高三数学一轮复习单元过关卷11：空间向量与立体几何

高三一轮复习单元过关卷11空间向量与立体几何第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，，则等于()A.B.C.D.2.若为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是()A.B.C.D.3.直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()A.B.C.或D.与的位置关系不能判断4.已知平面的一个法向量，点在内，则到的距离()A.B.C.D.5.如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则等于()A. B.C. D.6.如图，已知棱长为的正方体，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为()A. B.C. D.7.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足.平面上的动点满足，则点的轨迹为()A.圆 B.椭圆C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分8.的取值范围为()A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.给出下列命题，其中为假命题的是()A.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则B.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为C.若两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则D.已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量，总存在实数使得10.下列说法中正确的是()A.是共线的充要条件B.若共线，则C.三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面D.若为空间四点，且有(不共线)，则是三点共线的充要条件11.已知正方体的棱长为，点分别是的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是()A.点到直线的距离是B.点到平面的距离为C.平面与平面间的距离为D.点到直线的距离为12.若长方体的底面是边长为的正方形，高为，是的中点，则（）A. B.平面平面C.三棱锥的体积为 D.三棱锥的外接球的表面积为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题13.已知点，，，，则在上的投影向量为________.14.已知向量，分别是直线的方向向量、平面的法向量，若，则与所成的角为________.15.在长方体中，，，点，分别是，的中点，则的面积为________.16.如图，在棱长为的正方体中，点是的中点，点在底面内(不包括边界)运动，若平面，则的长度的取值范围是____________.四、解答题17.如图，已知平面，，，，，，点和分别为和的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.18.在边长为的菱形中，，点是边的中点(如图)，将沿折起到的位置，连接，，得到四棱锥(如图).(1)证明：平面平面；(2)若，连接，求直线与平面所成角的正弦值.19.已知正方体，点为中点，直线交平面于点.(1)求证：点为的中点；(2)若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值.20.如图，在梯形中，，，，平面，且，点在上，且.(1)求点到平面的距离；(2)求到平面的距离.21.如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，，平面.(1)若点是的中点，求证：；(2)棱上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.22.如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，动点在线段（包含端点，）上，，分别为，的中点，.（1）若为的中点，求点到平面的距离；（2）设平面与平面所以的锐角为，求的最大值并求出此时点的位置.

答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】因为，所以.2.【答案】C【解析】∵与共面.∴A，B，D不正确.3.【答案】B【解析】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，显然它们共线，所以.4.【答案】D【解析】由条件可得到的距离为.5.【答案】A【解析】.6.【答案】A【解析】如图，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，所以，设异面直线与所成的角为，则.7.【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，则，，所以，即，所以点的轨迹是椭圆.8.【答案】B【解析】设正方体内切球的球心为，则，，∵为球的直径，∴，，∴，又在正方体表面上移动，∴当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，∴，即的取值范围为.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】A、D【解析】对于A，由题意可得或，故A错误；对于B，由图象可得，，则，所以，根据线面角的定义可得，与所成角为，故B正确；对于C，因为，所以，故，故C正确；对于D，当空间的三个向量不共面时，对于空间的任意一个向量，总存在实数使得，故D错误.10.【答案】C、D【解析】由，可得向量的方向相反，此时向量共线，反之，当向量同向时，不能得到，所以A不正确；若共线，则或四点共线，所以B不正确；由三点不共线，对空间任意一点，若，因为，可得四点共面，故C正确；若为空间四点，且有(不共线)，当时，即，可得，即，所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件，所以D正确.11.【答案】B、C【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，所以.设，则.故点到直线的距离，故A错误；易知，平面的一个法向量，则点到平面的距离，故B正确；.设平面的法向量为，则所以令，得，所以.所以点到平面的距离.因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，所以平面与平面间的距离为，故C正确；因为，所以，又，则，所以点到直线的距离，故D错误.12.【答案】C、D【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，因为，所以与不垂直，故A错误；，设平面的一个法向量为，则由，得，所以，不妨取，则，所以，同理可得设平面的一个法向量为，故不存在实数使得，故平面与平面不平行，故B错误；在长方体中，平面，故是三棱锥的高，所以，故C正确；三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故外接球的半径，所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确.故选：CD.三、填空题13.【答案】【解析】由已知得，，∴，又，∴在上的投影向量为.14.【答案】【解析】设直线与所成角为，，又∵，∴.15.【答案】【解析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴点到直线的距离.∴点到直线的距离为，又，∴.16.【答案】【解析】如图，取的中点，连接，，，过作于，连接，由正方体的性质知，，又，，∴平面平面，∴点在底面内的轨迹是线段(不含点和点).连接，，在中，，，∴，∵平面，，∴，则当与重合时，的长度取得最小值，∴的长度的最小值为，又，∴的长度的取值范围是.四、解答题17.【答案】见解析【解析】（1）证明:因为，为的中点，所以.因为平面，，所以以过作平行于的垂线为轴，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，，所以，所以，，，，.，则.(1)，，.设平面的一个法向量为，则所以取 所以.因为，所以.又平面，所以平面.(2)因为平面，所以为平面的一个法向量.又平面，所以为平面的一个法向量.因为，所以，故平面平面.18.【答案】见解析【解析】(1)证明：连接图中的，如图所示.因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形，所以，所以在图中有，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.(2)因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，所以，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令，则，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.19.【答案】见解析【解析】(1)证明：如图所示，取的中点，连接，，，由于为正方体，，为中点，故，从而，，，四点共面，平面即平面，据此可得，直线交平面于点，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合，即点为的中点.(2)以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为，设，则，，，，从而，，，设平面的法向量为，则令可得，设平面的法向量为，则令可得，从而，，，则.整理可得，故(舍去).所以.20.【答案】见解析【解析】(1)由题意知两两垂直，建立空间直角坐标系，如图，则，，，，.设，，则，.∵，∴，∴，∴，即.设平面的法向量为，则解得.取，得.设点到平面的距离为，由，得.(2)由于，.设平面的法向量为，由得.取，得.设点到平面的距离为，∵，平面，平面，∴平面，∴为到平面的距离，∴.21.【答案】见解析【解析】(1)证明：如图，取的中点，连接，，∵四边形为菱形，则，∵，∴为等边三角形，∵为的中点，则，∵，∴，由于平面，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，∴，∴.(2)如图，假设