2021届天津一中、益中学校高考数学联考试卷(5月份)附答案解析

2021届天津一中'益中学校高考数学联考试卷（5月份）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.己知集合4={x6N||x-1|W2},B=(x\x=n2,n&A],则4nB=()

A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1)

2.下列选项表述正确的是（）

A.空间任意三点确定一个平面

B.直线上的两点和直线外的一点可以确定一个平面

C.分别在三条不同的直线上的三点确定一个平面

D.不共线的四点确定一个平面

3.设奇函数/的定义域为[—5,5],且/（2）=0,若当xG[0,5]时,

/（x）的图象如图，则不等式f（x）<0的解是（）

A.（2,5]

B.（-2,0）

C.[-5,-2]U(2,5]

D.(-2,0)U(2,5]

4.某高校数学学院大学一年级有甲、乙两个班，人数分别是60人与50人.在一次英语等级考试中,

甲班的合格率为88%,乙班的合格率为99%,则该学院一年级英语成绩的总合格率是（）

A.94.5%B.94%C.93.5%D,93%

5.设磔：油：！，则艇头酒翻、瞅紫、峭悬的大小关系是（）

A.聊管«』磔翊y产B.看一«幽管<产

C.蝇::我«：<：a<聊赞D.豳紫<<艇队源

6.一个斜三棱柱的一个侧面的面积为S,另一条侧棱到这个侧面的距离为a,则这个三棱柱的体积

是（）

A.,SaB.[SaC.[SaD.[Sa

7.已知双曲线E:捻一，=l（a>0,6>0）,F为E的左焦点，点P为E上位于第一象限内的点，P关

于原点的对称点为Q,且|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,则E的离心率为（）

A.V2B.V3C.2D.V5

8.已知函数=、「，若存在唯一的整数x,使得止曰>0成立，则满足条件

，'（―3|X-+3,X>0x-a

的整数a的个数为（）

A.2B.3C.4D.无数

二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）

9.如图是函数/（%）=cos（ax+卬）的部分图象，则（）

A./（%）的最小正周期为7T

B.图象关于（一表0）对称

D.的图象向右平移菅个单位，可以得到、=cos2x的图象

三、单空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.若复数i•（2+加）是纯虚数，则实数6=.

11.0+》（2x—£）5的展开式中各项系数之和为2,则该展开式中/的系数为

12.已知a>0,b>0,a+b=1,七匕+幺二匕的最小值为____.

ab

13.已知函数/0）=。/+.2+6+£^在/?上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则盘的取值范

围是.

14.随机变量f〜8（3,》，则D（2a+1）的值为.

15.手表的表面在一平面上.整点1,2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为1的圆周上.从整

点i到整点i+1的向量记作而二，则稔・前+病・弓工+…+无可•也=.

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

16.在△力BC中，角4,B,C所对的边分别为a,b,c,a=（^cosC+cosB,sinA）,b=（cosC-

cosB,sinC-sinA）,且苍_L&

（I）求角8的值；

（口）若△ABC中，a+c=9,b=VH,求△4BC的面积.

17.如图，已知P41平面力BCD,四边形4BCD是矩形，PAAB=1,AD=百，点E,F分别是BC,

PB的中点.

(I)求三棱锥P-ADE的体积;

(D)求证：4F1平面P8C：

18.已知S”是数列｛%3的前n项和，%=2且4Sn=an-an+i，(neN*),数列｛bn｝中，瓦=且bn+i=

,(neN*).

(JI+D-3')

(1)求数列国工的通项公式；

a”

(2)设Cn=高+2,求｛%｝的前n项和〃；

23t)n3

(3)证明：对一切neN*,£匕菁京＜|.

19.

设防、乃分别是椭圆E：x?+g=1(04x1)的左、右焦点，过网的直线上与E相交于/、B两

点,且朋依四，|B甩成等差数列.

(1)一明;

(2)若直线/的斜率为1,求b的值.

20.(本小题满分13分)

已知魏鸵R,函数,萩:感=宙.

(1)求.腔域的单调区间；

(2)证明：当财三3时，舞轴口-啡相

参考答案及解析

1.答案：c

解析：解：•.•集合4={xGN\\x-1|<2}={X6/V|-1<X<3]={-1,0,1,2,31，

B={x\x=n2,ne4}={0,1,4,9},

••AB={0,1}.

故选：C.

先分别求出集合4和B,由此能求出AnB.

本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基

础题.

2.答案：B

解析：解：对于4,空间中不共线三点确定一个平面，故错；

对于B,直线上的两点和直线外的一点可以确定一个平面，正确；

对于C,分别在三条不同的直线上的三点可能共线，不能确定一个平面，故错；

对于D,不共线的四点可以确定多个个平面，故错

故选：B

A,空间中不共线三点确定一个平面；

B,直线上的两点和直线外的一点可以确定一个平面；

C,分别在三条不同的直线上的三点可能共线，不能确定一个平面：

D,不共线的四点可以确定多个个平面.

本题考查了空间确定平面的条件，熟记公理是关键，属于中档题.

故选：D.

根据奇函数的性质可知：图象关于原点对称，即可得答案.

本题是数形结合思想运用的典范，解题要特别注意图中的细节问题即零点问题

4.答案：D

解析：解：由已知该学院一年级英语成绩的总合格率是：空哈辛丝=93%,

60+50

故选：D.

求出甲，乙两班英语合格的人数，再与总人数相比即可.

本题考查合格率的概念，属于基础题.

5.答案：B

解析：试题分析：根据指数函数与对数函数的值域可知，魏*：!，则蜘俎阂y婕辘：1=颐、

卿曾■:鲫曾=豳、，叫声，=>那么根据实数大小的比较可知，WQ螂《：18.曾《产，故选艮

考点：对数函数与指数函数性质

点评：解决的关键是对于指数函数与对数函数性质的熟练运用，属于基础题。

6.答案：C

解析：解：将该斜三棱柱补成一个四棱柱，该四棱柱的底面积为S,高为a,故四棱柱的体积为Sa,

"V斜三棱柱~2Sa-

故选：C.

将该斜三棱柱补成一个四棱柱，将其放倒使侧面与它所对的棱的距离为d,成为四棱柱的高，然后求

体积.

本题考查棱柱的体积的计算方法，考查学生空间想象能力，是基础题.

7.答案：B

解析：

本题考查双曲线的离心率，属于中档题.

由题意可知：四边形PFQ&为平行四边，利用双曲线的定义及性质，求得40PF1=90°,在^QP&中，

利用勾股定理即可求得a和b的关系，根据双曲线的离心率公式即可求得离心率e.

解：由题意可知：双曲线的右焦点Fi，由P关于原点的对称点为Q,

则|OP|=|OQ|,

四边形PFQFi为平行四边形，

则|PF/=|尸Q|,\PF\=\QF1\，

由|PF|=3|FQ|,根据双曲线的定义|PF|—|PFJ2a,

•••\PFr\=a,又|OP|=b,|OF/=c,

NOP&=90°,

在AQPFi中，|PQ|=2b,|QF/=3a,|PF/=a,

二则(2b)2+a?=(3a)2,整理得：b2=2a2,

则双曲线的离心率e===6^=行

故选：B.

8.答案：C

解析：解：作出f。)的函数图象如图所示：

侬二＞0表示点0/(x))与点(a,1)所在直线的

X-CL

斜率，可得曲线上只有一个点(xj(x))(x为整数

)和点(见1)所在直线的斜率大于0,

而点(a,1)在到直线y=1上运动，

由/(0)=0,"1)=3,/(2)=0,

可得当一1SaS0时，只有点(1,3)满足与詈＞

0；

当1WaW2时，只有点(0,0)满足需1＞0.

综上可得a的范围是[-1,0]U[1,2].

故满足条件的整数a有：-1，0,1,2共四个.

故选：C.

作出/(%)的函数图象，由不等式表示的几何意义,结合图象可得所求范围.

本题考查了分段函数的图象和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力和推理能力，

属于难题.

9.答案:AC

解析：解：由图象可知，5==~

Z3oZ

所以/(%)的最小正周期为心

故选项A正确；

因为丁=—=7T,可得3=2,

U)

又G，。)为“五点法”中的第二个点，

O

则2x3+邛=T，解得尹=，，

OZO

所以/(x)=cos(2x+£),

因为/(一书=cos[2x(一•+勺*0,

55O

则(一拳0)不是〃久)的对称中心，

故选项B错误；

/(-^)=cos[2x(-^)+5=1,

故选项c正确；

/(%)=cos(2x+»的图象向右平移?个单位，

OO

可得函数y=cos[2(x-7)+7]=cos(2x-£),

oo0

故选项。错误.

故选：AC.

利用图象求出函数的最小正周期，即可判断选项A,由周期公式求出3,由特殊点求出w，即可得到

函数/(©的解析式，求解函数值即可判断选项2,C,利用图象变换求出变换后的解析式，即可判断

选项O.

本题考查了三角函数图象和性质的综合应用，主要考查了三角函数解析式的求解，周期公式的应用，

三角函数对称中心的理解与应用，三角函数的图象变换等，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，

属于中档题.

10.答案:o

解析：

先把向量之间进行乘法运算，把要求的复数变化为a+bi的形式,根据复数是纯虚数的条件知a=0,

b^O,得到题目要求的结果.

本题是一个考查复数概念的题目，在考查概念时，题目要先进行乘除运算，复数的加减乘除运算是

比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要我们一定要得分的题目.

解：•.”(2+儿)=-b+2i为纯虚数，

根据复数是纯虚数的条件

.•・b=0,200,

故答案为0.

11.答案：-48

解析：

由题意令x=1,则(1+1)x(2-a)5=2,解得a=1.再利用通项公式即可得出

本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，考查了推理能力与计算能力.

解：由题意令x=l,则(1+1)乂(2-(1)5=2,解得a=l.

・•.(x+i)(2x--即Q+1)(2%-i)5；

(2x—的通项公式为：4+1=cg(2x)5-r(—=

(_l)，25-rc鼻5-2r,

分别令5-2r=3,5-2r=5,解得r=1,0.

则展开式中小的系数是：(-1)1X24Cl+(-1)°25C^=-48.

故答案为：-48

12.答案:17

解析：解：a>0,b>0,a+b=l,

a2+4,匕2+4.,.4.41।/4।4、,.,..,n,4b4an,nl4^4a1n

・•・=a+o+-+-=l+(-4--)(a+D)=14-84--4t-y>9+2Jy•—=17,

当且仅当?=与且a+b=1即a=b=泄取等号，

三+四的最小值为17.

ab

故答案为：17.

由片+^=a+b+/+*=l+《+》(a+b),展开后结合基本不等式可求.

本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式应用条件的配凑.

13.答案：(-8,-U[0,+8)

解析：解：•.・函数/(%)=+CX+d在R上是增函数，

・•./'(X)=3ax2+2bx4-c>0恒成立，

，a>0且^=4b2-12ac<0,即炉<3ac,

・・・存在垂直于y轴的切线，

・•・f'(x)=3ax2+2bx+c=0有解,

・•・△=4b2-12ac>0,即力2>3QC,

2

Ab=3ac,且a>0,

C好42

・・.—=—'

a+ba+ba2+ab

当b=0时，此时三=0,

设；=t,

喔+廿t2+t=(t+1)2-^>一洱#o,

'•在

・6(-8,-4]U(0,+oo),

庐+b

即提€(_8，TU(0,+oo),

综上所述意G(-oo,-^]U[0,+00).

故答案为:(―8,—g]U[0,+8).

先求导，根据函数/(x)在R上是增函数且存在垂直于y轴的切线，可得炉=3ac,代入泉中，根据函

数的性质即可求出.

本题考查了导数和函数单调性，导数的几何意义，函数的值域，考查了运算求解能力，转化与化归

能力，属于中档题.

14.答案：3

解析：解：・随机变量f〜B(3，)，

.•.D(0=3xix(l-|)=|,

2

D(2f+1)=40(0=4x：=3.

故答案为：3.

利用二项分布的方差公式进行计算.

本题考查二项分布的方差公式的灵活运用，是基础题.

15.答案：12遮-18

解析：解：：•••整点把圆分成12份，

;每一份所对应的圆心角是30度，

连接相邻的两点组成等腰三角形底边平方为2-V3.每对向量的夹角为30。，

每对向量的数量积为(2-V3)COS30°=V3—|,故t],'12t3’+12t3,,13t4H-----1-t12ty-tE=

12(V3-|)=12V3-18,

故答案为12次一18.

把圆分成12份，每一份所对应的圆心角是30度，用余弦定理计算出每个向量的模的平方都是2-W，

而所求向量的夹角都是30度，求出其中一个数量积，乘以12个即得可到结果.

本题是向量数量积的运算，条件中没有直接给出两个向量的模和两向量的夹角，只是题目所要的向

量要应用圆的性质来运算，把向量的数量积同解析几何问题结合在一起，属于

中档题.

16.答案：解:(I)由方lb，-b=(cost+cosB)(^cosC-cosB)+sinA(sinC-sinA)=0>

化简得cos2c—cos2B+sinAsinC—sin2/l=0,

••­sin2B—sin2c=sin2/l—sinAsinC

由正弦定理，^b2—c2=a2—ac,

a2+c2-b21

・•・COSBn--------------=

2ac2

因为0cB<n,所以8=^兀.

(H)由⑴知B="由b=vn,

・•・b2=a24-c2—2accosB=a2+c2—ac=21,

由a+c=9,得(a+c)?=a2+c24-2ac=81,

①②得，ac=20,S=^acainB=5A/3

解析：(/)由已知结合向量数量积的性质及同角平方关系，正弦定理可得，a,b,c的关系，然后结

合余弦定理可求cosB,进而可求B；

(2)结合(1)的结论即已知可求ac,然后结合三角形的面积公式可求.

本题主要考查了向量数量积的坐标表示，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的综合应用,

属于中档试题.

17.答案：(I)解：因为PA,平面力BCD,

所以P4为三棱锥P-40E的高.

St.ADE=3*百*1=圣

所以k皿=[x枭1=,

(U)证明：因为241平面4BCD,

BCu平面4BCD,所以P4J.BC,

因为AB1BC,ABnPA=A,AB,PAu平面P4B,

所以BC_L平面PAB,

因为4Fu平面P4B,所以BC1AF.

因为P4=4B,点F是PB的中点，所以P8_L4F,

又因为BCCPB=B,BC、PBu平面PBC,

所以4尸1平面PBC；

(HI)证明：连结交4E于N,连结PM,FN.

因为四边形4BCD是矩形，所以AD〃BC,且AD=BC,

又M,E分别为4D,BC的中点，

所以四边形4MEB是平行四边形，

所以N为BM的中点，又因为尸是PB的中点，

所以PM//FN,

因为PMC平面AEF,NFu平面4EF,

所以PM〃平面4EF.

解析：本题考查三棱锥的体积的求法，考查线面垂直的证明，考查线面平行的证明，解题时要注意

空间思维能力的培养.

(I)由已知得P4为三棱锥P-4DE的高，由此能求出三棱锥P-4DE的体积.

(H)由已知得241BC,8C_L平面R4B,BCA.AF,由此能证明AF_L平面PBC.

(HI)连结BM交4E于N,连结PM,FN.由已知得四边形4MEB是平行四边形，由此能证明PM〃平面力EF.

18.答案：(1)解:由题可知,当n=l时。2=4...(1分)

当时，，

n224S"=an-(^+14Sn_!=an-an_r,

两式相减得斯

4=an(an+i-

乂■:片

un0,

册+i-册-1=4(2分)

数列｛a"的奇数项和偶数项分别构成以4为公差的等差数列…(3分)

当时，。丸—

n=2k—1,nGN*a2k--i=4k-2=2n；

当时，

n=2k,n6N*an=a2k=4/c=2n；

分)

an=2n(nGAT)...(5

⑵解—=4*N*),

1n+11

・••---=-------,

bn+inbnn

整理得：忌L一忌不…仁分)

如」

(n+1)+inbnn(n+l)

._1____________1______lx

(n-l)b_1^n-1n，'

nbnn

11_11、

-----------------------------------——z(------------------1,

(n-2)g-2、n-2n-ly

、

一1=n113n+l

匕—(1---)----=------

2b2i2,nbnn

•.・bn=*522),

当n=1时也适合％=^Y(neN*)...(8分)

n

错位相减得Tn=2-箸...(10分)

⑶证明：由⑴可知溪鼻=再<鬲/F=七一言…(12分)

vn3,2&-2_1.,11,11.11、

-3=1谈g=I+(Q_W+W_H+

=!+AWi<)(i4分)

解析：当九=时计算可知。时通过,即+］与两式相减整理

（1）12=4,n>24Sn=an4Sn_］=an・a71T

得斯+i-厮-1=4,进而计算可得结论；

（2）通过对垢+i=焉=56/7*）两边同时取倒数、变形可知=言一焉？/一

、'（n+l）—on（n+i）on+inonn（n+i）non

11z11、113n+l中

（…）*i而碓=一（工-0、…、五一元=一（1-2再=丁，素

加可知匕=*,进而利用错位相减法计算即得结论；

（3）通过（1）放缩、裂项可知溪鼻=符<（4屋蓝=）=土一六，进而并项相加即得结论.

本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题.

19.答案：解：（1）由椭圆定义知|力尸2|+|48|+旧户2|=4

4

又2|4B|=MF2I+IBF2I，得|力叫=5；

(2)/的方程式为y=x+c,其中c=J1-),

y=x+c

设4Qi，yi）,8（X2,丫2），则4B两点坐标满足方程组'0y2_

rV=1

化简得(1+b2)x2+2cx+1—2b2=0.

-2c1-2d

则々+电=币7'为々

1+甘

_4r

因为直线4B的斜率为1,所以,用=/2,2-再|,即］=J2卜2-引，

4(1一2户)4(1-262)助4

8（勺+工2）2-4再勺=

(1+到2-(l+/j=(1+可

…V2

解得5=~2

解析：本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用.

⑴由椭圆定义知尸再由依尸成等差数列,能够求出的值.

|42|+\AB\4-\BF2\=4,2|,|4B|,IBF2I|4B|

（2乂的方程式为y=x+c,其中c=Jl-9，设46,yi）,B（Xi，yJ,则4B两点坐标满足方程组

y=x+c

'2/_化简得（1+b2）X2+2CX+1-2b2=0.然后结合题设条件和根与系数的关系能够求

r+p-=1

出b的大小.

20.答案：（1）当谢三（©时，资电砥邑巅恒成立，此时负承越的单调区间为触到

（2）构造函数，利用放缩法的思想来求证不等式的成立。

解析：试题分析：解：（1）由题意得寅冬噬