辽宁省锦州市某校2022-2023学年高二下学期第二次阶段性考试数学试题（含答案解析）

2022~2023学年下学期第二次阶段性考试高二数学试题考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：选择性必修第二册第四章，选择性必修第三册．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.某物体的运动路程s（单位：）与时间t（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用瞬时速度的定义直接求解.【详解】该物体在时间段上的平均速度为，当无限趋近于0时，无限趋近于4，即该物体在时的瞬时速度为4m/s.故选：D2.在等差数列中，若，，则公差等于（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由等差数列的公差计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得.故选:C3.设某项试验的成功率是失败率的4倍，用随机变量描述一次试验的失败次数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合题意，利用两点分布的方差公式求解即可.【详解】由题知，服从两点分布，且，，所以．故选：C.4.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，由得函数增区间.【详解】由题意得，令，得，故函数的单调递增区间是.故选：A5.新型冠状病毒引起的肺炎疫情暴发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（Y）21736103142由表格可得Y关于x的非线性回归方程为，则此回归模型第5周的残差为（）A.0 B.2 C.3 D.―2【答案】D【解析】【分析】利用样本中心点求出，得到回归方程，可计算第5周的预测值和回归模型第5周的残差.【详解】因为，，所以，所以，取，得，所以第5周的预测值为144，则此回归方程第5周的残差为．故选：D6.现有红、黄、蓝、绿、紫五只杯子，将它们叠成一叠，则在黄色杯子和绿色杯子相邻的条件下，黄色杯子和红色杯子也相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的计算公式及排列组合中相邻问题捆绑法策略即可求解.【详解】解：记“黄色杯子和绿色杯子相邻”为事件A，“黄色杯子和红色杯子也相邻”为事件B，则黄色杯子和绿色杯子相邻，有种；黄色杯子和绿色杯子相邻，且黄色杯子和红色杯子也相邻，有种；所以，故选：C.7.已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入4个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则（）A.4043 B.4044 C.4045 D.4046【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质求出，再代入即可.【详解】设数列的公差为，由题意可知，，，，故，故，则．故选：C.8.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将式子变形为，构造函数,求导判断单调性，进而将问题转化成，分离参数，构造函数，利用导数求解最值即可.【详解】等价于.令函数，则，故是增函数.所以等价于，故，即.令函数，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，故实数的取值范围为.故答案为：【点睛】对于利用导数求解参数范围的问题的求解策略：1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3.根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用导数的几何意义即可.【详解】切线的斜率，设切点为，则，又，所以，所以，，当时，，故AD正确.故选：AD10.在正项等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据，的值，可以算出公比，从而得到，即可判断ABC；根据等比数列的求和公式即可判断D选项.【详解】设公比为，，，，A正确；所以，故B正确；则，故C错误；所以，故D正确.故选：ABD11.若函数的图象上不存在互相垂直的切线，则实数的值可以是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】将切线垂直，转化为斜率乘积为，然后利用导数的几何意义即可求出的范围.【详解】因为函数，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为函数的图象上，不存在互相垂直的切线，所以，即，解得.故选：AB12.如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根据题意，纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故可得，用累加法可求得通项公式，代入选项可判断AC选项，同理可求得，即可判断BD选项.【详解】根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，故，即，故，，，，…，，累加可得，所以，故A正确，C正确；又，故，即，又，，，…，，累加可得，故，故B，D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.A，B，C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了流感．假设这三个地区的人口比例为，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为______．【答案】0.054##【解析】【分析】根据全概率公式即可得到答案.【详解】由全概率公式得．故答案为：0.054.14.已知等比数列满足，则数列的通项公式可能是_________.（写出满足条件的一个通项公式即可）【答案】（答案不为一，满足首项为的等比数列即可）【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算可得，进而即可由等比数列的通项即可求解.【详解】由，得，所以，所以，取，则（写出一个首项为的等比数列即可）.故答案为：15.已知函数，若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据导数确定函数的单调性，即可得，解一元二次不等式即可.【详解】因为恒成立，所以函数在上单调递增，若，则，解得.故答案为：16.某人射击10次，每次中靶的概率均为且每次是否中靶相互独立，记10次射击中恰有3次中靶的概率为，则取最大值时，______.【答案】##0.3【解析】【分析】由题可得，后由导数相关知识可得答案.【详解】由题，则.由于，所以在区间上，，单调递增；在区间上，，单调递减，所以取最大值时，.故答案：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知的两个极值点分别为，2.（1）求a，b的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1），（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）由题意可知即可求解（2）求导判断单调性，求出极值和端点函数值即可比较得出结果.【小问1详解】由题意可得：，则，解得经检验，-1，2为函数的极值点，故，.【小问2详解】由（1）知，.令，解得，或；令，解得，则的递增区间为，，递减区间为，因为，所以在上单调递增，在上单调递减，则函数在区间上的最大值为，又因为，，即，则函数在区间上的最小值为，故函数在区间上的最大值为，最小值为.18.在①；②，，成等比数列；③.这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并进行解答.已知各项均为正数的等差数列的首项，__________.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，（2）【解析】【分析】（1）选①②利用等差数列的基本量求解即可；选③利用等差数列的通项公式和求和公式即可.（2）利用等差数列和等比数列的求和公式，分组求和即可.【小问1详解】设的公差为，∵，∴，解得，∴.选②因为成等比数列，所以，又，设的公差为，所以，解得或（舍），所以.选③设的公差为，∵，∴，即，∴，∴.【小问2详解】因为，数列是首项为3，公比为3的等比数列，数列是首项为3，公差为3的等差数列，所以.19.为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支持，现统计了25株抗倒伏玉米，20株易倒伏玉米的茎高情况，设茎高大于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米．完成以下问题．（1）完成以下的2×2列联表：茎高倒伏合计抗倒伏易倒伏矮茎16高茎25合计（2）根据（1）中的列联表，有99%的把握认为玉米倒伏与茎高有关吗？附：，其中．0.050.010.001k3.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析（2）有99%的把握认为玉米倒伏与茎高有关【解析】【分析】（1）利用题目条件和列联表中的已知数据，补全列联表；（2）计算，与临界值比较得到结论.【小问1详解】补全列联表如下所示：茎高倒伏合计抗倒伏易倒伏矮茎16420高茎91625合计252045【小问2详解】由题意可知．由于，所以有99%的把握认为玉米倒伏与茎高有关．20.已知数列中，，（）.（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，，试比较与的大小.【答案】（1）见解析；（2）当时，有，当时，有.【解析】【详解】试题分析：(1)由等差数列的定义即可证得数列是等差数列，进而取得求数列的通项公式是.(2)裂项求和，结合前n项和的特点可得当时，有，当时，有.试题解析：（1）解：∵，（），∴，即.∴是首项为，公差为的等差数列.从而.（2）∵，由（1）知.∴（）∴，而，∴当时，有；当时，有点睛：注意等差数列概念中的“从第2项起”与“同一个常数”的重要性.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．21.为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为2n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求随机变量X的分布列及数学期望；（2）若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率．【答案】（1）分布列见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）求出的可能值，及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）由（1）的信息，分类求出能领到纪念品的概率，再利用互斥事件的概率公式计算作答.【小问1详解】依题意，随机变量X可取的值为1，2，3，则，，，所以随机变量X的分布列为：X123P0.30.60.1数学期望．【小问2详解】由（1）知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1，记参与者第i轮的得分为，则其前n轮的累计得分为，若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则；若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“1+3”“3+1”的情形，则；若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“1+2+3”、“3+2+1”的情形，则；记“参与者能够领取纪念品”事件A，则．22.已知函数.（1）若，求函数的图象在点处的切线方程；（2）若存在整数使得恒成立，求整数的最大值.（参考数据：，，，，，）【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）求导得斜率，根据点斜式即可求解切线方程，（2）构造函数，利用导数求解单调性，结合零点存性定理即可求解.【小问1详解】时，，，所以，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即.【小问2详解】恒成立，即恒成立.令，则，令，则，令，则，所以函数在上递增，即函数在上递增，又，则当时，