离散傅立叶变换

离散傅立叶变换第1页，课件共66页，创作于2023年2月

第一节傅立叶变换的几种形式

一、引言二、傅立叶变换的几种形式第2页，课件共66页，创作于2023年2月一、引言傅立叶变换对于信号的分析处理发挥了重要作用，而随着计算机技术的迅速发展，由于计算机无法处理连续的周期的信号。因此我们需要的是一种在时域和频域都离散、非周期的一对傅立叶变换对，这就是离散傅立叶变换，简称（DFT）离散傅里叶变换（DFT），也是一种有限长序列的傅里叶变换。离散傅里叶变换在频率域也以序列表示，它不再是连续函数。离散傅里叶变换实际上相当于该信号的傅里叶变换的有限点离散采样。DFT解决了频域离散化的问题，在信号处理的理论上有重要意义。第3页，课件共66页，创作于2023年2月

二、傅立叶变换的形式

按照信号连续和周期性的不同，傅立叶变换一共可以分为4种：

1、周期信号的傅立叶级数（FS）

2、非周期信号的傅立叶变换（FT）

3、离散时间序列的傅立叶变换（DTFT）

4、离散傅立叶级数（DFS）

DFT可看作DFS时域、频域各取一个周期第4页，课件共66页，创作于2023年2月

频域时域连续、非周期离散、非周期连续、周期离散、非周期傅立叶变换的4种形式第5页，课件共66页，创作于2023年2月

频域时域离散、周期离散、周期（DFS）离散、非周期连续、周期（DTFT）傅立叶变换的4种形式（续表）第6页，课件共66页，创作于2023年2月通过对表分析可以发现：若时域连续，则频域具有非周期性，而若时域离散则频域具有周期性。

第7页，课件共66页，创作于2023年2月

第二节周期序列的离散傅立叶级数DFS及其基本性质

一、周期序列的离散傅立叶级数二、离散傅立叶级数的基本性质第8页，课件共66页，创作于2023年2月一、周期序列的离散傅立叶级数

若信号周期为T，在每个周期内以间隔对其采样，，得到离散周期序列：

其周期为N，将展成傅立叶级数为（4-2-1）第9页，课件共66页，创作于2023年2月其中则（4-2-2）左右同乘

并求和如下：

第10页，课件共66页，创作于2023年2月

考虑到

(4-2-3)

因此：

=

(4-2-4)

由于

即周期为N，所以

取整数。也是周期序列。

第11页，课件共66页，创作于2023年2月物理意义：因为为令代入（2-4）式可得:（4-2-5）其中

（为了表示方便，通常用符号来书写这个变换，称为旋转因子。）将（2-5）式左右同乘

第12页，课件共66页，创作于2023年2月并对k在一个周期中求和，同理可证

(4-2-6)在（2-5）和（2-6）中

和都是周期为N的周期序列，称为级数，

的离散傅里叶用DFS（DiscreteFourierSeries）表示。第13页，课件共66页，创作于2023年2月(4-2-8)（4-2-7）记作：第14页，课件共66页，创作于2023年2月二、离散傅立叶级数的基本性质1、线性关系如果周期为N的两个周期序列组合成

则的离散傅里叶级数的系数

(4-2-10)式中所有序列均为周期序列，周期同为N。(4-2-9)第15页，课件共66页，创作于2023年2月二、时域移位特性

如果的傅里叶系数为，则所对应的系数将为，此时设m<N(如m>N，可替换成以m′表示，m′=m（模N），它将小于N)。为了求证这个结果，我们设

则

(4-2-11)第16页，课件共66页，创作于2023年2月如果令n+m=n′，那么同时，对于 也可求得其(4-2-12)第17页，课件共66页，创作于2023年2月三、频域移位特性 的傅里叶系数为。证明：设则

(4-2-13)第18页，课件共66页，创作于2023年2月四、对称性傅里叶变换相仿，一个周期序列的傅里叶级数表示式同样具有某些对称性质。

而的傅里叶系数将为：

(4-2-14)(4-2-15)第19页，课件共66页，创作于2023年2月一、DFT的定义二、DFT和Z变换的关系第三节离散傅立叶变换（DFT）第20页，课件共66页，创作于2023年2月

一、DFT的定义

DFS在时域和频域都离散，但都具有周期性，和都是无限长。而计算机无法处理连续的周期的信号，取的一个周期，

(4-3-1)第21页，课件共66页，创作于2023年2月则定义的N点离散傅立叶变换DFT为

(4-3-2)的离散傅立叶逆变换IDFT为(4-3-3)其中，称为DFT变换区间长度，大于或等于的序列长度。

第22页，课件共66页，创作于2023年2月

和长度都为N，具有唯一的映射对应关系。若N小于的序列长度，则会出现时域混叠现象，不能正确反映信号的频谱。DFT实际上来自于DFS，相当于在时域和频域各取一个周期，对其作周期延拓，即可得到和。第23页，课件共66页，创作于2023年2月例题例4.3.1

求

的10点DFT。解：N=10，则第24页，课件共66页，创作于2023年2月二、DFT和Z变换的关系长度为N的有限长序列，其Z变换和DFT变换分别为

令，可得：

(4-3-5)(4-3-4)(4-3-6)第25页，课件共66页，创作于2023年2月式4-3-6说明，的N点DFT是其Z变换在单位圆上的N点等间隔采样，而连续谱经N点等间隔采样后即为离散谱。第26页，课件共66页，创作于2023年2月一、线性关系二、序列的循环位移三、循环卷积定理四、共轭对称性五、帕斯瓦尔（Parseval）定理第四节离散傅立叶变换的性质第27页，课件共66页，创作于2023年2月一、线性关系若序列长度为N1，长度为N2，取则

式(4-4-1)第28页，课件共66页，创作于2023年2月二、序列的循环位移

先将序列以N为周期进行周期性延拓，得到，一般将周期序列中从n=0到n=N-1的第一个周期称为的主值区间，而主值区间上的序列称为主值序列。对进行移位，得到，取的主值序列则得到有限长序列的循环移位序列。第29页，课件共66页，创作于2023年2月即：如图4-1所示，移位后，移出主值区的序列值，又将从另一端进入，故称循环移位。第30页，课件共66页，创作于2023年2月图4-1序列的循环位移第31页，课件共66页，创作于2023年2月循环移位后的DFT为：

(4-4-2)证明：第32页，课件共66页，创作于2023年2月由于

所以以Ｎ为周期，改变求和区间，得：

第33页，课件共66页，创作于2023年2月同理，若

则

(4-4-3)

第34页，课件共66页，创作于2023年2月三、循环卷积定理

若序列长度为N1，长度为N2，取，其N点DFT分别为和，若有则与的循环卷积为

式(4-4-4)式(4-4-5)第35页，课件共66页，创作于2023年2月证明:对（4-4-3）式左右两边进行DFT，得令第36页，课件共66页，创作于2023年2月点循环卷积通常还表示成下列形式：(4-4-6)第37页，课件共66页，创作于2023年2月循环卷积显然与一般的线性卷积不同。线性卷积可以理解为将一个序列先作翻转及线性位移，并与另一个序列相乘，然后再将乘积求和;所得的新序列的长度为2N-1。而循环卷积的序列长度应为N。循环卷积过程如图4-2所示第38页，课件共66页，创作于2023年2月图4-2循环卷积过程示意图

第39页，课件共66页，创作于2023年2月利用时域和频域的对偶关系，可以得出：若则：

(4-4-7)即

(4-4-8)

对于序列的循环卷积，除了用图4.4.2所示的图解法外，还可以用表格法求解。第40页，课件共66页，创作于2023年2月例4.4.1设两序列分别为

求它们的４点循环卷积。

解：循环卷积，用表格法计算，如表所示。第41页，课件共66页，创作于2023年2月表格法求循环卷积

第42页，课件共66页，创作于2023年2月四、共轭对称性

任意一个信号可以表示成它的奇对称部分和偶对称部分之和，那里的对称是关于坐标原点或者纵坐标的对称性。DFT也有类似的对称性，且其区间长度为Ｎ，所以这里的对称是指主值区间范围内的对称，即关于N/2点的对称性。用和分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则有：第43页，课件共66页，创作于2023年2月

(4-4-9)

(4-4-10)

任意有限长序列都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即：

(4-4-11)

第44页，课件共66页，创作于2023年2月将(4-4-11)式中换成N-n，并取复共轭，可得式(4-4-12)结合(4-4-11)和(4-4-12)，有(4-4-13)第45页，课件共66页，创作于2023年2月(4-4-14)同理，频域序列也可以分解成共轭对称分量和共轭反对称分量之和：(4-4-17)(4-4-16)(4-4-15)第46页，课件共66页，创作于2023年2月易证明DFT共轭对称性如下：(4-4-18)其中实部和虚部为和，实部和虚部为和，即

(4-4-19)第47页，课件共66页，创作于2023年2月五、帕斯瓦尔（Parseval）定理

帕斯瓦尔（Parseval）定理：证明：

证毕。第48页，课件共66页，创作于2023年2月第五节频域抽样理论在时域中，对于连续信号抽样时，若保证抽样频率，即可由抽样信号无失真恢复原始信号。同样的在频域中，若对序列进行频域离散采样，则可推导出相应的频域抽样理论，从而能够从频域采样恢复出原序列。(4-5-1)

(4-5-2)

第49页，课件共66页，创作于2023年2月结论：在单位圆上的点等间隔采样得到的的IDFT，是原序列以N为周期的周期延拓序列的主值区间。频域采样定理：若序列长度为M，只有当频域采样点数时，才有：

第50页，课件共66页，创作于2023年2月即可由频域采样恢复原序列，否则会产生时域混叠现象。若为长为M的序列在频域的N点等间隔采样,，则其Z变换为第51页，课件共66页，创作于2023年2月根据上式，可以推导出表示的内插公式和内插函数：第52页，课件共66页，创作于2023年2月由于其中为内插函数。第53页，课件共66页，创作于2023年2月第六节DFT的应用一、用DFT计算线性卷积二、用DFT对信号进行谱分析第54页，课件共66页，创作于2023年2月一、用DFT计算线性卷积计算线性卷积的框图如图4-3所示图4-3用DFT计算线性卷积第55页，课件共66页，创作于2023年2月当两个序列相差较大时，即时，取，利用DFT计算线性卷积时，由于短序列需要补很多零点，而长序列必须全部输入后才能快速计算。因此存储容量要求大，运算时间和时延也较长，同时某些信号序列长度不定或接近无限长，这给实时处理带来很大困难。为解决这一问题，我们可以将长序列分成较小的段，分段卷积后再首尾相加，即可得到完整输出。第56页，课件共66页，创作于2023年2月二、用DFT对信号进行谱分析

引入DFT的目的就是使能够借助于计算机分析连续时间信号的频谱，而DFT的快速算法FFT使得DFT的这种分析方法具有实用价值和重要性。下面介绍用DFT进行谱分析（计算信号的傅立叶变换）的基本原理和方法。一、DFT进行连续非信号的谱分析

1．DFT进行连续非周期信号的谱分析

(4-6-1)第57页，课件共66页，创作于2023年2月

(4-6-2)

(4-6-1)和(4-6-2)式说明，连续非周期信号可以通过对其进行采样，进行DFT后再乘以T近似得到。同理,IDFT计算一个非周期信号的傅里叶反变换,则需再乘以。由于用到了抽样与截断的方法，用DFT对连续信号进行谱分析必然是近似分析。第58页，课件共66页，创作于2023年2月2．DFT进行连续周期信号的谱分析式(4-6-4)

其中式(4-6-3)

第59页，课件共66页，创作于2023年2月

根据(4-6-3)和(4-6-4)，则对于连续周期信号有：式(4-6-5)

式(4-6-6)

二、DFT进行序列的谱分析三、DFT进行谱分析的误差问题

1．混叠现象2．栅栏效应3．截断效应第60页，课件共66页，创作于2023年2月第七节离散傅立叶变换的Matlab仿真

Matlab中相关离散傅立叶变换函数如下：1．fft(X):返回向量X的离散傅立叶变换；设X的长度为N，若N为2的幂次，则为以2为基数的快速傅立叶变换，否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。2．fft(X，N):计算N点的离散傅立叶变换。限定向量的长度为N，若X的长度小于N，不足部分补零，若大于N，则删去超出N的元素。3．fft（X,[],dim)或fft（X,N,dim),这是对于矩阵而言的函数调用格式，第61页，课件共66页，创作于2023年2月