【解析】2023-2024学年北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗 同步练习（培优卷）

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2023-2024学年北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗同步练习（培优卷）

一、选择题

1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5

C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵b2-c2=a2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC为直角三角形，故A正确，不符合题意；

B、∵a：b：c=3：4：5，

∴可设a=3k，b=4k，c=5k，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC为直角三角形，故B正确，不符合题意；

∵∠A：∠B：∠C=9：12：15，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=×180°=75°，

∴△ABC不是直角三角形，故C错误，符合题意；

∵∠C=∠A-∠B，

∴∠B+∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=90°，

∴△ABC为直角三角形，故D正确，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B；估计内角和定理可判断C、D.

2．（2023八下·天河期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（）

A．三角形三条边的比为

B．三角形三条边满足关系式

C．三角形三条边的比为

D．三角形三个内角满足关系式

【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：A、三角形三条边的比为，

设三角形三条边分别为、、，

，，

，

不是直角三角形，A符合题意；

B、，

，

是直角三角形，B不符合题意；

C、三角形三条边的比为，

设三角形三条边分别为、、，

，，

，

是直角三角形，C不符合题意；

D、，，

，

是直角三角形，D不符合题意，

故答案为：A.

【分析】如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

有一个角是直角的三角形是直角三角形.

3．（2023八下·湖北期末）△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，三条边分别为a，b，c．下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵a：b：c=1：2：3，

∴设a=x，b=2x，c=3x，

∵a2+b2=x2+4x2=5x2，c2=9x2，

∴a2+b2≠c2，

∴△ABC不是直角三角形，故A不符合题意；

B、∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ABC不是直角三角形，故B不符合题意；

C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

∴3x+4x+5x=180°，

解之：x=15°，

∴∠C=5×15=75°＜90°，

∴△ABC不是直角三角形，故C不符合题意；

D、∵a2=b2-c2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC是直角三角形，故D符合题意；

故答案为：D

【分析】利用勾股定理的逆定理可对A，D作出判断；利用三角形的内角和为180°，可求出△ABC的每一个角的度数，利用有一个角是直角的三角形是直角三角形，可对B，C作出判断.

4．（2023八下·江州期末）由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（）.

A．a=1，b=2，c=3B．a=1，b=，c=

C．a=2，b=3，c=5D．a=3，b=4，c=5

【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠32，由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；

B、，由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；

C、22+32≠52，由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；

D、32+42=52，由股定理的逆定理可知这三条线段能作为直角三角形的三边边长，故此选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】分别计算各选项中各数的平方，观察是否满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知：若满足，则可构成直角三角形，反之，不能构成直角三角形，结合各选项即可判断求解.

5．（2023八下·包河期中）下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A．1，2，3B．，2，C．4，5，6D．8，15，19

【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：

A、，不可以构成直角三角形，A不符合题意；

B、，可以构成直角三角形，B符合题意；

C、，不可以构成直角三角形，C不符合题意；

D、，不可以构成直角三角形，D不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。

6．（2023八下·双鸭山期末）满足下列条件的，其中不是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a-c）=a2-c2，

∴b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理得：∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合题意；

B、∵a：b：c=1：：2，

∴设a=x，b=x，c=2x，

a2+b2=x2+(x)2=4x2，c2=(2x)2=4x2，

∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理得：∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合题意；

C、∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠C=∠A-∠B，

∴∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合题意；

D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，

∠C=5×15°=75°，∠B=4×15°=60°，∠A=3×15°=45°，

∴△ABC不是直角三角形；符合题意.

故选：D.

【分析】A、用平方差公式将等式右边去括号，整理可得b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合题意；

B、由题意可设a=x，b=x，c=2x，分别计算a2+b2和c2的值，满足a2+b2=c2，由勾股定理的的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合题意；

C、由三角形内角和定理和已知条件可求得∠A=90°，由直角三角形的定义可得△ABC是直角三角形；不符合题意；

D、由题意可设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，代入计算可得∠C、∠B、∠A的度数，根据三个内角的度数可判断△ABC不是直角三角形；符合题意.

7．（2023八下·北京市期中）老师布置了任务：过直线上一点C作的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分别以D，C为圆心，以和为半径画圆弧，两弧相交于点E．③作直线，即为所求的垂线．方案Ⅱ：取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点．①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．③将延长，在延长线上截取线段，得到点S．④作直线，即为所求直线．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根据作图可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE为直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根据作图可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案为：C．

【分析】方案Ⅰ：连接DE，根据勾股定理逆定理证明△CDE为直角三角形，即可证明EC⊥AB；方案Ⅱ：根据CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

8．（2023八下·蜀山期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（）

A．勾股定理B．勾股定理的逆定理

C．三角形内角和定理D．直角三角形的两锐角互余

【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由题意得这样做的依据是勾股定理的逆定理，

故答案为：B

【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。

9．（2023八下·凤台期中）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为()

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理；线段的中点

【解析】【解答】解：由图根据勾股定理可得：，，，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

∵点D为的中点，

∴，

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理先求出，再求出△ABC是直角三角形，最后计算求解即可。

10．（2023八下·涡阳期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（）

A．等腰直角三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等边三角形

【答案】A

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AB2=12+32=10，AC2=12+32=10，BC2=22+42=20，

∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形；

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理求出三角形三边的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可.

二、填空题

11．（2023八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元.

【答案】7200

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

∴∠DBC＝90°，

S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，

＝＝36.

所以需费用36×200＝7200（元）.

故答案为7200.

【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.

12．（2023八下·宣州期中）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：

①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，符合题意结论的序号为．

【答案】②③

【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】①选项：根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项不符合题意；

②

即

,

．

故本选项符合题意;

③选项：

，

故本选项符合题意；

④选项：

本选项不符合题意；

故答案是：②③

【分析】已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形．

13．（2023八下·洛阳期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是.

【答案】GH、CD、AB

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，，，，

∵

∴线段GH、CD、AB能构成直角三角形.

故答案为：GH、CD、AB

【分析】根据网格图的特征和勾股定理求出AB、DC、GH、DC的值，观察计算的各线段的值可得DC2+GH2=AB2，然后根据勾股定理的逆定理可判断线段GH、CD、AB能构成直角三角形.

14．（2023八下·永定期中）已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为.

【答案】

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：，，

，

为直角三角形，，

设，

是等腰三角形，

，

，

解得，，

故答案为：.

【分析】由勾股定理逆定理知△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°，设AD=x，由等腰三角形的性质可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根据勾股定理进行计算.

15．（2022八下·交城期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为．

【答案】45°

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图，

根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，

由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，

则∠ABD+∠CBE=∠MAB，

在Rt△ANB中，有，

同理可求得：，

∵，

∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，

∴∠MAB=45°，

即：∠ABD+∠CBE=45°，

故答案为：45°．

【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，先证出∠ABD+∠CBE=∠MAB，再结合△ABM是直角三角形，且AM=BM，∠MAB=45°，即可得到∠ABD+∠CBE=45°。

三、综合题

16．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接．

（1）求证：．

（2）求的长．

【答案】（1）解：证明：是边上的中线，

，

在和中，

，

，

；

（2）解：由（1）得，，

，

，

，

【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）图形符合“倍长中线”的特征，易发现AD=ED，BD=CD，对顶角∠ADB=∠EDC，因此可证得△ABD≌△EDC（SAS），所以可得CE=AB.

（2）根据题干中的数据，同时结合（1）中的结论，发现△ACE的三边长分别为5，12，13，三边符合勾股定理，因此最长边AC所对的∠E=90°，所以在Rt△CDE中，利用CE=5，DE=6，就可以求出斜边CD的值.

17．（2023八下·惠城期末）.如图，点在△ABC中，，，，．

（1）求BC的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

【答案】（1）解：

（2）解：

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案；

（2）根据勾股定理逆定理判断出直角三角形ABC，最后根据面积法即可求出答案.

18．（2023八下·息县期末）在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．

（1）当三边分别为6、8、9时，为三角形；当三边分别为6、8、11时，为三角形．

（2）猜想，当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形．

（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．

【答案】（1）锐角；钝角

（2）；

（3）解：为最长边，，

，

，

，即，，

当时，这个三角形是锐角三角形；

，即，，

当时，这个三角形是直角三角形；

，即，，

当时，这个三角形是钝角三角形．

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：（1）直角三角形的两直角边分别为6、8时，斜边长为=10，

∴当三边分别为6、8、9时，△ABC为锐角三角形；

当三边分别为6、8、11时，△ABC为钝角三角形；

故答案为：锐角、钝角；

（2）猜想：当＞时，为锐角三角形；

当＜时，为钝角三角形；

故答案为：＞，＜；

【分析】（1）由勾股定理求出两直角边长为6、8时的斜边的长，再和9比较，即可做出判断即可；

（2）根据（1）结论进行猜想即可；

（3）根据三角形三边关系，求出第三边c的范围，由勾股定理求出两直角边分别为a、b时，，分三种情况：，，，据此分别求出c的范围即可.

19．（2022八下·康巴什期末）课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到；

（1）小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成；

（2）如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度．

【答案】（1）证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE．

在△ACD和△EBD中，，

∴△ACD≌△EBD．∴∠C=∠EBD

∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．

在△ABC和△BAE中，，

∴△ABC≌△BAE．∴AE=BC．∴BC=AE=2AD∴AD＝BC．

（2）解：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°．

∵CD=1，AD=2，BD=4，

∴根据勾股定理得：

，，

∴△ABC是直角三角形．∴AE=

【知识点】勾股定理的逆定理；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）延长AD至点E使DE=AD，连接BE，在△ACD和△EBD中，证出△ACD≌△EBD，得出∠C=∠EBD，在△ABC和△BAE中，再证出△ABC≌△BAE，得出AE=BC，即可得出结论；

（2）根据AD⊥BC，得出∠ADC=∠ADB=90°，根据勾股定理得，证出△ABC是直角三角形，即可得出结论。

20．（2023八下·淮南期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：

n23456

a4581012

b38152435

c510172637

请回答下列问题：

（1）当n＝7时，a＝，b＝，c＝；

（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝，b＝，c＝；

（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．

【答案】（1）14；48；50

（2）2n；；

（3）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

证明：∵a2+b2=4n2+（n2-1）2=n4+2n2+1，

c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，

∴a2+b2=c2，

∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．

【知识点】勾股定理的逆定理；探索数与式的规律

【解析】【解答】解：（1）由图表可以得出：

∵n=2时，a=2×2，b=22-1，c=22+1，

n=3时，a=2×3，b=32-1，c=32+1，

n=4时，a=2×4，b=42-1，c=42+1，

n=5时，a=2×5，b=52-1，c=52+1，

∴n=7时，a=2×7=14，b=72-1=48，c=72+1=50；

故答案为：14，48，50；

（2）由规律可得：a=2n，b=n2-1，c=n2+1；

故答案为：2n，n2-1，n2+1；

【分析】（1）根据表格数据找出规律，即可求解；

（2）由（1）规律可得：a=2n，b=n2-1，c=n2+1；

（3）由2n＜n2-1＜n2+1，可先求出a2+b2，再求出c2，根据勾股定理的逆定理进行判断即可.

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2023-2024学年北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗同步练习（培优卷）

一、选择题

1．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．b2﹣c2＝a2B．a：b：c＝3：4：5

C．∠A：∠B：∠C＝9：12：15D．∠C＝∠A﹣∠B

2．（2023八下·天河期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（）

A．三角形三条边的比为

B．三角形三条边满足关系式

C．三角形三条边的比为

D．三角形三个内角满足关系式

3．（2023八下·湖北期末）△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，三条边分别为a，b，c．下列条件，能判断△ABC是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

4．（2023八下·江州期末）由线段a，b，c组成的三角形中，是直角三角形的是（）.

A．a=1，b=2，c=3B．a=1，b=，c=

C．a=2，b=3，c=5D．a=3，b=4，c=5

5．（2023八下·包河期中）下列长度的四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A．1，2，3B．，2，C．4，5，6D．8，15，19

6．（2023八下·双鸭山期末）满足下列条件的，其中不是直角三角形的是（）

A．B．

C．D．

7．（2023八下·北京市期中）老师布置了任务：过直线上一点C作的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（）

方案Ⅰ：①利用一把有刻度的直尺在上量出．②分别以D，C为圆心，以和为半径画圆弧，两弧相交于点E．③作直线，即为所求的垂线．方案Ⅱ：取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点．①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在上，将旋转后点M对应的位置标记为点R．③将延长，在延长线上截取线段，得到点S．④作直线，即为所求直线．

A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行

C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行

8．（2023八下·蜀山期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断是否为直角，这样做的依据是（）

A．勾股定理B．勾股定理的逆定理

C．三角形内角和定理D．直角三角形的两锐角互余

9．（2023八下·凤台期中）如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为()

A．B．C．D．

10．（2023八下·涡阳期中）如图，在网格中，点A，B，C都是格点（网格线的交点），则的形状是（）

A．等腰直角三角形B．等腰三角形

C．直角三角形D．等边三角形

二、填空题

11．（2023八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入元.

12．（2023八下·宣州期中）若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：

①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，符合题意结论的序号为．

13．（2023八下·洛阳期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是.

14．（2023八下·永定期中）已知等腰的底边，D是腰上一点，且，，则的长为.

15．（2022八下·交城期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E是格点，则∠ABD＋∠CBE的度数为．

三、综合题

16．如图，在中，，，边上的中线，延长至点，使，连接．

（1）求证：．

（2）求的长．

17．（2023八下·惠城期末）.如图，点在△ABC中，，，，．

（1）求BC的长；

（2）求图中阴影部分的面积．

18．（2023八下·息县期末）在中，，，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状按角分类．

（1）当三边分别为6、8、9时，为三角形；当三边分别为6、8、11时，为三角形．

（2）猜想，当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形．

（3）判断当，时，的形状，并求出对应的的取值范围．

19．（2022八下·康巴什期末）课本矩形一节，根据矩形的的性质得到了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．

小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中为直角，AD为斜边BC上的中线，．它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使，连结BE，再证，从而就可以证明得到；

（1）小聪同学还想借助图②，在任意的中，为直角，AD为斜边BC上的中线，证明结论，请你帮助小聪同学完成；

（2）如图③，在中，垂足为D，如果，，，求的中线AE的长度．

20．（2023八下·淮南期中）在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：

n23456

a4581012

b38152435

c510172637

请回答下列问题：

（1）当n＝7时，a＝，b＝，c＝；

（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝，b＝，c＝；

（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵b2-c2=a2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC为直角三角形，故A正确，不符合题意；

B、∵a：b：c=3：4：5，

∴可设a=3k，b=4k，c=5k，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC为直角三角形，故B正确，不符合题意；

∵∠A：∠B：∠C=9：12：15，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠C=×180°=75°，

∴△ABC不是直角三角形，故C错误，符合题意；

∵∠C=∠A-∠B，

∴∠B+∠C=∠A.

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=90°，

∴△ABC为直角三角形，故D正确，不符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理逆定理可判断A、B；估计内角和定理可判断C、D.

2．【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的性质

【解析】【解答】解：A、三角形三条边的比为，

设三角形三条边分别为、、，

，，

，

不是直角三角形，A符合题意；

B、，

，

是直角三角形，B不符合题意；

C、三角形三条边的比为，

设三角形三条边分别为、、，

，，

，

是直角三角形，C不符合题意；

D、，，

，

是直角三角形，D不符合题意，

故答案为：A.

【分析】如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

有一个角是直角的三角形是直角三角形.

3．【答案】D

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵a：b：c=1：2：3，

∴设a=x，b=2x，c=3x，

∵a2+b2=x2+4x2=5x2，c2=9x2，

∴a2+b2≠c2，

∴△ABC不是直角三角形，故A不符合题意；

B、∵∠A=∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

∴△ABC不是直角三角形，故B不符合题意；

C、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

∴3x+4x+5x=180°，

解之：x=15°，

∴∠C=5×15=75°＜90°，

∴△ABC不是直角三角形，故C不符合题意；

D、∵a2=b2-c2，

∴a2+c2=b2，

∴△ABC是直角三角形，故D符合题意；

故答案为：D

【分析】利用勾股定理的逆定理可对A，D作出判断；利用三角形的内角和为180°，可求出△ABC的每一个角的度数，利用有一个角是直角的三角形是直角三角形，可对B，C作出判断.

4．【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、12+22≠32，由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；

B、，由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；

C、22+32≠52，由勾股定理的逆定理可知这三条线段不能作为直角三角形的三边边长，故此选项不符合题意；

D、32+42=52，由股定理的逆定理可知这三条线段能作为直角三角形的三边边长，故此选项符合题意.

故答案为：D.

【分析】分别计算各选项中各数的平方，观察是否满足a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可知：若满足，则可构成直角三角形，反之，不能构成直角三角形，结合各选项即可判断求解.

5．【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：

A、，不可以构成直角三角形，A不符合题意；

B、，可以构成直角三角形，B符合题意；

C、，不可以构成直角三角形，C不符合题意；

D、，不可以构成直角三角形，D不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。

6．【答案】D

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∵b2=（a+c）（a-c）=a2-c2，

∴b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理得：∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合题意；

B、∵a：b：c=1：：2，

∴设a=x，b=x，c=2x，

a2+b2=x2+(x)2=4x2，c2=(2x)2=4x2，

∴a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理得：∠C=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合题意；

C、∵∠A+∠B+∠C=180°，且∠C=∠A-∠B，

∴∠A=90°，

∴△ABC是直角三角形；不符合题意；

D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，

∴设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，

则3x+4x+5x=180°，解得x=15°，

∠C=5×15°=75°，∠B=4×15°=60°，∠A=3×15°=45°，

∴△ABC不是直角三角形；符合题意.

故选：D.

【分析】A、用平方差公式将等式右边去括号，整理可得b2+c2=a2，由勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合题意；

B、由题意可设a=x，b=x，c=2x，分别计算a2+b2和c2的值，满足a2+b2=c2，由勾股定理的的逆定理可得△ABC是直角三角形；不符合题意；

C、由三角形内角和定理和已知条件可求得∠A=90°，由直角三角形的定义可得△ABC是直角三角形；不符合题意；

D、由题意可设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，解方程求得x的值，代入计算可得∠C、∠B、∠A的度数，根据三个内角的度数可判断△ABC不是直角三角形；符合题意.

7．【答案】C

【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：方案Ⅰ：根据作图可知，CE=40cm，DE=50cm，

∵CD=30cm，

∴302+402=502，

∴CD2+CE2=DE2，

∴△CDE为直角三角形，

∴∠DCE=90°，

∴EC⊥AB，

∴方案Ⅰ可行；

方案Ⅱ：根据作图可知，CQ=RQ=SQ，

∴∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，

∵∠CRQ+∠RCQ+∠CSQ+∠SCQ=180°，

∴∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，

∴∠RCS=90°，

∴SC⊥AB，

∴方案Ⅱ可行；

故答案为：C．

【分析】方案Ⅰ：连接DE，根据勾股定理逆定理证明△CDE为直角三角形，即可证明EC⊥AB；方案Ⅱ：根据CQ=RQ=SQ，得出∠CRQ=∠RCQ，∠CSQ=∠SCQ，求出∠RCQ+∠SCQ=×180°=90°，即∠RCS=90°，得出SC⊥AB.

8．【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由题意得这样做的依据是勾股定理的逆定理，

故答案为：B

【分析】根据勾股定理的逆定理结合题意即可求解。

9．【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理；线段的中点

【解析】【解答】解：由图根据勾股定理可得：，，，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

∵点D为的中点，

∴，

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理先求出，再求出△ABC是直角三角形，最后计算求解即可。

10．【答案】A

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AB2=12+32=10，AC2=12+32=10，BC2=22+42=20，

∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形；

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理求出三角形三边的平方，再由勾股定理的逆定理进行判断即可.

11．【答案】7200

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：连接BD，

在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，

在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，

而122+52＝132，

即BC2+BD2＝CD2，

∴∠DBC＝90°，

S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝，

＝＝36.

所以需费用36×200＝7200（元）.

故答案为7200.

【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.

12．【答案】②③

【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】①选项：根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项不符合题意；

②

即

,

．

故本选项符合题意;

③选项：

，

故本选项符合题意；

④选项：

本选项不符合题意；

故答案是：②③

【分析】已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形．

13．【答案】GH、CD、AB

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：由勾股定理得，，，，

∵

∴线段GH、CD、AB能构成直角三角形.

故答案为：GH、CD、AB

【分析】根据网格图的特征和勾股定理求出AB、DC、GH、DC的值，观察计算的各线段的值可得DC2+GH2=AB2，然后根据勾股定理的逆定理可判断线段GH、CD、AB能构成直角三角形.

14．【答案】

【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：，，

，

为直角三角形，，

设，

是等腰三角形，

，

，

解得，，

故答案为：.

【分析】由勾股定理逆定理知△BDC为直角三角形，且∠BDC=90°，设AD=x，由等腰三角形的性质可得AC=AB=3+x，然后在Rt△ACD中，根据勾股定理进行计算.

15．【答案】45°

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，如图，

根据网格线可知NB=1=MF，AN=3，AF=2，

由网格图可知∠CBE=∠FAM，∠ABD=∠NAB，

则∠ABD+∠CBE=∠MAB，

在Rt△ANB中，有，

同理可求得：，

∵，

∴△ABM是直角三角形，且AM=BM，

∴∠MAB=45°，

即：∠ABD+∠CBE=45°，

故答案为：45°．

【分析】取网格点M、N、F，连接AM、AN、BM、MF、BN，先证出∠ABD+∠CBE=∠MAB，再结合△ABM是直角三角形，且AM=BM，∠MAB=45°，即可得到∠ABD+∠CBE=45°。

16．【答案】（1）解：证明：是边上的中线，

，

在和中，

，

，

；

（