广东省清远市连山壮族瑶族自治县高级中学高二数学文期末试卷含解析

广东省清远市连山壮族瑶族自治县高级中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.用数学归纳法证明不等式＋＋···＋>(n>1，n∈N*)，在证明n＝k＋1这一步时，需要证明的不等式是（

）A．＋＋···＋>B．＋＋···＋＋>C．＋＋···＋＋>D．＋＋···＋＋＋>参考答案：D略2.若椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点可构成一个等边三角形，则椭圆的离心率为(

)(A)

(B)(C)

(D)参考答案：D略3.为正实数，为虚数单位，，则（

）A．2

B.

C.

D.1参考答案：B

4.在△ABC中，已知，则角A为（

）A．

B．

C． D．或参考答案：C略5.设，，…，，n∈N，则=

（

）A．

B．

C．

D．－参考答案：A略6.．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a﹣c＜b﹣c C．a2＞b2 D．a3＞b3参考答案：D【考点】不等式比较大小．【分析】举特殊值判断A，C，根据不等式的性质判断C，根据幂函数的性质判断D【解答】解：A．当c=0时，不成立；B．根据不等式性质，则不成立；C．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；D．根据幂函数y=x3为增函数，可得成立故选：D．7.已知直线、经过圆的圆心，则的最小值是A.9 B.8 C.4 D.2参考答案：A【分析】由圆的一般方程得圆的标准方程为，所以圆心坐标为，由直线过圆心，将圆心坐标代入得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以最小值为9【详解】圆化成标准方程，得，圆的圆心为，半径．直线经过圆心C，，即，因此，，、，，当且仅当时等号成立．由此可得当，即且时，的最小值为9．故选：A．【点睛】若圆的一般方程为，则圆心坐标为，半径8.

下列有关命题的说法正确的是命题“若，则”的否命题为：“若，则”“”是“”的必要不充分条件命题“存在,使得”的否定是：“对任意,均有”命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：D9.若则“”是“”的()A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C．充要条件

D．既不充分又不必要条件参考答案：A10.将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的图象关于y轴对称，即可求出m的最小值．【解答】解：y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题：①是的充要条件；②已知A、B是双曲线实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且的最小值为2，则双曲线的离心率e=；③取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是；④一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是椭圆。其中真命题的序号是

。（填上所有真命题的序号）参考答案：②③④12.已知双曲线的一条渐近线和圆相切，则该双曲线的离心率为

参考答案：略13.已知tan(+α)=3，则tanα的值是，cos2α的值是．参考答案：，

【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．【分析】由两角和与差的正切函数展开已知等式，整理即可求得tanα的值，由万能公式即可求得cos2α的值．【解答】解：∵tan（+α）==3，解得：tanα=，∴cos2α==．故答案为：，．14.函数f（x）=的零点个数是．参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的定义，直接解方程即可得到结论．【解答】解：当x≤0时，由f（x）=0得x2﹣2=0，解得x=或x=（舍去），当x＞0时，由f（x）=0得2x﹣6+lnx=0，即lnx=6﹣2x，作出函数y=lnx和y=6﹣2x在同一坐标系图象，由图象可知此时两个函数只有1个零点，故函数f（x）的零点个数为2，故答案为：2【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，对于比较好求的函数，直接解方程f（x）=0即可，对于比较复杂的函数，由利用数形结合进行求解．15.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D的体积为

cm3．参考答案：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】连接AC交BD于O，根据此长方体的结构特征，得出AO为A到面B1D1D的垂线段．△B1D1D为直角三角形，面积易求．所以利用体积公式计算即可．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．连接AC交BD于O，则AC⊥BD，又D1D⊥BD，所以AC⊥面B1D1D，AO为A到面B1D1D的垂线段，AO=．又S△B1D1D=所以所求的体积V=cm3．故答案为：3【点评】本题考查锥体体积计算，对于三棱锥体积计算，要选择好底面，便于求解．16.在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a18＋a19＋a20＝87，则此数列前20项的和S20＝______．参考答案：3017.已知曲线方程，若对任意实数，直线都不是曲线的切线，则的取值范围是_______________参考答案：a＜－1或a＞0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．（1）求证：PC⊥BC；（2）求点A到平面PBC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（1），要证明PC⊥BC，可以转化为证明BC垂直于PC所在的平面，由PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°，容易证明BC⊥平面PCD，从而得证；（2），有两种方法可以求点A到平面PBC的距离：方法一，注意到第一问证明的结论，取AB的中点E，容易证明DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等，而A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍，由第一问证明的结论知平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，所以只求D到PC的距离即可，在等腰直角三角形PDC中易求；方法二，等体积法：连接AC，则三棱锥P﹣ACB与三棱锥A﹣PBC体积相等，而三棱锥P﹣ACB体积易求，三棱锥A﹣PBC的地面PBC的面积易求，其高即为点A到平面PBC的距离，设为h，则利用体积相等即求．【解答】解：（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PD⊥BC．由∠BCD=90°，得CD⊥BC，又PD∩DC=D，PD、DC?平面PCD，所以BC⊥平面PCD．因为PC?平面PCD，故PC⊥BC．（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F．易知DF=，故点A到平面PBC的距离等于．（方法二）等体积法：连接AC．设点A到平面PBC的距离为h．因为AB∥DC，∠BCD=90°，所以∠ABC=90°．从而AB=2，BC=1，得△ABC的面积S△ABC=1．由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P﹣ABC的体积．因为PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以PD⊥DC．又PD=DC=1，所以．由PC⊥BC，BC=1，得△PBC的面积．由VA﹣PBC=VP﹣ABC，，得，故点A到平面PBC的距离等于．19.已知函数，（1）当，时，求函数f(x)在(0,+∞)上的最小值；（2）若函数在与处的切线互相垂直，求b的取值范围；（3）设，若函数f(x)有两个极值点，，且，求的取值范围．参考答案：（1）；（2）或；（3）【分析】（1）求导后可得函数的单调性，从而得到；（2）利用切线互相垂直可知，展开整理后可知关于的方程有解，利用可得关于的不等式，解不等式求得结果；（3）根据极值点的定义可得：，，从而得到且，进而得到，令，利用导数可证得，从而得到所求范围.【详解】（1）当，时，，则当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增（2）由解析式得：，函数在与处的切线互相垂直

即：展开整理得：则该关于的方程有解

整理得：，解得：或（3）当时，是方程的两根

，且，

，令，则在上单调递增

即：【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，涉及到函数最值的求解、导数几何意义的应用、导数与极值之间的关系；本题的难点在于根据极值点的定义将转化为关于的函数，从而通过构造函数的方式求得函数的最值，进而得到取值范围.20.

已知函数.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，求实数的取值范围.参考答案：21.已知分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足.设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中.（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率的取值范围.参考答案：（1）由于解得

从而所求椭圆的方程是（2）三点