2021南模自招试题答案

冲刺17年自主招生之

2016年南模自招数学试卷

一、填空题（每题5分）

1、已知9+丁2=25,x+y=7,则x—y=---------------

解析：（x+y）2=49nxy=12=（x-y）'=Inx-y=±l.

2、一堆水果因长期放置，含水量从97%下降至96%,那么这堆水果的总重量下降了

_________%.

解析：设总重量原有工，现有丁，则减少量为97%》一96%旷=》一丫=>3%=4），，所以下

降了”一）'=25%.

y

3+x<2x+a

{x-a<0C无解，则。的取值范围是

解析：不等式组解得3-a<x<a，由无解得3-a\anaW

2

4、化简:

解析：由题意得。<0，易有化简得1-

X2+x+l2x2+x+4

=3的解为:

5,方程:________+__r^_______

X2+3X2+x+l

f+x+lx24-x+l+x2+3f+x+lx2+3

解析：方程变换为:+=3=>+=2,设

x2+3x2+x+lJC2+3f+x+l

x2+x+l，2

—z-------=A,则nlA+_=2nA=1nf+x+l=x+3=>x=2.

x2+3A

6、如图已知等腰梯形A8CD中,AD//BC,AD-2,BC—8,E为AB中点，且

EDI.CD,则梯形的面积为

解析：辅助线如右图，易得CH=3,FH

由射影有DH-^CH+FH,

所以。”=历，面积为5互

7、当时，二次函数y=一〃一+1有最小值T，则实数m的值为

解析：分类讨论，①相<一1,ymin=/(-I)=-1=；

②—1W/«W2,>min=f(m)=tn—=>m=>J2；

33

③加>2,y="2)=—lnm(舍)。综上m=一_,r2.

min'5"

8、如图，已知在8c中，。是斜边AB的中点，AC=10,BC=5,将△AC。

沿直线8折叠，点A落在点E处,联结BE,那么线段8后的长度等于

B

、D

A

(第8题图)

E

解析：辅助线如右图，由翻折有

CD1AE=>£1ACF出AECF^ABAC

nEF=2忑nAE=4或

ED=DA=DB=NAEB=90°nBE函5.

二、解答题(每题10分)

9、如图，已知A8L8C于点B,。。_1.8。于点。，AC、BD交于点、F.

(1)当以AB为直径。。与以CO为直径。。2相切于点尸时，判断△ABC和△OBC之间

的关系，说明理由,

解析：辅助线如图，显然尸、。1、。2三点共线,

BGorc

尸6,3。于6,易有—=_0乃D

GCO2FO2C'

BG.BPAB

过户作PG_LBC于G,有

11GCPDCD

所以G与G共点，同理PG=bG,

BGc

所以P和口共点，所以△ABC'SAOBC,FP=0.

(2)若3C=AB+C。,以点P为圆心作。P,使0P与直线8C相切。判断。P与以BC为

直径的。0之间的位置关系，并说明理由。

解析：如图，AB^a,CD=h,BC=a+b,由三平行模型有

1_1」_nPH=ab

~PH~AB(Da+b

BHPHh—a

nBH=an=

'~BC~~CD2

由勾股定理+nPO=-----------

2(a+

a+baha2+b2

圆心距d-r--------------------=-------------=PO,

n2a+b2g+b)

C

所以两圆内切

10、如果一条直线能把一个四边形的面积分成两个相等的部分，那么我们把这条直线叫做这

个四边形的面积等分线。如图直角坐标平面内有点4（1，0）、点8（7,0）和点P（3,4）.

（1）若四边形ABC。为平行四边形，点。的坐标为（。，4）,点P在线段上，点。在

线段A8上，且直线尸。是四边形A8CO的面积等分线时，求出点。的坐标（用含。的代

数式表示），并写出a的取值范围。

解析：由题：PC+Q8=6n。-3+7-尤0=6=>XQ=。-2，

.•.Q（a-2,0）（3。W9）

（2）若点。的坐标为（1，向,点C在直线y=x—7上，点p在线段C。上，点Q在线段

AB上，且直线PQ是四边形ABCD的面积等分线时，求出点Q的坐标（用含k的代数式

表示），并写出々的取值范围。

解析：设C（a,a-7）,Q（b,0）,P到直线y=x-l的距离为

|3-4-7|=彳点=正（4-7）、4隹=4。—28,

2

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