2021年广东省梅州市高考数学质检试卷（二模）（解析版）

2021年广东省梅州市高考数学质检试卷（二模）

一、单项选择题（每小题5分，共40分.）

1.复数z满足（z-3）（2-i）=5为虚数单位），则z的共轮复数^为（）

A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i

2.设A,8是非空集合，则"ACB=A”是“AUB”的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充分必要条件

D.既非充分条件也非必要条件

3.设P是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP,则（）

A.PA+PB=oB,PC+PB=OC.PC+PA=OD-PC+PA+PB=0

22

4.Fi,B是双曲线C：%三=1（«>0,Z?>0）的左，点P（2,3）在C上

则双曲线C的离心率为（）

A.2B.C.D.

5.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100

年.至新石器中晚期，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多.现一仿古

玉琮呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，孔径5.9a”，外径19.65？（）

（单位：CT/P）

A.3300B.3700C.3900D.4500

7.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已

知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）,过点8作A8的垂线，并用圆规在垂线上

截取BC=*,连接AC；（2）以C为圆心，交AC于点。；（3）以A为圆心，交AB

于点E.则点E即为线段AB的黄金分割点.若在线段AB上随机取一点F,则使得BE

WAFWAE的概率约为（）

（参考数据：代-2.236）

A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618

8.设孙X2,X3均为正数，且2X[+log2X]=0,l+2x2log2X2=0,1-2x3log2%3=0,则()

A.X\<X2<X3B.X3<X2<X\C.X3<X\<X2D,X2<X]<%3

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.若工>上>0,下列不等式中正确的是()

ab

A.a2(1+&)<ab(1+a)B.a3+b3>2ab2

C.Vb-Va<Vb-aD.Iogfl+23>log/m3

10.函数/(x)=sin2x-J"§cos2x+1()

、兀

A.f(x)+f(---x)=2

兀

B./(jr--%)的图象关于x=-7+对称

0J.乙

RTT

C.若0V»Vx2V不了，则/(xi)V/(X2)

KTT

D.存在X],X2rX3E[—~,-T-],使得/(X1)+f(X2)(K3)

o4

11.如图，在正方体ABC£>-4BCOi中，A4i=3,点M,N分别在棱A3和仍|上运动（不

含顶点），若"MLMM下列命题正确的是（）

A.MNIAiM

B.MN_L平面OiMC

C.线段BN长度的最大值为日

4

D.三棱锥Ci-A1AM体积不变

12.曲线C：（必+y2）3=16/产为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种

曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，将所有原来需要穿越相交道路的转

向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路（）

A.曲线C只有两条对称轴

B.曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过2

D.曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.二项式（N+3）6展开式中含炉项的系数为.

x

14.为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了《进一步加强中小学课外阅读指导

的实施方案》，有序组织学生开展课外阅读活动.某校语文老师在班里开展了一次诗词

默写比赛，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗

词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生

中获得“诗词能手”称号的人数为

912568

800124578

702233345569

602244457789

56689

SSS

15.已知数列｛及｝的前〃项和为S”且满足a“+S0=l,则一^-4--+•••+—=.

ala2a8

16.已知尸为抛物线y2=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，示•瓦(其

中点。为坐标原点)，则AAB尸面积的最小值是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a+%=2eosB.

(1)求角C；

(2)若CO是角C的平分线，AD=2明,DB=Jj

18.已知等差数列｛a,,｝的公差为d>1,前"项和为S”满足$3=9,a\,az,“5成等比数列.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)若a=2"一1,判断小与仇(nGN*)的大小,并说明理由.

19.2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供

给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时

供应，支援世界各国抗击肺炎疫情.我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投

入呼吸机生产单位：百台，i=l,2,9),数据作了初步处理，得到如图所示的

散点图.

yZt99

£仔£tiZi

i=li=i

2.731952851095

注：图中日期代码1〜9分别对应9月1日〜9月9日;

_151

表中z,=eyyZ=K£Z"

yi=l

(1)从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的日生产量都不高于300台的条件下,

求2个样本点都高于200台的概率；

(2)由散点图分析，样本点都集中在曲线(bt+a)的附近(4+a),并估计该公司

从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台.

n

£(NW)(v「v)

参考公式：回归直线方程是V=BU+a，B=出七-----------------=

f(Hi-T)2

i=l

n____

£ivi-nv

吟―a=76兀

£口i-nW

i=l

参考数据:41484

4

3

7

20.如图，在四棱锥B-4COE中，平面ABC,平面ACDE,在直角梯形ACDE中，AE//

CD,AE=1,\C=CD=1

(1)求证：EPL平面BCQ；

(2)设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EA8所成的锐二面角的余弦值为叵,

5

求MP的长.

D

21.已知函数/(x)=2alnx+~^2(aeR).

x

(1)当”=1时，求证：函数/(x)没有零点；

(2)若存在两个不相等正实数XI、及，满足/(制)=/(及)，且X|X2=1,求实数〃的

取值范围.

22_

22.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：%+J=l(a>!?>0),直线x+)升2&-1=0

a?b2

与以椭圆C的右焦点为圆心

(I)求椭圆C的方程；

(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线

MN距离的取值范围.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共4()分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

I.复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共枕复数^为()

A.2+iB.2-zC.5+iD.5-i

解：,:(z-3)(2-f)=5,

5

'.z-3=---=2+z

5~i

.*.z=5+z,

z=8-i.

故选：D.

2.设4,8是非空集合，则"ACB=A”是“AUB”的()

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充分必要条件

D.既非充分条件也非必要条件

解：若4UB成立，由韦恩图得到ACB=A一定成立，

所以AUB是An8=A的充要条件,

故选：C.

3.设尸是△ABC所在平面内的一点，BC+BA=2BP,则（）

….，-—―♦...—•

A.PA+PB=0B.pc+PB=0C.pc+PA=0D.PC+PA+PB=0

解：如图所示，

以BA,BC为邻边作平行四边形8AMe由+前=而，

VBC+BA=2BP>

•*.BM=2BP,可得点P是对角线的交点.

♦-*~~*T

••PA+PC=8.

故选：C.

4.R,&是双曲线C：3T三=1（a>0,b>0）的左，点尸（2,3）在C上iB-LBP,

b2

则双曲线C的离心率为（）

A.2B.弧C.V2D.-j-

32

解：B、22是双曲线C：（a>0,右焦点，

a2b8

点P在双曲线C上，F2F2IF2P,

,849_

所以，—=3^~—2*=3,可得。=1«，。=2，

aab

所以e=—=2.

a

故选：A.

5.玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100

年.至新石器中晚期，尤以良渚文化的玉璨最发达，出土与传世的数量很多.现一仿古

玉琮呈扁矮的方柱体，内圆外方，上下端为圆面的射，孔径5.9的，外径19.6的（）

（单位：cm3）

A.3300B.3700C.3900D.4500

解：由题意，该仿古玉琮的体积为底面边长为19.6c〃z,高为9.6。%的圆柱的体积.

则V=19.6X19.6X8.8-nX2X4.8^3497CWJ3.

'2'

结合该仿古玉琮外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹玉琮王的体积约为

3300c/.

故选：A.

6.函数/(x)=(1-—^7)cosx的图象大致形状是()

l+ex

X-X.H,X

e+1e+14A+e

则/(X)是奇函数，图象关于原点对称，B,

JT

当0<x<5时，f(x)>7,

故选：D.

7.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已

知线段的黄金分割点，具体方法如下：(1),过点8作A8的垂线，并用圆规在垂线上

截取BC=^,连接AC；(2)以C为圆心，交AC于点£>；(3)以A为圆心，交AB

于点£则点E即为线段A3的黄金分割点.若在线段A8上随机取一点F,则使得8E

WAFWAE的概率约为()

(参考数据：代比2.236)

A.0.236B.0.382C.0.472D.0.618

解：由勾股定理可得：

由图可知：BC=CD=\,

A£>=AE=M-1g1.236,

则：8.764WAFW1.236,

由几何概型中的线段型，可得：

使得BEWAFWAE的概率约为上坦口31=0.236,

2

故选：A.

8.设汨，X2,X3均为正数，月.2Xi+log2Xl=0,1+2勺108加2=0，1-2xjog2%3=0,则()

A.X\<X2<X3B.X3<X2<X1C.X3<X|<X2D.X2<X\<X3

XX

解：Vxi>0,/.61>12X1=-24<-

v51

♦；X2>2,/.0,2>32%2=-v6(-8,.\X26(—,1),

2224

v2

、

X3>8>/<023>72%3=2v26(8,•'•X36(1,2),

/.Xl<X2<X7.

故选：A.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9.若2>上>0,下列不等式中正确的是()

ab

A.a2(1+b)<ab(1+a)B.a3+/?3>2ab2

C-Vb-Va<Vb-aD.loga+23>log/,+i3

解：由OVaVb,

ab

对于A,辟(4+b)-ah(1+〃)=aQa-b)<0,故〃,(1+。)<ah(l+〃)成立；

对于8,当a=2,a3+/?3=4+27=35,2<7/?2=3X2X9=36,故仍不成立；

对于C,Vb-Va>0,Vb-a，(F-2-Wb-a)，=24(Va-Vb)<。，故F

一遍<\Zb-a；

对于D,当。=8,10ga+23=R)gH33,故10g«+28>10g/,+]3不成立.

故选：AC.

10.函数/(x)=sin2x-5/§COS2X+1()

JT

A.f(x)+f(---x)=2

TT

B.的图象关于》=-*■对称jr

oJ.4

C.若0<XlVX2〈个，，则f(即)<f(X2)

jrjr

D.存在X],X2，X3G[--,—],使得/(乃)4/(X2)<f(X3)

o/

jr

解：二•函数f(x)=sin2x-J^cos3x+l=2sin(5x----,

3

兀

对于A：由于f(x)=2sin(2x----)+1,

3

j।11j।

所以/(x)+f(----x)=2sin(2x----------2x)+7=2；

543

JTTTTTJT

对于8：由于，(一丁-x)=2sin(—,^x=--x)=7为最大值；

ooo

对于C:若0<XI<X8<,则--^-3-与~<2^8-故/(x)单调递增2)<

U123332

f(X2),故C正确；

7冗

对于。：设Xi=XQ=JTk，得到F5)t/(X8)=4,当Xq鼻-时，f(X3)=3,故。

1J2J12

错误；

故选：ABC.

11.如图，在正方体43CQ-48GOi中，A4i=3,点M,N分别在棱AB和B以上运动(不

含顶点)，若下列命题正确的是()

A.MNVAxM

B.MN_L平面。iMC

C.线段BN长度的最大值为g

4

D.三棱锥Ci-AQiM体积不变

解：对于A,,.•4。」平面48（7£）,：.A5D\VMN,又D8MnA|Di=D7,

MNJL平面AIOIM,：.MNLA2M,所以A正确；

对于8,VMZVIAiM,；.MN不与48垂直，不与6C垂直，，MN_L平面OiMC

不成立，所以8错误；

对于C,YMALLAiM,/./XA3AM^/XMBN,：.AiA-BN=AM>MB^5=-1,

；.BN4*

对于D,显然M到平面AC6A的距离为3,•；VC4-A]D[M=VM-A4C[D]=

wS3=,

fAA1C8D1'f所以。正确•

故选：ACO.

12.曲线C：（r+y2）3=16小），2为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种

曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，将所有原来需要穿越相交道路的转

向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路（）

A.曲线C只有两条对称轴

B.曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2

D.曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2

解：由图知曲线C有4条对称轴，故选项A错误；

第一象限内经过的整数点为（1，7）,2）,1）,

所以曲线C在第一象限内不经过整数点，结合对称性可知曲线C只经过（5,故选项B

错误；

2,6

由r+yeiry,（x>0,得Xy^2L__2_

2.2\7

所以（x2+y7）3=i6x2y5q16（xjy）=4（/+/2,故选项c正确;

7,2

矩形面积5=乂丫《乂；y<3，；•所围成矩形面积的最大值为2.

故选：CD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.二项式(/+3)6展开式中含。项的系数为540.

X

76-rrrl2-3r

解：展开式的通项公式为Tr+.=C«(x)(-)=C^-3x.

r十］ox。

令12-5r=3,解得r=3,

则展开式中含V项的系数为53=20X27=540,

故答案为：540.

14.为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了《进一步加强中小学课外阅读指导

的实施方案》，有序组织学生开展课外阅读活动.某校语文老师在班里开展了一次诗词

默写比赛，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到''诗

词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生

中获得“诗词能手”称号的人数为6人.

912568

800124578

702233345569

602234457789

56689

解：40名学生得分在低于85分且不低于70分的学生有16人，可或“诗词能手”称号;

按分层抽样抽选15名学生，抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为15x4^--

故答案为：6人.

sss

15.已知数列｛斯｝的前〃项和为S”且满足斯+S“=1,则一U3…+」■=502.

ala2a8

解：由。〃+S〃=1,可得〃=1时，。8+51=2。7=1,

解得〃1=日，

心2时,an-6+Sn-1=1,又a〃+Sn=7,

两式相减可得Cln-an-|+SH-Sn\=2,

即为斯=-4,

数列｛为｝是首项和公比均为•的等比数列，

则为=（4）"，5„=i-（4）”，

22

Sn

-=2"-4,

an

则SjS%...+包+…+26）,2（5-^28）.8=49,10=502.

ala2a32-2

故答案为：502.

16.已知F为抛物线y2=x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，丞.诬（其

中点O为坐标原点）,则△ABF面积的最小值是.

-4一

解：由题意，设直线A8的方程为：x=ty+m\,yi）,B（迎，”），

x=ty+m

直线A3与x轴的坐标为M（加，0）i7,

,y=x

可得了2-。-机=0,），8・”=一机，x\X4=y]2*y41=（）”於）2,0Ap0B~2,

/.X6X2+yiy8—2,即m2-tn-2=0,；./n=2或-4,

VA,8在工轴的两侧ij2=-m<5,即777=2,

设A在x轴的上方，则yi>3,

丁产（[,5）-^-X（5—）lX6-y2|,"+'5=]'》・然=-2,

.,.S=y当f=0时上普.

故答案为：口丐.

4

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.Z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2a+b=2ccosB.

(1)求角C；

(2)若CO是角C的平分线，AQ=2有，DB=@

223

解：(1)由余弦定理知，cos3=a+c-b,

2ac

*.*2a+b=6ccosBf

222

：.2a+b=2c^^+c'b\即a2+b2-d=-ab,

7ac

2,,23_讣n

由余弦定理知，cosC=a+b-c=；处2,

2ab2ab2

'/CG(0,TT),

•一2兀

3

(2)由角分线定理知，客=2,

BCBDV7

设BC=xr则AC=3xf

在△ABC中，由余弦定理知-2AC-BC-cosZACB,

，(3^)2=4f+/_2・4X・X・(--),

解得尤=7,

.•・Q=BC=3,b=AC=6,

.•.cosB=22X8+6_273

2c2X877一_~

2XyX3X^^,

在△BCD中，由余弦定理知^BD^BC2-28Z>8C・cos8=4+9

:.CD=2.

18.已知等差数列｛所｝的公差为d>l,前〃项和为S”满足$3=9,0,g,%成等比数列.

(1)求数列仅“｝的通项公式；

(2)若—,判断斯与仇(〃6N*)的大小,并说明理由.

3a[+5d=9

解：(1)由题意，，7，解得“1=1,d=7・

(a1+d)=a।(a]+5d)

.'.a„=1+2(H-2)=2n-1；

(2)当〃=4时，a\=b\=2,

当1V〃W3时,an>b,„

当”25时，令/(x)=21-(7x-1),x24,

则/(x)=2v'1/n2-2,当x24时.3历5-2>0,

:J(x)在［5,+8)上单调递增，

.•.x24时，/(x)可(4)=1>7厂—(2x-3)>0,

.♦."24时，bn>an.

综上，当时，斯》儿，当〃》4时，a,,<bn.

19.2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供

给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时

供应，支援世界各国抗击肺炎疫情.我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投

入呼吸机生产单位：百台，1=1,2,9),数据作了初步处理，得到如图所示的

散点图.

yzt99

£好£3

i=li=i

2.731952851095

注：图中日期代码1〜9分别对应9月1日〜9月9日;

_13

表中z,=ey「Z=K£z,:

yi=l

(1)从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的日生产量都不高于300台的条件下,

求2个样本点都高于200台的概率；

(2)由散点图分析，样本点都集中在曲线(bf+a)的附近(初+“)，并估计该公司

从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台.

n

£(以「艮)(v「v)

参考公式：回归直线方程是U=RU+；,R=也--------------------=

pQ.pn

£(匕-口)2

i=l

n___

£M-v2-nP-v

i=l*—

7，a=vp4

£匕24

i=l

解：（1）9个样本点中日生产量都不高于300台的有5个，

高于200台且不高于300台的有6个，

设事件4所取2个点的日生产量都不高于300台，

事件以所取2个点的日生产量高于200台，

事件A8：所取3个点的日生产量高于200台且不高于300台,

则尸（4）=谭=*，P（A8）1

W，

18C9

_P(AB)_518_7

：.P(B|A)-------------------------------八y------------------

P(A)655

_9

yt=5,£记

(2)(初+〃),*.z=e=bt+at

i=6

9____

£tz~9t,z

“i=2i1095-9X8X19

.=_______±_______—-----------------4

，b24

,9_9285-9X5

£t-3-tJ

i=2i

...=g2=19-4X6=-1,

ab

.\y=ln(4r-8).

令/〃(4-1)>3,解得■〜:48.4+1,

53

・•・[237.35,

所以估计该公司从生产之日起，需要38天呼吸机日生产量可超过500台.

20.如图，在四棱锥B-ACOE中，平面A8C，平面ACDE,在直角梯形ACDE中，AE//

CD,AE=l,AC=C£＞=2

(1)求证：EP_L平面8C£＞；

(2)设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为号■,

5

求MP的长.

【解答】(1)证明：如图，作PQ/70c交BC于点Q,

'：BP=PD,：.PQ^—,

2

5LAE//CD,AE=2,

：.AE//PQ,SLAE=PQ,WEP//AQ,

•.•平面ABUL平面ACDE,平面ABCC平面ACDE=AC,

COu平面ACDE,

COJ_平面ABC,而CDu平面BCD,

•••△ABC为等边三角形，。为BC的中点，

：AQu平面ABC,平面BCQ_L平面ABC,

；.AQ_L平面BCO,又“〃AQ,

；.EP_L平面BC£＞；

(2)解：如图，设。是AC的中点，BO±AC,

作Oz〃AE,'：AE±AC,

由平面ABC_L平面ACQE,可得AE_L平面ABC,

再以示，而方向为x,

则O(0,0,5),0,0),夜，0),0,6),0,2),

'：BP=PD,：.P(-—,返.

25

AB=(-1，F，7),AE，0,1),

设平面E48的法向量为7=(X7,vi,zi),

m-AB=-x6+737^5

取)'4=1,得If=(4;

m,AE=Z]=0

♦.•点M在线段AC上，设其坐标为M(f,0,其中-lWfW5,

EM=(f-1，0，EP=(V，

设平面PEM的法向量为；=(温，yz,Z2),

n*EM=(t-l)x2-z8=0

取用=2,得n=(2,2，"^.

n'EP=-1x2^-y2=0

由题意，设平面尸切与平面EAB所成的锐二面角为

W7V15

则COS0=|-

2xR5+(t-l)2一V4+(t-l)2~5~

整理得(/-1)7=i=r=o或r=4,

；-1WW1,：.M(8,0,

21.已知函数,f(x)=2。和v+-5(i/GR).

(1)当。=1时，求证：函数/(x)没有零点；

(2)若存在两个不相等正实数乃、X2,满足/(©)=/(X2),且X|X2=1,求实数”的

取值范围.

解：(1)证明：当4=1时，f(x)=21nxB，x>0,令f，(x)=A2=.3(x^-l)=Q)

X’Xx3x8

解得x=1或x=-2(舍去)，

当属(0,1)时，函数y=/(无)在(3,当属(1,f(x)>0,+8)单调递增，

，x=3时，f(x)取得最小值，即f(x)