第一章 复数与复变函数

第一章复数与复变函数第1页，课件共116页，创作于2023年2月学习本课程的基本要求和注意事项课前课后应做好预习和复习；按时、准时上课，不得无故迟到、早退和缺席；加强点名；上课认真听讲，保持良好的课堂秩序；课后按时完成作业；严格执行学校有关课堂教学的规章制度。第2页，课件共116页，创作于2023年2月《复变函数与积分变换》教材：《复变函数与积分变换》（第二版），哈尔滨工业大学数学系组编，盖云英、包革军编，科学出版社，2007年。第3页，课件共116页，创作于2023年2月对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变函数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分.主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等.复数与复变函数、解析函数、第4页，课件共116页，创作于2023年2月学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处.但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果.第5页，课件共116页，创作于2023年2月背景

复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的.为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域.但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”.

直到十八世纪，J.D’Alembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展.第6页，课件共116页，创作于2023年2月

复变函数的理论基础奠定于十九世纪.

A.L.Cauchy和K.Weierstrass分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann研究复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物.经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用.

二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切.第7页，课件共116页，创作于2023年2月第一章复数与复变函数复数:形如:z=x+iy或z=x+yi的数，其中x和y是任

意的实数，i是虚数单位(-1的平方根）.

x和y分别称为的实部和虚部，分别记作：

注：复数相等是指它们的实部与虚部分别相等.

如果Imz=0，则z可以看成一个实数；

如果Imz不等于零，那么称z为一个虚数；

如果Imz不等于零，而Rez=0，称z为一个纯虚数.

第8页，课件共116页，创作于2023年2月虚数单位的特性:……第9页，课件共116页，创作于2023年2月

2.复数的四则运算复数的四则运算定义为：

全体复数引入以上的四则运算后就称为复数域

.记为C，复数域可以看成实数域的扩张.

注:在复数域中不能规定复数像实数那样的大小关系.第10页，课件共116页，创作于2023年2月z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3

.

运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律.（与实数相同）即，第11页，课件共116页，创作于2023年2月例题：解第12页，课件共116页，创作于2023年2月1.2复平面复数的向量表示法第13页，课件共116页，创作于2023年2月

o

x

y

(z)

P(x,y)

x

y

称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴

为始边,以

为终边的角的弧度数

称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)复数的模与辐角第14页，课件共116页，创作于2023年2月辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，

k∈Z，把其中满足

的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz.z=0时，辐角不确定.

计算argz(z≠0)

的公式第15页，课件共116页，创作于2023年2月三角表示根据直角坐标与极坐标的关系，非零复数的三角表示定义为：第16页，课件共116页，创作于2023年2月指数表示第17页，课件共116页，创作于2023年2月加法与减法

两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.第18页，课件共116页，创作于2023年2月关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

第19页，课件共116页，创作于2023年2月例题第20页，课件共116页，创作于2023年2月2第21页，课件共116页，创作于2023年2月1.3共轭复数共轭复数的性质定义

若z=x+iy,称

z=x—iy

为z的共轭复数.(conjugate)第22页，课件共116页，创作于2023年2月第23页，课件共116页，创作于2023年2月例1.3.1

试用复数表示圆的方程:其中，a,b,c,d是实常数。解：利用第24页，课件共116页，创作于2023年2月定理1

两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加.证明：设z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1

z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2

则z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]=r1r2ei(θ1+θ2)1.4

乘方与开方因此|z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2第25页，课件共116页，创作于2023年2月几何意义：

将复数z1按逆时针方向旋转一个角度

Argz2，再将其伸缩到|z2|倍.

定理1可推广到n个复数的乘积.

o

x

y

(z)

z1z2z2第26页，课件共116页，创作于2023年2月定理2

两个复数的商的模等于它们的模的商，

两个复数的商的辐角等于被除数与除

数的辐角之差.于是

Argz=Argz2-Argz1即由复数除法的定义

z=z2/z1，即

z1z=z2|z||z1|=|z2|及Argz1+Argz=Argz2（

z1≠0）证明

第27页，课件共116页，创作于2023年2月第28页，课件共116页，创作于2023年2月由公式有：由三个是内角容易得到：

第29页，课件共116页，创作于2023年2月例作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点a,b,c的圆的表示式。第30页，课件共116页，创作于2023年2月作出过不共线三点a,b,c的圆的表示式。a,c,b,z构成一个圆内接四边形第31页，课件共116页，创作于2023年2月复数的乘方利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘方：＝rneinθ特别：当|z|=1时，即：zn=cosnθ+isinnθ，则有

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ＝einθ

-----DeMoivre公式(n对所有整数成立).（n为正整数）第32页，课件共116页，创作于2023年2月问题

给定复数z=rei

，求所有的满足ωn=z的复数ω.

复数的方根（开方）——乘方的逆运算

当z≠0时，有n个不同的ω值与

相对应，每一个这样的ω值都称为z的n次方根，第33页，课件共116页，创作于2023年2月

当k=0，1，…，n-1时，可得n个不同的根，而k取其它整数时，这些根又会重复出现.几何上，

的n个值是以原点为中心，

为半径的圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点.xyo第34页，课件共116页，创作于2023年2月第35页，课件共116页，创作于2023年2月复球面与无穷远点第36页，课件共116页，创作于2023年2月0N1.5复球面与无穷远点第37页，课件共116页，创作于2023年2月x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数的平面表示方法外,还可以用球面上的点来表示复数.

对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一一对应的关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作

.

这样的球面称作复球面.第38页，课件共116页，创作于2023年2月扩充复数域---引进一个“新”的数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点

∞.约定:

称

为扩充复平面，记为

。

关于无穷远点，我们规定其实部、虚部、辐角无意义，模等于：

第39页，课件共116页，创作于2023年2月1.6复平面上的点集第40页，课件共116页，创作于2023年2月1.6复平面上的点集第41页，课件共116页，创作于2023年2月1.6复平面上的点集内点：设D为一个平面点集，z0有一个领域全包含于D内，则称z0为D的内点。开集：若D内的每一点都是内点，则称D是开集.边界点：若点P的任何邻域中都包含D中的点及不属于D的点，则称P是D的边界点；边界：

D的所有边界点组成D的边界，记为。D-区域内点

外点

P

第42页，课件共116页，创作于2023年2月1.6复平面上的点集有界集：若存在M>0,对任意z∈D,均有|z|<＝M，则D是有界区域；否则为无界集.即，若存在一个以原点为中心的圆盘包含D，则称D为有界集，否则称为无界集．例如，复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。zxy有界！o第43页，课件共116页，创作于2023年2月1.6复平面上的点集点集D和平面上一点（不必属于D）之间的关系进行考虑，若的z0任何邻域都有D的无穷多个点，称为极限点（或聚点）。例如，集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圆心的圆盘。圆心a的边界点，它是E边界的孤立点，是集合E的聚点。第44页，课件共116页，创作于2023年2月1.6复平面上的点集闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它。例如，以a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：那么闭圆盘是有界闭集。第45页，课件共116页，创作于2023年2月1.6复平面上的点集无穷远点的邻域：对一切r>0,集合称为无穷远点的一个r邻域。第46页，课件共116页，创作于2023年2月区域第47页，课件共116页，创作于2023年2月定义区域:

如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(1)D是一个开集；(2)D是连通的,就是说D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.区域D加上D的边界称为闭域。记为

D＝D+

D

z1

z2

D第48页，课件共116页，创作于2023年2月说明(2)区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.(1)区域都是开的.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界不包含边界！第49页，课件共116页，创作于2023年2月第50页，课件共116页，创作于2023年2月(1)圆环域:课堂练习判断下列区域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)带形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)无界.第51页，课件共116页，创作于2023年2月定义1.7连续曲线:平面曲线C的复数表示:C的实参数方程C的复参数方程起点z(

)C终点z(

)zxyCC的正向：起点终点o第52页，课件共116页，创作于2023年2月

没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).重点重点重点换句话说,简单曲线自身不相交.z(t1)=z(t2)不是简单闭曲线第53页，课件共116页，创作于2023年2月光滑曲线第54页，课件共116页，创作于2023年2月光滑曲线如果和都在闭区间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在[a,b]上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.第55页，课件共116页，创作于2023年2月简单闭曲线的性质

若尔当定理

任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成C,I(C),E(C)三个互不相交的点集.满足：I(C)E(C)边界（1）I(C)是一个有界区域（称为C的内部）.（2）E(C)是一个无界区域（称为C的外部）.（3）若简单折线P的一个断点属于I(C)，另一个端点属于E(C)

，则P必与C相交.（4）C是I(C)，E(C)

的公共边界.第56页，课件共116页，创作于2023年2月课堂练习判断下列曲线是否为简单曲线?是否为简单闭曲线?答案简单闭简单不闭不简单闭不简单不闭第57页，课件共116页，创作于2023年2月区域的连通性:

设D是一个区域，在复平面C上，如果D内任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点都属于D，则称D是单连通区域;

否则称D是多连通区域。第58页，课件共116页，创作于2023年2月第59页，课件共116页，创作于2023年2月三、典型例题例1

指明下列不等式所确定的区域,是有界的还是无界的,单连通的还是多连通的.解无界的单连通域(如图).第60页，课件共116页，创作于2023年2月是角形域,无界的单连通域(如图).无界的多连通域.第61页，课件共116页，创作于2023年2月表示到1,–1的距离之和为定值4的点的轨迹,是椭圆,有界的单连通域.第62页，课件共116页，创作于2023年2月有界的单连通域.第63页，课件共116页，创作于2023年2月例2解

满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.第64页，课件共116页，创作于2023年2月是多连通域.不是区域.第65页，课件共116页，创作于2023年2月第66页，课件共116页，创作于2023年2月单连通域.第67页，课件共116页，创作于2023年2月第68页，课件共116页，创作于2023年2月1.7复变函数1.复变函数的定义:第69页，课件共116页，创作于2023年2月1.7复变函数第70页，课件共116页，创作于2023年2月1.7复变函数例1例2第71页，课件共116页，创作于2023年2月第72页，课件共116页，创作于2023年2月反函数对于集合G*中的每一个w,一定存在一个或者多个z值与之对应，这就定义了G*上的一个函数，z=y(w),称为函数w

＝f(z)的反函数。当f(z)为单值函数时，其反函数y(w)可能是单值也可能是多值的，如f(z)=z2的反函数是双值的。当函数及其反函数都是单值函数时，称这种函数是双方单值的。第73页，课件共116页，创作于2023年2月o

x

y

(z)

G

o

uv(w)

G

G*

w=f(z)

在几何上，w=f(z)可以看作：

定义域函数值集合映射的概念z

w=f(z)

w

原像像点第74页，课件共116页，创作于2023年2月两个特殊的映射:第75页，课件共116页，创作于2023年2月且是全同图形.第76页，课件共116页，创作于2023年2月第77页，课件共116页，创作于2023年2月根据复数的乘法公式可知,第78页，课件共116页，创作于2023年2月(如下页图)第79页，课件共116页，创作于2023年2月o

x

y

(z)

o

u

v(w)

o

x

y

(z)

o

u

v(w)

R=2R=4第80页，课件共116页，创作于2023年2月W

将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.第81页，课件共116页，创作于2023年2月第82页，课件共116页，创作于2023年2月解例1还是线段.第83页，课件共116页，创作于2023年2月例1解第84页，课件共116页，创作于2023年2月例1解仍是扇形域.第85页，课件共116页，创作于2023年2月例2解第86页，课件共116页，创作于2023年2月所以象的参数方程为第87页，课件共116页，创作于2023年2月复变函数的极限与连续第88页，课件共116页，创作于2023年2月复变函数的极限与连续1.函数极限的定义:注意:一.函数极限:第89页，课件共116页，创作于2023年2月极限的几何意义u

v

(w)

oA

x

y

(z)

o几何意义:

当变点z一旦进入z0

的充分小去心邻域时,它的象点f(z)就落入A的一个预先给定的ε邻域中第90页，课件共116页，创作于2023年2月定理与实变函数的极限性质类似.惟一性复合运算等第91页，课件共116页，创作于2023年2月极限计算的性质定理证根据极限的定义(1)必要性.第92页，课件共116页，创作于2023年2月(2)充分性.第93页，课件共116页，创作于2023年2月[证毕]说明第94页，课件共116页，创作于2023年2月第95页，课件共116页，创作于2023年2月例证(一)第96页，课件共116页，创作于2023年2月根据定理一可知,证(二)第97页，课件共116页，创作于2023年2月第98页，课件共116页，创作于2023年2月例证第99页，课件共116页，创作于2023年2月根据定理一可知,第100页，课件共116页，创作于2023年2月函数的连续性第101页，课件共116页，创作于2023年2月函数的连续性1.连续的定义:

连续的三要素:（1）

f(z)在z0处有定义

（2）f(z)在z0处有极限

（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值第102页，课件共116页，创作于2023年2月2.连续函数的性质定理第103页，课件共116页，创作于2023年2月例如,第104页，课件共116页，创作于2023年2月例

证明f(z)=argz在原点及负实轴上不连续。证明x

y

(z)

ozz第105页，课件共116页，创作于2023年2月例试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续证1：证2：见书本第106页，课件共116页，创作于2023年2月例证第107页，课件共116页，创作于2023年2月第108页，课件共116页，创作于2023年2月小结与思考（1）本课学习了复数的有关概念、性质及其运算.重点掌握复数的运算；（2）理解区域的有关概念:邻域、去心邻域、内点、开集、边界点、边界、区域、有界区域、无界区域、理解单连通域与多连通域.（3）介绍了复球面和扩充复平面。第109页，课件共116页，创作于2023年2月小结与思考

（5）.通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.

注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义虽然在形式上相同,但在实质上有很大的差异,它较之后者的要求苛刻得多.

（4）.复变函数以及映射的概念是本章的一个重点.注意：复变函数与一元实变函数的定义完全一样,只要将后者定义中的“实数”换为“复数”就行了.第110页，课件共116页，创作于2023年2月D’Alembery,JeanleRond（1717-1783）事迹:

1.1739~1740年，他向巴黎科学院提交了关于固体在液体中的运动及积分学的两篇论文，而被选为科学院院士。

2.1754年，他成为法国科学院的〝终身秘书〞，是当时法国科学界最有影响的人。

3.他不仅是数学家，也是力学家和和哲学家。他赞成感性学说，反对笛卡儿的天赋观念。他承认事物、现象是客观存在的，还与法国唯物主义哲学家狄德罗共同编纂了《百科全书》。著作:

1.1743年出版《动力学》。

2.1744年出版《流体的平衡和运动》。

3.1747年，发表了两篇论文：一篇是关于喷流反射的文章，文中首先在数学物理中应用偏微分方程；另一篇是关于弦振动的，其中第一次采用波动方程。4.1749年，又发表了有关天体力学的多篇论文。其后，他更出版了多本的文集及巨著，是位多产科学家。第111页，课件共116页，创作于2023年2月D’Alembery,JeanleRond（1717-1783）特别的故事:

他是被遗弃在教堂附近的贵族妇人的私生子，被人捡起，当时就以发现他的地方作为他的姓名。

D'Alembery,JeanIeRondy：1.极限概念:达朗贝尔是当时唯一把微分看成是函数极限的数学家。2.级数理论:订定达朗贝尔判别式。3.微分方程:达朗贝尔首先将二阶微分方程降阶为一般形式的方程，并命名为黎卡提(Riccati)方程。并且首先提出了波动方程。back第112页，课件共116页，创作于2023年2月欧拉(Euler)瑞士数学家及自然科学家。1707年4