电磁场第二章PPT

电磁场第二章PPT第1页，课件共93页，创作于2023年2月主要内容库仑定律、电场强度、电位、场方程、边界条件、电场能量与能量密度2.1库仑定律与电场强度2.1.1库仑定律真空中两个点电荷之间的作用力的大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比，力的方向沿着它们的连线，同号电荷之间是斥力，异号电荷之间是引力。1、库仑定律表述：第2页，课件共93页，创作于2023年2月2、表示式式中：R

=r-r′表示从r′到r的矢量；R是r′到r的距离；R°是R的单位矢量；ε0是表征真空电性质的物理量，称为真空的介电常数，其值为。注意：①点电荷q′同样受到q的作用力，如为F′，且F′=-F，即两点电荷之间的作用力符合牛顿第三定律。点电荷q受到q′的作用力为F表示为②库仑定律只能直接用于点电荷。第3页，课件共93页，创作于2023年2月

对于实际的带电体，一般应该看成是分布在一定区域内的电荷，称其为分布电荷。用电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况。3、电荷与电荷分布：①电荷体密度：在电荷分布区域内，取体积元ΔV，若其中的电量为Δq，则电荷体密度为②电荷面密度：如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元ΔS内的电量为Δq，则面密度为单位是库/米2(C/m2)单位是库/米3(C/m3)第4页，课件共93页，创作于2023年2月④点电荷的密度：电荷集中在一个体积为零的几何点上，这个电荷为点电荷。利用函数，其体密度③电荷线密度：对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。若线元Δl内的电量为Δq，则线密度为单位是库/米

(C/m)。以上的ΔV、ΔS、Δl趋于零，是指相对于宏观尺度而言很小的含意，以便能精确地描述电荷的空间变化情况；但是相对于微观尺度，该体积、面积、线元又是足够大，它包含了大量的带电粒子，这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。第5页，课件共93页，创作于2023年2月2.1.2电场强度点电荷q′对点电荷q的作用力，是由于q′在空间产生电场，电荷q在电场中受力。1、电场引入：2、电场强度：用电场强度来描述电场，空间一点的电场强度定义为该点的单位正试验电荷所受到的力。在点r处，试验电荷q受到的电场力，则为①点电荷q′在真空中产生电场第6页，课件共93页，创作于2023年2月②n个点电荷在真空中产生电场（遵从叠加原理）点电荷q′所在点r′称为源点，试验电荷q所在点r称为场点。③对于体分布的电荷，可将其视为一系列点电荷的叠加，从而得出r点的电场强度为第7页，课件共93页，创作于2023年2月④面电荷产生的电场强度为⑤线电荷产生的电场强度为第8页，课件共93页，创作于2023年2月例2-1一个半径为a的均匀带电圆环，求轴线上的电场强度。解：取坐标系如图，圆环位于xoy平面，圆环中心与坐标原点重合，设电荷线密度为ρl

。第9页，课件共93页，创作于2023年2月所以第10页，课件共93页，创作于2023年2月2.2高斯定理1、立体角：②若S是封闭曲面，则对点电荷所在点o´立体角①面元dS对点电荷所在点o´立体角第11页，课件共93页，创作于2023年2月2、电场强度的通量：电场强度通过任一曲面的通量称为电通，就是电场强度在曲面S上的面积分，以

表示,即

3、高斯定理：表述：真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。即给出通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。①积分形式第12页，课件共93页，创作于2023年2月证明：先考虑点电荷的电场穿过任意闭曲面S的通量：若q位于S内部，上式中的立体角为4π；若q位于S外部，上式中的立体角为零。对点电荷系或分布电荷，由叠加原理得出高斯定理为证毕第13页，课件共93页，创作于2023年2月②微分形式表述：真空中任意一点的电场强度的散度等于该点的电荷密度与真空介电常数之比。即给出任意一点电场强度的空间变化与该点电荷分布的关系。证明：由于体积V是任意的，所以有第14页，课件共93页，创作于2023年2月例2-2假设在半径为a的球体内均匀分布着密度为ρ0的电荷，试求任意点的电场强度。解：①当r>a时，故第15页，课件共93页，创作于2023年2月②当r<a时，所以第16页，课件共93页，创作于2023年2月例2-3已知半径为a的球内、外的电场强度为求电荷分布。解：由高斯定理的微分形式，得电荷密度为第17页，课件共93页，创作于2023年2月用球坐标中的散度公式当(r>a)(r<a)由于只有Er分量，所以第18页，课件共93页，创作于2023年2月2.3静电场的旋度与静电场的电位由1、静电场电位的定义可用一个标量函数的负梯度表示电场强度。这个标量函数就是静电场的位函数，简称为电位。即电位

(r)的定义由下式确定：第19页，课件共93页，创作于2023年2月电场强度则为电位函数的负梯度电位的单位是伏(V)，因此电场强度的单位是伏/米(V/m)。2、不同分布的电荷在场点r处的电位体分布的电荷在场点r处的电位为线电荷和面电荷的电位表示式与上式相似，只需将电荷密度和积分区域作相应的改变。第20页，课件共93页，创作于2023年2月对于位于源点r′处的点电荷q，其在r处产生的电位为3、静电场的旋度电场强度可表示为一个电位函数的负梯度，则静电场的旋度恒等于零，即说明静电场是无旋场。第21页，课件共93页，创作于2023年2月因为静电场是无旋场，其在任意闭合回路的环量为零，即4、静电场的环量沿某一路径从A点到B点的线积分与路径无关，仅仅与起点和终点的位置有关。说明静电场是一个保守场。5、静电场中沿某一路径的线积分由则而第22页，课件共93页，创作于2023年2月通常，称

(A)-

(B)为A与B两点间的电位差(或电压)。一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点（即零电位点）。当取B点为参考点时，A点处的电位为当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便。此时6、静电场的电位参考点由第23页，课件共93页，创作于2023年2月将E=-▽

代入高斯定理的微分形式，得到①若讨论的区域ρ

0，则电位微分方程称为泊松方程。上述方程为二阶偏微分方程。其中▽2在直角坐标系中为7、静电场电位的微分方程称为拉普拉斯方程。②若讨论的区域ρ=0，则电位微分方程变为第24页，课件共93页，创作于2023年2月8、真空中静电场的基本方程可归纳为

9、电位的的物理意义表示单位正电荷从场点移动到参考点时电场力所作的功。电位具有相对意义，场中两点之间的电位差是绝对的第25页，课件共93页，创作于2023年2月例2-4位于xoy平面上的半径为a、圆心在坐标原点的带电圆盘，面电荷密度为ρS，如图2-4所示，求z轴上的电位。解：由面电荷产生的电位公式：以上结果对轴上的任意点都成立。第26页，课件共93页，创作于2023年2月均匀带电圆盘第27页，课件共93页，创作于2023年2月例2-5求均匀带电球体产生的电位。解：由于电场只有Er分量(r>a)(r<a)积分路径与电场分量方向一致，由此可求出电位当r<a时当r>a时第28页，课件共93页，创作于2023年2月例2-6若半径为a的导体球面的电位为U0,球外无电荷，求空间的电位。解：

即采用球坐标由得第29页，课件共93页，创作于2023年2月再对其积分，得由已知条件确定常数。在导体球面上，电位为U0，无穷远处电位为零。分别将r=a、r=∞代入上式，得这样解出两个常数为所以第30页，课件共93页，创作于2023年2月（1）高斯定律中的电量q

应理解为封闭面S

所包围的全部正负电荷的总和。

静电场特性的进一步认识：（2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。（3）任意两点之间电场强度E的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。

第31页，课件共93页，创作于2023年2月2.4电偶极子1、电偶极子由间距很小的两个等量异号点电荷电荷组成的系统。2、电偶极矩用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，它定义为电荷q乘以有向距离l，即电偶极矩是一个矢量。第32页，课件共93页，创作于2023年2月3、电偶极子在空间任意点P的电位为其中，r1和r2分别表示场点P与q和-q的距离。P4、电偶极子在空间任意点P的电场计算条件：l<<r时，r表示坐标原点到P点的距离。第33页，课件共93页，创作于2023年2月P由余弦定理由得第34页，课件共93页，创作于2023年2月从而有则电场强度在球坐标中的表示式为或电偶极子在空间任意点P的电位与r2成反比。电偶极子在空间任意点P的电场与r3成反比。第35页，课件共93页，创作于2023年2月电偶极子的电场分布具有轴对称性。5、电偶极子的电场分布图第36页，课件共93页，创作于2023年2月2.5电介质中的场方程2.5.1介质的极化表述为单位体积中电矩的矢量和，极化强度的单位是C/m2。1、介质的极化

在外电场的作用下，或者电介质的分子产生附加电矩，或者固有偶极矩沿外电场取向。电介质的极化分为非极性分子的极化（位移极化）和极性分子的极化（取向极化）两种。2、极化强度

极化强度P是一个矢量，用来表征电介质的极化性质。其表达式第37页，课件共93页，创作于2023年2月2.5.2极化介质产生的电位设极化介质的体积为V，表面积是S，极化强度是P，现在计算介质外部任一点的电位。在介质中r′处取一个体积元ΔV′，因|r-r′|远大于ΔV′的线度，故可将ΔV′中介质当成一偶极子，其偶极矩为p=PΔV′，它在r处产生的电位是1、极化介质在空间任意点的电位第38页，课件共93页，创作于2023年2月整个极化介质产生的电位是上式的积分：对上式进行变换，利用变换为第39页，课件共93页，创作于2023年2月再利用矢量恒等式：令体电荷密度面电荷密度极化电荷第40页，课件共93页，创作于2023年2月例2-7一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是P0ez，求极化电荷分布及介质球的电偶极矩。解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。极化电荷面密度为xyz------+++++θa极化电荷体密度为第41页，课件共93页，创作于2023年2月分布电荷对于原点的偶极矩由下式计算：积分区域S是极化电荷分布的介质球面区域。因此则由第42页，课件共93页，创作于2023年2月2.5.3介质中的场方程将ρP=-▽·P代入，得这表明，矢量（ε0E+P）的散度为自由电荷密度。1、高斯定理的微分形式在真空中在电介质中ρ自由电荷密度，ρP极化电荷密度2、电位移矢量第43页，课件共93页，创作于2023年2月称此矢量为电位移矢量(或电感应强度矢量)，并记为D，即于是，介质中高斯定理的微分形式变为微分形式：3、介质中静电场的方程积分形式：第44页，课件共93页，创作于2023年2月2.5.4介质的介电常数式中

e为极化率，是一个无量纲常数。称εr为介质的相对介电常数，称ε为介质的介电常数。1、极化强度P与电场强度E的关系2、介质的介电常数由3、均匀介质中电位的泊松方程第45页，课件共93页，创作于2023年2月例2-8一个半径为a的导体球，带电量为Q，在导体球外套有外半径为b的同心介质球壳，壳外是空气，如图所示。求空间任一点的D、E、P以及束缚电荷密度。第46页，课件共93页，创作于2023年2月解：导体球外(r≥a)介质内(a<r<b)：第47页，课件共93页，创作于2023年2月介质外(b<r)：介质内表面(r=a)的束缚电荷面密度：介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度：第48页，课件共93页，创作于2023年2月2.6静电场的边界条件1、法向边界条件边界条件反映场分量在界面上的变化规律或①界面上有自由电荷分布电位移矢量的法向分量在界面两侧不连续。第49页，课件共93页，创作于2023年2月或②界面上无自由电荷分布

电位移矢量的法向分量在界面两侧连续。即2、切向边界条件第50页，课件共93页，创作于2023年2月取Δl2=loΔl，Δl1=-loΔl，

l°是单位矢量，上式变为注意到n⊥l°，故有或

电场强度的切向分量在界面两侧连续。3、边界条件的电位表示①切向边界条件

电位是连续第51页，课件共93页，创作于2023年2月②法向分量的边界4、在ρS=0时边界条件用电力线与法向的夹角表示第52页，课件共93页，创作于2023年2月导体内的静电场在静电平衡时为零。设导体外部的场为E、D，导体的外法向为n，则导体表面的边界条件简化为5、导体表面的边界条件第53页，课件共93页，创作于2023年2月

例2-9同心球电容器的内导体半径为a，外导体的内半径为b，其间填充两种介质，上半部分的介电常数为ε1，下半部分的介电常数为ε2，如图所示。设内、外导体带电分别为q和-q，求各部分的电位移矢量和电场强度。例2-9用图第54页，课件共93页，创作于2023年2月解：在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分，有介质分界面切向边界条件分界面（假设电场只有径向方向）第55页，课件共93页，创作于2023年2月2.7导体系统的电容2.7.1电位系数(i=1,2,…,n)导体i的总电位应该是整个系统内所有导体对它的贡献的叠加，即导体i的电位为1、叠加原理n个导体组成的系统，导体j对导体i的电位表示为第56页，课件共93页，创作于2023年2月或写成矩阵形式2、电位系数或电位系数第57页，课件共93页，创作于2023年2月②由电位系数的定义可知，导体j带正电，电力线自导体j出发，终止于导体i上或终止于地面上。又由于导体i不带电，有多少电力线终止于它，就有多少电力线自它发出，所发出的电力线不是终止于其它导体上，就是终止于地面。电位沿电力线下降，其它导体的电位一定介于导体j的电位和地面的电位之间，所以(i≠j,j=1,2,…,n)③电位系数具有互易性质，即①pij的物理意义是导体j带一库仑的正电荷，而其余导体均不带电，导体上i的电位。第58页，课件共93页，创作于2023年2月2.7.2电容系数和部分电容1、电容系数或写成矩阵形式电容系数第59页，课件共93页，创作于2023年2月②由电容系数的定义可知，导体j的电位比其余导体的电位都高，电力线自导体j出发，终止于其余导体或地。即导体j带正电，其余导体带负电，且n个导体上的电荷加上地面上的电荷应为零。。所以③电容系数具有互易性质，即①βij的物理意义是导体j的电位为1伏，而其余导体均接地，导体上i的电荷量。(i≠j)第60页，课件共93页，创作于2023年2月…2、部分电容令(i≠j)第61页，课件共93页，创作于2023年2月则上式变成…①Cij的物理意义是导体j和i之间的部分电容，而Cii的导体i的自部分电容。②部分电容具有互易性质，即第62页，课件共93页，创作于2023年2月3、两个导体构成的电容器的电容与电位系数的关系第63页，课件共93页，创作于2023年2月

例2-10导体球及与其同心的导体球壳构成一个双导体系统。若导体球的半径为a，球壳的内半径为b，壳的厚度很薄可以不计(如图所示)，求电位系数、电容系数和部分电容。例2-10用图第64页，课件共93页，创作于2023年2月解：先设导体球带电荷为q1，球壳的总电荷为零，可得再设导体球的总电荷为零，球壳带电荷为q2，可得则则第65页，课件共93页，创作于2023年2月（1）电容系数矩阵等于电位系数矩阵的逆矩阵，故有第66页，课件共93页，创作于2023年2月（2）部分电容为第67页，课件共93页，创作于2023年2月例2-11假设真空中两个导体球的半径都为a，两球心之间的距离为d，且d>>a，求两个导体球之间的电容。解：先设一个导体球带电荷为q1，另一个带电荷为零，可得则同理得所以q1第68页，课件共93页，创作于2023年2月例2-12一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b,内、外导体之间填充两种绝缘材料，a<r<r0的介电常数为ε1，r0<r<b的介电常数为ε2，如图所示，求单位长度的电容。例2-12用图第69页，课件共93页，创作于2023年2月解：设内、外导体单位长度带电分别为ρl、-ρl，内、外导体间的场分布具有轴对称性。由高斯定理可求出内、外导体间的电位移为各区域的电场强度为第70页，课件共93页，创作于2023年2月内、外导体间的电压为因此，单位长度的电容为第71页，课件共93页，创作于2023年2月2.8电场能量与能量密度2.8.1电场能量设每个带电体的最终电位为φ1、φ2、…、φn，最终电荷为q1、q2、…、qn。带电系统的能量与建立系统的过程无关，仅仅与系统的最终状态有关。假设在建立系统过程中的任一时刻，各个带电体的电量均是各自终值的α倍(α<1)，即带电量为αqi，电位为αφi，经过一段时间，带电体i的电量增量为d(αqi)，外源对它所作的功为αφid(αqi)。外源对n个带电体作功为1、n个带电体组成的系统的电场能量第72页，课件共93页，创作于2023年2月因而，电场能量的增量为在整个过程中，电场的储能为用电容系数表示用电位系数表示第73页，课件共93页，创作于2023年2月3、面电荷分布的电场能量4、线电荷分布的电场能量2、体电荷分布的电场能量5、电容器的电量为q的电场能量第74页，课件共93页，创作于2023年2月2.8.2能量密度1、电场能量的分析将▽·D=ρ和D·n=ρS代入上式，有利用矢量恒等式第75页，课件共93页，创作于2023年2月则并且注意在导体表面S上n=-n′，得第76页，课件共93页，创作于2023年2月将式中V扩展到无穷大，故S′在无穷远处。对于分布在有限区域的电荷，φ∝1/R，D∝1/R2,S′∝R2,因此当R→∞时，上式中的面积分为零，于是对于各向同性介质：2、能量密度的定义第77页，课件共93页，创作于2023年2月例2-13若真空中电荷q均匀分布在半径为a的球体内，计算电场能量。(r<a)(r>a)所以解：用高斯定理可以得到电场为第78页，课件共93页，创作于2023年2月例2-14若一同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，之间填充介电常数为ε的介质，当内、外导体间的电压为U(外导体的单位为零)时，求单位长度的电场能量。

解：设内、外导体间电压为U时，内导体单位长度带电量为ρl，则导体间的电场强度为两导体间的电压为第79页，课件共93页，创作于2023年2月即单位长度的电场能量为第80页，课件共93页，创作于2023年2月2.9电场力的计算虚位移法求带电导体所受电场力的思路是：假设在电场力F的作用下，受力导体有一个位移dr，从而电场力作功F·dr；因这个位移会引起电场强度的改变，这样电场能量就要产生一个增量dWe；再根据能量守恒定律，电场力作功及场能增量之和应该等于