（新教材）【人教A版】必修一3.2.2.2（数学）

第2课时函数奇偶性的应用

类型一利用奇偶性求函数的解析式【典例】已知f(x)是定义在R上的奇函数,x>0时,f(x)=x2-2x-3,求f(x)的解析式. 世纪金榜导学号【思维·引】利用奇偶性分别求出当x=0,x<0时的解析式.【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,若x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)2-2(-x)-3=x2+2x-3,又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-x2-2x+3,故f(x)=-x2-2x+3,所以函数f(x)=

【内化·悟】对于奇函数,怎样处理在x=0处的解析式?提示:考查在x=0处是否有意义,如果有,则f(0)=0.【类题·通】利用函数奇偶性求解析式的方法(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.(2)要利用已知区间的解析式进行代入.(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).【习练·破】

f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x(1+x3),则当x<0时,f(x)为 (

)A.x(1+x3)

B.-x(1-x3)C.x(1-x3)

D.-x(1+x3)【解析】选C.根据题意,x<0,则-x>0,则f(-x)=(-x)[1+(-x)3]=-x(1-x3),又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=x(1-x3).【加练·固】已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-x+1.(1)求f(0)的值.(2)求f(x)在R上的解析式.【解析】(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),令x=0得f(-0)=-f(0),即f(0)=0.(2)当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)2-(-x)+1=x2+x+1,又由函数f(x)为奇函数,则f(x)=-f(-x)=-x2-x-1,又由f(0)=0,则f(x)=

类型二奇偶性与单调性关系的应用角度1比较大小【典例】定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则 (

)世纪金榜导学号A.f(3)<f(-2)<f(1) B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)【思维·引】根据题意得出函数在[0,+∞)上的单调性,结合f(x)为偶函数分析f(3),f(-2)和f(1)的大小关系.【解析】选A.根据题意,函数f(x)为偶函数,则f(-2)=f(2),函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在[0,+∞)上是单调递减的,则f(3)<f(2)<f(1),又由f(-2)=f(2),则f(3)<f(-2)<f(1).【素养·探】在奇偶性与单调性关系的应用中,常用到核心素养中的逻辑推理,综合奇偶性、单调性转化比较.将本例的条件改为x1,x2∈(-∞,0),试比较f(3),f(-2),f(1)的大小.【解析】函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0)(x1≠x2),有<0,则函数f(x)在(-∞,0)上是单调递减的,因为函数f(x)是偶函数,所以f(x)在(0,+∞)上是单调递增的,则f(3)>f(2)>f(1),又由f(-2)=f(2),所以f(3)>f(-2)>f(1).角度2解不等式【典例】已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足条件f(2x+1)<f(5)的x的取值范围是 (

)A.(-3,2)

B.(-2,3)C.(-2,2)

D.[-3,2]【思维·引】利用奇偶性得出函数在R上的单调性,再确定2x+1的范围,从而求x的范围.【解析】选A.因为函数f(x)为偶函数且在区间[0,+∞)上单调递增,则在(-∞,0)上是单调递减的,f(2x+1)<f(5)⇒|2x+1|<5,即-5<2x+1<5,解得:-3<x<2,即x的取值范围为(-3,2).【类题·通】1.奇偶性与单调性的关系(1)奇函数在对称区间上的单调性相同.(2)偶函数在对称区间上的单调性相反.2.奇偶性与单调性的应用(1)奇函数在y轴两侧连续的区间上,由f(a),f(b)的关系,利用单调性可直接得到a,b的大小关系.(2)偶函数在y轴两侧连续的区间上,由f(a),f(b)的关系,应考虑|a|,|b|的关系.【习练·破】已知函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)是单调递减的,如果不等式f(1-m)<f(m)成立,则实数m的取值范围是 (

)A.

B.[1,2]

C.(-∞,0)

D.(-∞,1)【解析】选A.根据题意,函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)是单调递减的,则f(1-m)<f(m)⇔

解得-1≤m<,则m的取值范围为.【加练·固】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增.若实数a满足f(a)>f(),则a的取值范围是(

)

【解析】选C.因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0]上单调递增,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以由f(a)>f(-),得f(|a|)>f(),即|a|<,则-<a<,所以a的取值范围是(,).类型三奇偶性与单调性的综合应用【典例】已知奇函数f(x)=的定义域为R,f(1)=. 世纪金榜导学号(1)求实数a,b的值.(2)证明函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增.(3)已知0<t<1,求不等式f(t)+f(t-1)<0的解集.【思维·引】(1)利用奇函数的性质和f(1)求值.(2)利用单调性的定义证明.(3)利用奇偶性转化不等式,利用单调性解不等式.【解析】(1)根据题意,奇函数f(x)=的定义域为R,则有f(0)==0,则b=0,又由f(1)=,则有f(1)=,解得a=1,则a=1,b=0.(2)由(1)的结论,a=1,b=0,则f(x)=,设-1<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)

又由-1<x1<x2<1,则x1-x2<0,1-x1x2>0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),则函数f(x)在区间(-1,1)上单调递增.(3)0<t<1,则-1<t-1<0,f(t)+f(t-1)<0⇒f(t)<-f(t-1)=f(1-t),又由函数f(x)为奇函数且在区间(-1,1)上单调递增,则有t<1-t,解得t<,又由0<t<1,则t的取值范围为.【内化·悟】奇函数的性质在解不等式f(t)+f(t-1)<0中的作用是什么?提示:不等式变为f(t)<-f(t-1)后,利用-f(t-1)=f(1-t),才能使用单调性解不等式.【类题·通】奇偶性、单调性的综合应用利用奇偶性可以求值以及式子、性质的转化,利用单调性主要解决不等式的转化,在综合性题目中要熟悉奇偶性、单调性的应用技巧,熟练应用.【习练·破】已知函数f(x)的定义域为(-2,2),函数g(x)=f(x-1)+f(3-2x).(1)求函数g(x)的定义域.(2)若f(x)为奇函数,并且在定义域上是减函数,求不等式g(x)≤0的解集.【解析】(1)由题意可知所以解得<x<,故函数g(x)的定义域为.(2)由g(x)≤0,得f(x-1)+f(3-2x)≤0,所以f(x-1)≤-f(3-2x).因为f(x)为奇函数,所以f(x-1)≤f(2x-3).而f(x)在(-2,2)上是减函数,所以解得<x≤2.所以不等式g(x)≤0的解集为【加练·固】已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=1+.(1)求f(2)的值.(2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性.(3)求x>0时,f(x)的解析式.【解析】(1)根据题意,由函数f(x)为奇函数,当x<0时,f(x)=1+,则f(2)=-f(-2)=(2)根据题意,当x<0时,f(x)=1+,在(-∞,0)上任取x1,x2,且