大学高数向量及其线性运算课件

第二节向量及其线性运算<<工科数学分析>>北京理工大学2010-2011学年第二学期第二节向量及其线性运算<<工科数学分析>>1大学高数向量及其线性运算课件2向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量：模长为0的向量.||向量的模：向量的大小.单位向量：一、向量的概念或或与同方向的单位向量可记作或零向量没有方向，或者说其方向是任意的向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量3自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同的向量.负向量：大小相等但方向相反的向量.向径：空间直角坐标系中任一点

与原点构成的向量，叫做点M的向径.即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都是自由向量。自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同4[1]定义加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法[1]定义加法：（平行四边形法则）特殊地：若‖分为同向和反5向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）[2]定义减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（36三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法7数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：两个向量的平行关系数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：8证充分性显然；必要性‖两式相减，得证充分性显然；必要性‖两式相减，得9按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的10例1化简解例1化简解11例2试用向量方法证明：对角线互相

平分的四边形必是平行四边形.证与平行且相等,结论得证.例2试用向量方法证明：对角线互相

平分12向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）四、小结向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平13大学高数向量及其线性运算课件14一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理15大学高数向量及其线性运算课件16证于是证于是17空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与之间任意取值.空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的18空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影19空间一向量在轴上的投影

数空间一向量在轴上的投影数20关于向量的投影定理（1）证关于向量的投影定理（1）证21定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量22关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）23特别地，如果把上述向量a在轴上

的投影换成向量a在向量b上的投影,

可得到类似的概念与性质：特别地，如果把上述向量a在轴上

的投影换成向量a在向量b上的24二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标25由例1知由例1知26向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量在轴上的投影向量在轴上的27按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标：向量的坐标表达式：特殊地：按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐28向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式29解为直线上的点，解为直线上的点，30由题意知：#由题意知：#31非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式非零向量的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方32由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向33当时，向量方向余弦的坐标表示式当34方向余弦的特征特殊地：单位向量为方向余弦的特征特殊地：单位向量为35解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或解所求向量有两个，一个与同向，一个反向或36解例4

设有向量21PP,已知221=PP，它与x轴和y轴的夹角分别为3p和4p，如果1P的坐标为)3,0,1(，求2P的坐标.解例4设有向量21PP,已知221=PP，它与x轴和y轴37大学高数向量及其线性运算课件38解解39向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的区别）向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐40作业P3,

3,4P4,

5P10-11,

2,7,10,15,作业P3,

3,441思考题思考题42思考题解答对角线的长为思考题解答对角线的长为43练习题练习题44大学高数向量及其线性运算课件45练习题答案练习题答案46思考题已知平行