)，i(t)和r(t)。(2)病人日接触率为

，日治愈率为

，传染期接触数为

=

/

。(3)在疾病传输期内所考查地域总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移，而且时间以天为计量单位。传染病传播模型专家讲座第28页在上述假设条件下，人员流程图以下

传染病传播模型专家讲座第29页由假设条件显然有s(t)+i(t)+r(t)=1

传染病传播模型专家讲座第30页记初始时刻健康者和病人百分比分别是s0（s0>0）和i0（i0>0）（不妨设移出者初始值r0=0），于是得到SIR模型为以下初值问题传染病传播模型专家讲座第31页而由s+i+r=1有dr/dt=

di/dt

ds/dt

，于是，上式第三个方程变为恒等式，从而模型简化为上述初值问题无法求出解析解，只能经过数值解法求出数值解。传染病传播模型专家讲座第32页比如，取

=1，

=0.3，i(0)=0.02，s(0)=0.98，则求得数值解以下表，对应i(t)、s(t)曲线和i~s曲线以下列图。t012345678i(t)0.02000.03900.07320.12850.20330.27950.33120.34440.3247s(t)0.98000.95250.90190.81690.69270.54380.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.28630.24180.07870.02230.00610.00170.00050.00010s(t)0.14930.11450.05430.04340.04080.04010.03990.03990.0398传染病传播模型专家讲座第33页SIR模型i(t)、s(t)曲线

传染病传播模型专家讲座第34页SIR模型

i~s曲线传染病传播模型专家讲座第35页在实际应用SIR模型时，模型中参数经常经过一些统计资料来预计。实际上，能够求出解析解微分方程模型是非常有限，所以人们经常利用定性理论从方程本身推出解相关性质。对于上述SIR

模型，就能够采取相轨线分析方法，来取得i(t)、s(t)普通改变规律。（参教案，略）传染病传播模型专家讲座第36页模型5（考虑出生和死亡SIR模型）模型假设(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫移出者（Removed）三类，三类人在总人数N中占百分比分别为s(t)，i(t)和r(t)。(2)病人日接触率为

，日治愈率为

，传染期接触数为

=

/

。(3)在疾病传输期内所考查地域总人数为N，总认为人口出生率与死亡率相同，而且新生婴儿全为易感染者。记平均出生率为