2022-2023学年云南省临沧市民族中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-20232022-2023学年云南省临沧市民族中学高二(下)期中数学试卷一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1.设集合M=[x\2x<4],/V=(xGZ|x2-4x+3<0),则MnN=()A.[1,2]B.(-1,3)C.{1}D.{1,2}2.己知Zi，z?是关于x的方程%2-2x4-2=0的两个根.若z1=1+i,M|zz|=()A.决B.1C.<1D.23.是Mx2>y2”的()4.设双曲线4-W=l(Q>0,b>0)的焦距为2c,若a2,b2,c2成等差数列，则双曲线ab的渐近线方程为()A.y=±y/~2xB.y=±xC.y=±#xD.y=5.己知奇函数/Xx)是定义在R上的单调函数，若正实数a,力满足/(a)+/(2b-l)=0,则-4-r的最小值是()abA.1+2CB.2CC.2D.46.数学可以刻画现实世界中的和谐美，人体结构、建筑物、国旗、绘画、优选法等美的共性与黄金分割相关.古希腊的毕达哥拉斯学派发现了黄金分割常数约0.618,该值也可用三角函数m=25)18。来表示，则虹匕正=()sin216°A.2BC.—2D.-§x)=x2+ln(e-x)ln(e+x)+1的图象大致为()A.充分不必要条件B.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件xx『3)的导函数)，则下列不等式成立的是()A.闵(-分B./(f)V闵(：)C.2f(0)Vf©D.膏\0)>偌)二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)B.0+B)=2C.向量日+5与廿的夹角为§D.向量a+b在向量苴上的投影向量为2dA.直线[恒过定点(-1,0)B.直线/与圆。相交C.存在H吏得直线I与直线1°：kx-y+3=0垂直D.若k=T,直线[被圆0截得的弦长为C?11.己知函数f(x)=sin(cox+<p)(w>0,0V伊V兀)将y=/'(x)的图象上所有点向右平移夸个单位长度，然后横坐标缩短到原来的？倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.若g(x)为偶函数，且最小正周期为§则下列说法正确的是()A.A.y=/(%)的图象关于(&,0)对称B./(x)在(0,勃上单调递减C.g(x)矣的解集为[方竽,；+竽],EZD.方=9(^)在(0,罕)上有且只有两个相异实根12.如图，在正方体ABCD-A^^D^,点P在线段运动,则()A.三棱锥P-A^D的体积为定值B.异面直线"与AiD所成的角的取值范围为[45。,90。]C.直线C】P与平面为CiD所成角的正弦值的最大值为fD.过P作直线〃/4Di，1DP三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.己知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是.15.设抛物线计=4y的焦点为F,A为抛物线上第一象限内一点，满足伊F|=2,P为抛物线准线上任一点，则|P4|+|PF|的最小值为—16,如图，己知矩形旭CD中，AB=^BC=8,现沿AC折起，使得平面ABC1平面ADC,连接BD,得到三棱锥B-ACD,则其外接球的体积为.四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题10.0分)(1)(1)求数列0“}的通项公式如；(2)若晚=Q”+n,求数列{儒}的前n项和万.在八48C中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且当=a2cosB+abcosA.(1)求角B的大小；(2)若AB=2,BC蓦,点D在边也•上，,求BD的长.请在®AD=DC;②=③BD1AC这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答.已知四棱锥P-ABCD(如图)，四边形ABCD^正方形，面P4B1面刀BCD,PA=PB=AB=2,M为AD中点.(1)求证：PCIBM：(2)求直线PC与平面PBM所成角的余弦值.20.(本小题12.0分)我省从2021年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式.其中“3”指的是语文、数学、外语三科为必选科目，“1”指的是考生在物理、历史2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生在思想政治、地理、化学、生物4门再选科目中选择2门.己知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学生物至少1门.(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意一个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.221.(本小题12.0分)己知椭圆C：胃+多=1的焦距为2,匕,尸2分别为左右焦点，过&的直线I与椭圆C交于M,NQh两点，"zMN的周长为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)己知结论：若点(Xo，y°)为椭圆g+W=l上一点，则椭圆在该点的切线方程为涉+餐=1.点T为直线x=8上的动点，过点T作椭圆。的两条不同切线，切点分别为A,B,直线交x轴于点Q.证明：Q为定点；22.(本小题12.0分)(1)若q>0,试讨论/•(>)的单调性：(2)若/'(x)<0恒成立，求实数a的值.4.【答案】A答案和解析【解析】解:M={x\x<2),N={xEZ\l<x<3}={1,2,3},所以MnN={l,2}.故选：D.解集合M和集合N中的不等式，求两集合的交集.本题主要考查了集合交集运算，属于基础题.【解析】解：由Z1，Z2是关于x的方程x2-2x+2=0的两个根，得Z]+Z2=2,Zii)=l-i,故选：C.根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解.本题主要考查复数模公式，属于基础题.【解析】解：由成可得，x>y>0,.-.x2>y2,所以由"/或>可推出>,2",当x2>y2时，举例x=—2,y=1,此时厂E无意义，所以由"刀2>y2”推不出"/瑚>,所以成”是“工2>y2”的充分不必要条件.故选：A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查了充分条件、必要条件的定义，属于基础题.7.【答案】C【解析】解:32,"成等差数列，2册=a2+c2,又＜?2=a2+b2,2b2=2a2+b2,即屏=2尸，.史=C,a双曲线的渐近线方程为y=土Sx.故选：A.根据等差数列定义和双曲线a,b,c关系可求得勺由此可得渐近线方程.a本题考查双曲线的几何性质，方程思想，属基础题.5.【答案】A【解析】解：由题知，奇函数人工)是定义在R上的单调函数，正实数Q,b满足f(a)+f(2b-1)=0,所以J(a)=-f(2b-1)=/(I一2b),所以q=1—2b,即a+2b=l,所以卜些+?=i+竺+qi+2pr^=i+2屈，abababab当且仅当孕=?,即Q="—l,b=l—g时取等号，故选：A.根据题意得a+2b=l,得2+?=1+虫+%再根据基本不等式解决即可.aoab本题主要考查了函数单调性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题.6.【答案】Cr解析】故选：C.mJ4一血2一25如18。/4-4sin2诲_2sinl8°x2cosl8。_2sizi36。_2sin36°_2si“36°si“216°psin216°psin216°psin216°psin(180°+36°)p—sin36°根据同角三角函数关系、诱导公式和二倍角公式化简求值即可.本题主要考查了三角函数化简求值，属于基础题.【解析】解【解析】解：要使函数有意义，则得Kle'即-e<xve,即f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除1当x->e,f(x)——8,排除B,D,故选：C.求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，利用极限思想进行排除即可.本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和对称性以及利用极限思想是解决本题【解析】解：构造函数g(x)=f(x)cosx,xG(一：,；)，则g(Y)Vg(Y)，所以心)cos(Y)5-"cos(Y)，即心)故A不正确；9.【答案】ABD则a+b=(2,2<^)，艮P|a+S|=I22+(2V^)2=4»故A正确；(a+b)a=2xl+2<3x0=2»故8正确;性比较函数值大小即可逐项判断，即可得到结论.本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，属于中档.则g©>g则g©>g(¥)，所以偌)cos：>偌)cosf，则g(0)Vg(9,所以/-(O)cosO</(^cosp则9(。)Vg(f),所以f(0)cos0</(^)cosp故选：C.根据条件构造函数g(x)=f(x)cosx,即偌)>章(¥)，故b不正确；即2/(0)</(^),故C正确;即<2/(0)</(^),故。不正确.求函数的导数，确定函数的单调性，利用单调11.【答案】ACa(a+b)2cos<a,aa(a+b)2G12ac向量a+b在向量廿上的投影向量为哗砂xg=2S，故。正确.故选：ABD.对于4,结合向量模公式，即可求解；对于8,结合向量的数量积公式，即可求解；对于C,结合平面向量的夹角公式，即可求解；对于D,结合投影向量的公式，即可求解.本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题.10.【答案】ABD【解析】解：对于A,直线Z：kx-y+k=0,Bpk(x4-1)—y=0,则直线[恒过定点(-1,0),故选项A正确；对于8,•.•直线[恒过的定点(-1,0)在圆。：x2+y2=4的内部，直线Z与圆0相交，故选项B正确；对于C,若直线1：kx-y+k=Q与直线如kx-y+3=0垂直，则k2=-l,显然不成立，故选项C错误；对于D,当k=-L直线I化成x+y+l=0,圆心。到直线I的距离4=骂=空，V22则直线[被圆。截得的弦长为2J4=故选项。正确.故选：ABD.对于A,利用直线系方程求得直线/过定点即可判断：对于8,由直线所过的顶点在圆内部即可判断；对于C,由两条直线的位置关系中垂直关系即可判断；对于D,由垂径定理求弦长可以判断.本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.66—cos4xt/(x)=sin(2x+泠，则当x=&时，2x+芝=2x&+芝=m则/'(x)的图象关于(苔,0)对称，故A正确，由g(x)>，导-cos4x>:得即cos4x<即2/ctt4-y<4x<2kn+亨，k6Z,得+<x<§上兀+§,kEZ,故C正确，得①不成立，由②得x=+|k7r,keZf...SO时，x=§k=1时，X=y,k=2时，x/,则在(0,券)上有且只有3个相异实根，故。错误,【解析】解：将y=/(x)的图象上所有点向右平移亨个单位长度，得到y=sin[a)(x-y)+租)]=sin(sx-亨to+伊)，然后横坐标缩短到原来的:倍(纵坐标不变),若g(x)的最小正周期为：，则务=号得3=2,此时g(x)=sin(4x一哥+/),-?+桃—kn+；，kEZ,取x=1,得元=(1,1,一1),.•・直线C]P与平面A^D所成角的正弦值为：厅丽=厂。3顼]J2(a-|)2+|，.••当Q=§时，直线CiP与平面AiCiD所成角的正弦值的最大值为专，故C正确.在D中，过P作直线l//AD1,则1//BC],•.•DPlBCi，Z1DP,故正确.故选：ACD.在A中，由&C〃平面为CiD,得到P到平面A^D的距离为定值，再由的面积是定值，从而三棱锥P-A^D的体积为定值；在B中，异面直线时与A"所成角的取值范围是[60。,90。]：12.【答案】ACD【解析】解：在A中，AiD/jBiC,AiDu平面A^D,B]C仁平面AiGD,务。〃平面AiGD,•••点P在线段上运动，P到平面AiGD的距离为定，又的面积是定值，.•.三棱锥P-A^D的体积为定值，故A正确；在B中，异面直线AP与由D所成角的取值范围是设正方体ABCD一%&敛1中棱长为1,P(q,1,q),则D(0,0,0),赤；=(1,0,1)，元=(0,1,1)，帝=(",。-1)，设平面AiCiD的法向量=(x,y,z),£竺1一x+z-0,故选：AC.根据图象变换关系求出/'(x)和g(x)的解析式，根据三角函数的对称性，单调性分别进行求解判断即可.本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象变换求出函数f(x)和g(x)的解析式，利用三角函数的性质分别进行判断是解决本题的关键，是中档题.值值在C中在C中，以D为原点，为x轴，DC^y辄DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线C】P与平面A.C.D所成角的正弦值的最大值.在D中，由〃/BCi，DP1BCX,即可判断.本题考查命题真假的判断，空间图形中直线与直线、平面的位置关系，异面直线的判断，基本知识与定理的灵活运用，属于中档题.【解析】【分析】考查了学生的空间想象力.由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形.【解答】.•.圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，则圆锥的高九=2xsin60°=解得f(2)=|,故答案为：6.广(2)是一个常数，对函数f(x)求导，能直接求出尸(2)的值，再求出广(4).本题考查了求导法则，解题时应知广(2)是一个常数，根据求导法则进行计算即可，是基础题.15.【答案】【解析】解：由x2=4y,知p=2,则焦点F(O,1),准线y=-l,16.【答案】16.【答案】罕【解析】解：如图设AC(]BD=Ot则|P4|+\PF\=\PA±\+\PF\>|F4i|=V22+42=2C，当且仅当P的坐标为(1,-1)时等号成立，故答案为：2/万.设A(xo，yo)3o>0)，根据抛物线的定义，由伊F|=yo+§,可得4(2,1),作出4关于直线y=-1对本题考查抛物线的几何性质，数形结合思想，属基础题.•••A(2,l),AFLy轴，如图：设A关于直线y=-l对称的点为，，贝1知(2,-3),则三棱锥8-ACD的外接球的球心即为。，半径R=^AC=邪62+82=5,所以三棱锥B-4CD的外接球的体积知=?相3=打x53=密.故答案为：半.由矩形的性质分析可得外接球的球心即为4C的中点。，进而可求球的半径和体积.本题考查三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题.17.17.【答案】解：(1)因为％+i=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),又a.-1=1,所以数列{an-1}是以1为首项，2为公比的等比数列，•••an-l=2“t,即a”=2n-1+1；(2)由(1)可知a”=2n-14-1,nGN、,所以如=an+n=2n-14-n4-1,bnnn)=(2°+214-22+…+2“t)+[2+3+4+…+(n+1)]=苫+"(2誓1)=2”+一1.【解析】(1)由己知等式变形得出冷坪=2,结合等比数列的定义可证得结论成立；(2)求出数列{如}的通项公式，利用分组求和法可求得本题主要考查了数列的递推式，考查了分组求和法的应用，属于中档题.18.【答案】解：(1)因为日畚=q2cosB+q/?cosA,所以4X^g?lg=a2cosB+abcosA,所以2accosB=a2cosB+abcosA,即2ccosB=acosB+bcosA.由正弦定理，得IsinCcosB=sinAcosB+sinBcosA,所以2sinCcosB=sin(4+B)=sinC.因为CG(0,tt),所以sinC。0,所以cosB=又所以B=§(2)若选①：在AABC中，由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosB=22+(|)2-2X2…xcos=，所以4C=票，所以4D=DC=至，4在ZkABD中，由余弓玄定理，^AB2=BD2+DA2-2BD-DA-cosZ.ADBt艮IU=BD?+#一穿BOcos3庭，在ADBC中，由余弦定理，WBC2=BD2+DC2-2BD-DC-coszCDfi,艮=BD?+II—等BDcosXDB，又+乙CDB=兀，所以cosZJlDB+COSZ.CDB=0,所以4+；=2"2+另，所以BD=nZ.4o4若选②：在△4BC中，ShABC=ShABD+s^CBD,L5LoLb解得BD=答IABCACAB2+BC2一2AB•BC•cosB=22+(|)2-2X2XiXC0S3=V所以4C=哥，SmBC==BA,Bc.smB=W，又$小此=扣。或=号叫所以耳BD=^，解得BD=竺禁.4413【解析】(1)根据面积公式可得2ccosB=acosB+bcosA,利用正弦定理以及和角关系可得cosB=进而可求.(2)若选①：根据余弦定理可求出"=竖，在△4BD和在△庭C中分别用余弦定理即可求解.式即可求解.本题主要考查解三角形，考查运算求解能力，属于中档题.19.【答案】⑴证明：取中点0,连接0P,并过点。作8C的平行线。£,交CD于E,则0ELAB,又0为AB中点，.••P014B,又面PAB1面ABCD,面PABC^ABCD=AB,P0u面PAB,P0LlSABCD,.'.P010E.以。为原点，OB,0E,OP所在直线分别为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，qC因qC因为PA=AB=2.NC则B(1,O则B(1,O,O),P(O,O,C),M(-l,l,0),C(l,2,0),所以凡•丽=1x(-2)+2x1+(-厂)x0=0,所以PC1BM.(2)PM=无=(1,2,-")’设平面PBM的一个法向量为元=(x,y,z),则有四乎0,即片+?-弈=°,令X=1,则y=2,Z=决，所以元=(1,2，¥)，设直线PC与平面PBM所成角为。，m•qIm\PCn\|lxl+2x2+^x(-V-3)|<3则sin。=|cos(PC,n)|=■=—=:=丁，IP。•问Jl+4+|x<r+4+34因为。6[0瑚],所以cos。=71-sin20=J1-(争=罕,所以直线PC平面PBM所成角的余弦值为至.4【解析】(1)运用面面垂直性质定理证得POl^ABCD,以。为原点建立空间直角坐标系，运用空间向量坐标法证明线线垂直.(2)运用空间向量坐标法求线面角的正弦值，再运用同角三角函数的平方关系可得其余弦值.本题考查了利用向量法证明线线垂直以及计算空间角的问题，属于中档题.qb，“选择历史”，则所有选科组合的样本空间为：设河=“从所有选科组合中任意选取1个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要，求”求”・•・・•・该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率P(M)=需=(2)设甲、乙、丙每人选择的组合符合福建医科大学临床类招生选科要求分别是事件M，N2,临,由题意知事件M，阳，M相互独立，由(1)知p(M)=p(m)=p(m)=n-记N=“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求"，则N=N±N2N3U虬此阳U此阳阳，根据互斥事件概率加法公式得：P(N)=P(N02应3)+P(袖2白)+P(祯2盼5555555=12X(1_l2)X(1_l2)+(1~12)Xl2X(1~12)+(1~12)X(1~_=576'【解析】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.(1)用Q,b分别表示“选择物理”，“选择历史”，用C,d,e,■分别表示“选择化学”，“选择生物”，“选择政治”，“选择地理”，利用列举法能求出该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.(2)设甲、乙、丙每人选择的组合符合福建医科大学临床类招生选科要求分别是事件M，n2,N3,由题意知事件Ni，N2,N3相互独立，P(N1)=P(N2)=P(M)=奇.记N="甲、乙、丙三人中恰叫阳阳，根据互斥事件概率加法公式能求出所求概率.则由己知可得