郑州轻工业大学概率论与数理统计课件-第8-10讲

第8讲

古典概型徐雅静主讲郑州轻工业大学微课堂如何求事件发生的概率?对于不同的问题,需要建立不同的概率模型.这节课我们学习一个古老的概率模型——古典概型.古典概型前言Ω中包含n个样本点,事件A包含k个样本点,则A的概率为古典概型1.古典概型的概念具有以下两个特点的试验称为古典概型?有限性:试验的样本空间只含有限个样本点;等可能性:试验中每个基本事件发生的可能性相同..A.

.Ω.

.

..n

个k个P

(

A)

事件A中包含样本点的个数

k

.中所有样本点的个数n1.古典概型的概念Ω中包含n个样本点,事件A包含k个样本点,

则A的概率为古典概型...A.Ω.

..n

个k个P

(

A)事件A中包含样本点的个数

k

.中所有样本点的个数n从而满足容易验证,由上式确定的概率满足公理化定义,概率的一切性质.1.古典概型的概念Ω中包含n个样本点,事件A包含k个样本点,

则A的概率为古典概型N

N(

(

A)

....A.Ω.

..n

个k个P

(

A)事件A中包含样本点的个数

k

.中所有样本点的个数n若用N(

)表示样本空间样本点数,

用N(A)表示A包含的样本点数.事件A的概率也可以表示为:P(

A)1.古典概型的概念若用N(

)表示样本空间样本点数,

用N(A)表示A包含的样本点数.事件A的概率可以也表示为:古典概型P

(

A)N

N(

(

A)

.对于古典概型,概率为零的事件一定为不可能事件吗?对于古典概型,概率为零的事件一定为不可能事件!是的,一定!1.古典概型的概念若用N(

)表示样本空间样本点数,

用N(A)表示A包含的样本点数.事件A的概率可以也表示为:古典概型对于古典概型,概率为零的事件一定为不可能事件!对于古典概型,概率为1的事件一定为必然事件!P

(

A)N

N(

(

A)

.2.古典概型的例子·

常见街头摸奖的骗局:转盘摇奖,扑克牌抽奖,彩球摸奖等等.这些游戏骗人的玄机是什么?古典概型2.古典概型的例子除颜色不同外,【例1】(抽样模型）彩球摸奖游戏:一个口袋中装有6个红球与6个白球,12个球完全一样,每次从袋中摸6个球.游戏的规表,游戏的玄机是什么?这是不是天上掉馅饼了呢?你会去赌一把吗?古典概型6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输掉100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元2.古典概型的例子除颜色不同外,【例1】(抽样模型）彩球摸奖游戏:一个口袋中装有6个红球与6个白球,12个球完全一样,每次从袋中摸6个球.游戏的规种,游戏的玄机就在于7种情况出现的概率不相等!古典概型表,游戏的玄机是什么?解:任意摸66个球,所有可能的结果有C12666个全红赢得100元0.0010825红1白赢得50元0.0389614红2白赢得20元0.2435063红3白输掉100元0.43292红4白赢得20元0.2435061红5白赢得50元0.0389616个全白赢得100元0.0010826

6

.C

6C

i

C

jP(i个红球，j个白球)(i

0,1,...,6

;

i

j1

26)即

N

(

)12

C

6

,摸到i

个红球和j

个白球的结果C有i

C

j

种.2.古典概型的例子除颜色不同外,【例1】(抽样模型）彩球摸奖游戏:一个口袋中装有6个红球与6个白球,12个球完全一样,每次从袋中摸6个球.游戏的规元,,表,游戏的玄机是什么?游戏的玄机就在于7种情况出现的概率不相等!虽然,共有大约48.7%的概率可以赢得20但是,却有大约43.3%的概率要输掉100元.即几乎有一半的机会要输掉100元!古典概型6个全红赢得100元0.0010825红1白赢得50元0.0389614红2白赢得20元0.2435063红3白输掉100元0.43292红4白赢得20元0.2435061红5白赢得50元0.0389616个全白赢得100元0.0010822.古典概型的例子【例2】（随机分球模型）设有n个不同的球,每个球等可能地落入N

个盒子中(n

≤N),设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:A

=“某指定的n

个盒子中各有一球”;B

=“恰有n个盒子中各有一球”;C

=“某指定的一个盒子恰有m个球(m

≤n

)”;D

=“至少有两个球在同一盒子中".古典概型2.古典概型的例子古典概型【例3】（随机分球模型）A

=“某指定的n

个盒子中各有一球”;B

=“恰有n个盒子中各有一球”;C

=“某指定的一个盒子恰有m个球(m

≤n

)”;D

=“至少有两个球在同一盒子中".解:n个球分配盒子的方式共有

N

n

种,即样本空间中样本点数为

N( )

=

Nn.2.古典概型的例子【例3】（随机分球模型）(1)A

=“某指定的n

个盒子中各有一球”;(2)B

=“恰有n个盒子中各有一球”;(2)C

=“某指定的一个盒子恰有m个球(m

≤n

)”;(2)D

=“至少有两个球在同一盒子中".解:

样本空间中样本点的个数为N( )

=

Nn.(1)事件A中含有n!个样本点,即N(A)=n!于是古典概型P

(

A)N

n

n!2.古典概型的例子【例3】（随机分球模型）(2)B

=“恰有n个盒子中各有一球”;(3)C

=“某指定的一个盒子恰有m个球(m

≤n

)”;(3)D

=“至少有两个球在同一盒子中".解:

样本空间中所有样本点的个数为N( )

=

Nn种,古典概型N

nC

n

Nn!.NN

(

B

)Cnn，!

P

(

B

)(2)n个盒子可自N个盒子中任意选出,共有C于是n

N2.古典概型的例子【例3】（随机分球模型）(2)B

=“恰有n个盒子中各有一球”;(2)C

=“某指定的一个盒子恰有m个球(m

≤n

)”;(2)D

=“至少有两个球在同一盒子中".解:

样本空间中所有样本点的个数为N( )

=

Nn(3)从n个球中任意选出m个放入了指定的一个盒子中,其余n

–m个球可以任意分配在剩余的N

–1个盒子里,古典概型nm,

P

(

C

)nC

m

(

N

1)nN

.n因而N

(C

)mCmC(

Nn

1m)2.古典概型的例子古典概型【例3】（随机分球模型）(2)B

=“恰有n个盒子中各有一球”;(2)C

=“某指定的一个盒子恰有m个球(m

≤n

)”;(4)D

=“至少有两个球在同一盒子中".解:

样本空间中所有样本点的个数为N( )

=

Nn(4)

因为

D

B所以

P

(

D

)

1

P

(

B

)NC

n

n!N1n

.2.古典概型的例子【例3】（生日游戏）班里来了一位新同学,他信心十足地对大家说,“大家好,咱班50个同学里一定有两人的生日是相同的!让我们来认识他们,

并为他们祝福吧!”这位同学的推测有道理吗?解:古典概型3655050!P50名同学生日各不3同3同65

的概率:36550C

50

A503650.0296.2.古典概型的例子古典概型【例3】（生日游戏）班里来了一位新同学,他信心十足地对大家说,“大家好,咱班50个同学里一定有两人的生日是相同的!让我们来认识他们,

并为他们祝福吧!”这位同学的推测有道理吗?50名同学至少有两人生日相同的概率:解:

1

P

1

0.0296

0.9704.这是个大概率事件,所以,推测是有道理的!微课堂古典概型概率计算公式或记为古典概型小结P

(

A)

事件A中所包含样本点的个数

k中所有样本点的个数

nP(

A)N

N(

(

A))微课堂1.某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的?2.(抽样问题)设一批产品中有200件产品,其中有6件次品,从中任意抽取50件,现分别就有放回和抽取无放回抽取两种情况,求取到的

产品中恰好有4件次品的概率.古典概型练习题2021年5月教学设计?主讲老师?徐雅静

汪远征徐雅静

徐姗

郑州轻工业大学艺术设计?制作单位?制作时间?古典概型第9讲

几何概型徐雅静主讲微课堂应用问题你可能参与或见过各种摇奖游戏转盘摇奖是古典概型吗?获各种奖的概率怎么计算?几何概型微课堂应用问题转盘摇奖特点:1.所有可能的基本结果有无穷多个;2.每个基本结果的出现都是等可能的.转盘摇奖不是古典概型!几何概型可以解决这类问题!几何概型2.几何概型的概念几何度量指是长度或面积或体积等.几何概型具有以下两个特点的试验称为几何概型:随机试验的所有可能的结果（样本空间）对应了某可度量的几何区域

;中任一区域对应的事件发生的可能性大小与该区域的几何度量成正比而与该区域的位置和形状无关.对于几何概型

P

(

A)

事件A对应区域的几何度量对应区域的几何度量关键是从某个角度出发找到Ω和A对应的几何区域2.几何概型的概念获各种奖的概率怎么计算?以一等奖为例:假设圆的半径是r,一等奖对应的圆心角为α.·

思路一:样本空间Ω对应的几何区域:

圆周Ω的几何度量是圆周长2r,

一等奖对应弧长是αr.几何概型.对应的弧长r2摇中一等奖的概P

(率A为):A对应的弧长

r

22.几何概型的概念],

Ω的几何度量是2

,几何概型对应的圆心角

2P

(

A)获各种奖的概率怎么计算?以一等奖为例:假设圆的半径是r,一等奖对应的圆心角为α.·

思路二:样本空间Ω对应的几何区域:圆心角[0,2一摇等摇等中奖一对等应奖圆的心概角率是为α,

A对应的圆心角

两种方法结果一样!.3.几何概型的例子【例1】(约会问题)甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人20分钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.解:以x和y分别表示甲乙两人到达约会地点的时间（以分钟为单位）,在平面上建立xOy直角坐标系,如图.因为甲乙都是在0到60分钟内等可能到达,这是一个几何概型问题.几何概型3.几何概型的例子【例1】(约会问题)甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人20分钟,过时即可离去,求两人能会面的概率.解:样本空间=

{(x,

y):

0

x,

y

60}事件A

=“甲乙将会面”=

{(x,

y) :

|

x

–

y

|

20}因此几何概型P

(

A)A的面积

602

402

5.的面积

602

93.几何概型的例子【例2】随机向边长为1的正方形内投点,试求点投在正方形的一条对角线上的概率,如图所示.解:样本空间=

{(x,

y):

0

<

x,

y

<

1},事件A

=“点投在正方形的对角线上”=

{(x,

y) :

x

=

y

},概率为0的事件未必是不可能事件,类似地,概率为1的事件也未必是必然事件.几何概型0.正方形的面积对角线的面积

01因此P

(

A)微课堂1.几何概型的两个特点(1)试验结果有无限多,样本空间可几何概型小结以度量;(2)事件A发生的概率与其对应区域的几何度量成正比,与该区域的位置和形状无关.2.概率公式P

(

A)

事件A对应区域的几何度量对应区域的几何度量关键是要找出Ω

和事件A对应的几何图形.微课堂半堂半

圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,

求原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率.2.若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率几何概型练习2axx21.随机地向半径为a的半圆内0

y掷一点,点落在2021年5月教学设计:主讲老师:徐雅静

汪远征

徐雅静

徐姗

郑州轻工业大学艺术设计:制作单位:制作时间:几何概型例2如图,射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环.从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色,靶心为金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122

cm,靶心直径为12.2

cm.运动员在70

m外射箭.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?例2奥运会的比赛靶面直径为122

cm,靶心直径为12.2

cm.假设运动员射的箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的,那么射中黄心的概率为多少?·解记“射中黄心”为事件A,由于中靶点随机地落在面积为的黄心时,事件A发生,11222

c

m

24的大圆内,而当中靶点落在面积为于是事件B1发4

生的概率为.12

.22

c

m

2P(BP(B

)

40.0

1·

即“射中黄心”的概率是0.0

1.14141222

cm2112.2

cm2

2第10讲

条件概率徐雅静主讲微课堂在实际问题中,除了直接考虑某事件发生的概率外,有时还会在已知某事件已经发生的条件下,考虑另一事件发生的概率.比如:“已知掷骰子出现了偶数点,考虑出现2点的概率”“从50名同学中随机抽一人参加某项活动,已知抽到的是男生,考虑抽到张三的概率”这时就是用到了条件概率.条件概率前言1.条件概率的定义·所谓条件概率就是已知某事件A

发生的条件下,考虑事件B发生的概率.·条件概率记为P(B|A),读作“事件A

发生下事件B

发生的条件概率”,简称条件概率.条件概率P(B|A)如何计算?它和P(B)有什么关系呢?先看一个例子:条件概率1.条件概率的定义【例1】某厂的100件产品中有5件是不合格品,而5件不合格品中有

3件次品,2件废品.现从100件产品中任意抽取一件,假定每件产品被抽到的可能性都相同,求(1)抽到次品的概率;(2)在抽到的产品是不合格品的条件下,产品是次品的概率.解:设A

=“抽到不合格品”,B

=“抽到次品”.条件概率.(1)100件产品中有3件次品,所以3P

(

B1)003(2)可以在“缩小的样本空间A”中考虑问题:P

(B

|

A)5

,可见,

P(B)

P(B

|

A).1.条件概率的定义【例1】求(1)

抽到次品的概率;

(2)在抽到的产品是不合格品的条件下,产品是次品的概率.解:设A

=“抽到不合格品”,B

=“抽到次品”.(2)可以在“缩小的样本空间A”中考虑问题可见,

P(B)

P(B

|

A).容易发现条件概率.3(1)100件产品中有3件次品,所以P

(

B1)003:

P(B

|

A)

5

,5100

3

,又有

P(A)100

,P(AB)P(B)P

(

B

|

A)

35

3

/

100

P(

AB)

.5

/该结果具有一般性.1.条件概率的定义【定义】设A与B是同一样本空间中的两个事件,若P(A)>0,则称条件概率P(B

i|

A)i

1P(

Bi|

A)i

1(2)规范性:P(Ω

|

A)=1;条件概率也满足概率的所有其他性质！(3)可列可加性:设事件B1,B2,…,Bi,…两两互不相容,则为事件A发生下的事件B发生的条件概率.不难验证,条件概率满足概率的三条公理:(1)非负性:对任意事件B,P(B

|

A)≥0;P(B

|

A)P(P(A)AB)

.1.条件概率的定义【定义】设A与B是同一样本空间中的两个事件,若P(A)>0,则称条件概率为事件A发生下的事件B发生的条件概率.·P(B|A)可以理解为B在A中所占比例.即在缩小的样本空间A中求B的概率.P(B

|

A)P(P(A)AB)

.AABBP(

A)P(

AB)·

对于古典概型有:P(B

|

A)

N

(

AB)

/

N

(

)

N

(

AB)

.N

(

A)

/

N

(

)

N

(

A)缩小样本空间法2.条件概率例子条件概率【例2】某家庭中有两个孩子,已知其中至少有一个是男孩,求两个都是男孩的概率(假设男、女孩出生率相同).解:用g代表女孩,b代表男孩.A

=“至少有一个男孩”,B

=“两个都是男孩”,本题是要求条件概率P(B

|

A).由于 =

{bb,

bg,

gb,

gg},

A

=

{bb,

bg,

gb},

B

=

{bb},所以,

P

(

A)

3

/

4,

P

(

B

)1/4,且AB=B,P(

A)3

/

4故P(B

A)P(

AB)P(PA()B

)1

/

41

/

3.2.条件概率例子【例2】某家庭中有两个孩子,已知其中至少有一个是男孩,求两个都是男孩的概率(假设男、女孩出生率相同).解:用g代表女孩,b代表男孩.A

=“该家庭中至少有一个男孩”,B

=“两个都是男孩”,本题也可以用缩小样本空间法:已知事件A发生了,此时样本空间缩小为A

={bb,bg,gb}=A,又B

={bb},所以条件概率P

(

B

A)

N

(

AB)

N

(

AB)

1

.N

(

A

)

N(

A)

32.条件概率例子条件概率【例3】设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%,活25岁以上的概率为40%.如果现在有一个20岁的这种动物,求它能活25岁以上的概率.解:设事件A

=“这种动物能活20岁以上”;事件B

=“这种动物能活25岁以上”.按题意,P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于B A,

因此由条件概率定义P

(

B

|

A)

P(AB)

P(B)

0.40.5.P(

A)P(

A)0.8微课堂2.P(AB)与P(B|A)的区别P(AB)为样本空间为Ω时AB发生的概率;P(B|A)为在缩小的样本空间ΩA=A

中AB发生的概率.一般来说P(B|A)比P(AB)大.条件概率小结1.条件概率的定义,

(

P

(

A)

0)P

(

A)P

(

AB

)P

(B

|

A).N

(

AB)

N

(

AB),

P

(

B

|

A)N

(

)

N

(

A)对于古典概型P(