专题14-一次函数中的最值问题(解析版)

PAGE1页（25页）专题十四一次函数中的最值问题考点一坐标系中两点之间的距离最值问题【方法点拨】①点到直线的垂线段最短；②两点之间线段最短。2m 图点P坐2点B直线yxm运动线段B短时B长是 2+2 ．2m 【思路点拨】当线段PB最短时，PB与直线y＝x+m垂直，根据解析式即可求得C、D的坐标，然后根据勾股定理求得CD，然后根据三角形相似即可求得PB的最短长度．【解析】解：当线段PB最短时，PB⊥CD，如图所示：由直线﹣x+mC﹣m0D（0m，∴OC＝m，OD＝m，∴CD=2m，∵点P20，∴PC＝2+m，∵∠PCB＝∠DCO，∠PBC＝∠DOC＝90°，∴△PBC∽△DOC，PB∴OD

PC PB，即

2+m2m，2m∴PB=

CD m+2．22故答案为：

2m22+2m．22【点睛】本题考查了垂线段最短的性质，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，熟知垂线段最短是解题的关键．P2AxB随之yP到原点的最大距离是1+3；若将△ABP22P到原点的最大距离变为1+5．1【思路点拨】根据当O到AB的距离最大时，OP的值最大，得到O到AB的最大值是2AB＝1，此时在斜边的中点M上，由勾股定理求出PM，即可求出答案；将△ABP的PA边长改为22，另两边长度不变，根据22+22=(22)2，得到∠PBA＝90°，由勾股定理求出PM即可【解析】解：取AB的中点M，连OM，PM，2在Rt△ABO中，OM=AB=1，在等边三角形ABP中，PM=3，2无论△ABP如何运动，OM和PM的大小不变，当OM，PM在一直线上时，P距O最远，1∵O到AB的最大值是2

AB＝1，22−12M22−12∴OP＝1+3，

=3，将△AOP的PA边长改为22，另两边长度不变，∵22+22=(22)2，12+22∴∠PBA＝9012+22∴此时OP＝OM+PM＝1+5．故答案为：1+3，1+5．

=5，【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，坐标与图形性质，三角形的三边关系，勾股定理的逆定理等边三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据理解题意求出PO的值是解此题的关键．考点二坐标内的线段和（差）最值问题【方法点拨】运用“将军饮马”模型和最小，差最大3如图，已知点A的坐标为（0，1，点B的坐标为（2，﹣2，点P在直线y＝﹣x上运动，当|﹣B|最大时点P的坐标为（ ）A（﹣2） （﹣4）

5 −5） D（﹣5）2，22，【思路点拨】根据轴对称的性质及待定系数法可求得答案．A关于直线＝﹣x对称点CC﹣10C的方程为y=−4x−4；5 5求C与直线y﹣x（4﹣4；此时|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|＝BC取得最大值，其他BCP不共线的情况，根据三角形三边的关系可得|PC﹣PB|＜BC；故选：B．【点睛】本题考查轴对称的运用，有很强的综合性，难度较大．如图，在平面直角坐标系中，t△OB的顶点A在x轴正半轴上，顶点B的坐标为（3，3，点C的1坐标为（2，0）点P的斜边OB上一个动点，则的最小值为（ ）13A．2

312

3+1972 D．27AOBCDOBDDN⊥OAAMADDN、CNCD，即可得出答案．AOBDCDOBPAPDDN⊥OAN，的值最小，∵DP＝PA，∴PA+PC＝PD+PC＝CD，∵（3，，∴AB=3，OA＝3，∵tan∠AOB=AB=3，3∴∠AOB＝30°，∴OB＝2AB＝23，由三角形面积公式得：1×OA×AB=1×OB×AM，2 22∴AM=3，22∴AD＝2×3=3，2∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN=1AD=3，由勾股定理得：DN=33，2 2 21∵（20，∴CN＝3−1−3=1，2 2Rt△DNC中，由勾股定理得：DC=31

3112+(3212+(323)2=即PA+PC的最小值是2．故选：B．﹣30度角的直角三角形P点的位置，题目比较好，难度适中．3如所的面直坐系中点A的标（44点B的标25在x轴有动点P，要使的距离最短，则点P的坐标是(−4．3【思路点拨】先作出点A关于x轴的对称点A1，再连接A1B，求出直线A1B的函数解析式，再把y＝0代入即可得．AxA﹣4﹣4，连接1B交x，∵B2，，∴直线A1B的函数解析式为y＝1.5x+2，3．把P点的坐标（n，0）代入解析式可得n=−3．3∴点P的坐标是(−4，0)．3【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．OABC6A、Cx轴，yDOA上，且D（，0，P是OBD+A21．D关于OB的对称点DD（02DAD′的长，利用勾股定理即可求解．D关于OB的对称点DD（02DAD′的长．ะ2+ะ2+

4+36= =2104+36则PD+PA和的最小值是210．故答案是：210．【点睛】本题考查了正方形的性质，以及最短路线问题，正确作出P的位置是关键．2y=1x+2xyABABRt2△ABC，∠BAC＝90°．（A（x1y1Bx2y2①AB（x1+x2y1+y22 2②AB= (x1−x2)2+(y1−y2)2）AB的长；B、C两点的直线对应的函数表达式．DBCABPPC+PD有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【思路点拨】（1）求出一次函数图象与x轴交点坐标，再利用勾股定理求出AB的长即可；CCExACEAOBCBC解析式即可；DDP点，根据解方程组，可得E点坐标，根据中点坐标公式，可得D′，根据两点间的距离，可得答案．21y=1x2，2令＝0，得到y2y＝，得到x﹣4﹣4，，0，，OA2+OB2∴OA＝4，OB＝2，OA2+OB2

=25；（2）过C作CE⊥x轴，可得∠ECA+∠CAE＝90°，∵△BAC为等腰直角三角形，∴AC＝AB，且∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠OAB＝90°，∴∠ECA＝∠OAB，在△ECA和△OAB中，∠ECA=∠OAB∠CEA=∠AOB=90°CA=AB△E△O（S，∴CE＝OA＝4，AE＝OB＝2，即OE＝OA+AE＝6，∴点C﹣，4．设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（0，2）与C（﹣6，4）代入得：b=2 ，−6k+b=43解得：k=−1，3b=23则直线BC解析式为y=−1x+2；3（3） ，作出D关于直线AB的对称点D′，连接CD′，交直线AB于点P，此时CP+DP最小，∵点D为BC的中点，0−6 2+4∴点D（2，2D﹣33，∵直线AB解析式为y=1x+2，k=1，2 2DDk＝﹣2DDy＝kx+b，k＝﹣2，D（﹣3，3）b＝﹣3，∴直线DD′解析式为y＝﹣2x﹣3，AB解得：x=−2，y=1

y=−2x−32y=1x+2，2E（21．设D（xyx−3 y+32 =−2，2 =1，解得x＝﹣1，y＝﹣1，(−6+1)2+(4+1)2∴D﹣1﹣1，(−6+1)2+(4+1)2

=52．【点睛】本题考查了一次函数综合题，解（1）的关键是利用两点间的距离公式；解（2）的关键是利用全等三角形的判定与性质得出C点坐标，又利用了待定系数法求函数解析式；解（3）的关键是利用轴对称的性质得出P点坐标，又利用了对称点的中点在对称轴上得出D′点坐标．（84B⊥yBC⊥xC，直线yx交B于D．B、C、D三点坐标；EODEa，△BCESSa的关系式；S＝20EEF⊥ABF，G、HAC、CBFG+GH的最小值．（1）ABOCy＝xOB＝BD，延长即可解决问题；S＝S△OBE+S△OEC﹣S△OBC计算即可解决问题；EFACFF′H⊥BCHAC于G．此时FG+GH的值最小；1∵By，Cx，PAGE10页（25页）∴∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，∴四边形ABOC是矩形，∵（84，∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，∴（04（80，y＝xABD，∴∠BOD＝45°，∴OB＝DB＝4，∴D4，．（2由题意Eaa，∴S＝S

OBE+SOEC﹣SOBC=1×4×a+1×8×a−1×4×8＝6a﹣16．△ △ △ 2 2 2（3）当S＝20时，20＝6a﹣16，解得a＝6，∴（66，∵EF⊥AB于F，∴（64，FACF′H⊥BCACFG+GH的值最小．∵∠ABC＝∠F′BH，∠BAC＝∠F′HB，∴△ABC∽△HBF′，AC BCBFะ∴Fะ= ，BFะ∵AC＝4，BC=42+8242+82410

=45，BF′＝AB+AF′＝8+2＝10，∴Fะ= ，∴F′H＝25，∴FG+GH的最小值＝F′H＝25．【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的判定和性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．考点三坐标系中三角形周长最小问题【方法点拨】通常已知一线段是定值，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小AB（，4）30，点C是yA、B、C三点不在同一条直线上，当△ABCC的坐标是（0，3）．【思路点拨】根据轴对称做最短路线得出AE＝B′E，进而得出B′O＝C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．ByBAByC′，此时△ABC的周长最小，∵点、B（14和3，，∴﹣，0，＝4，B′E＝4B′E＝AE，∵C′O∥AE，∴B′O＝C′O＝3，∴点0，C（03．【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．OACBOA、Bxy轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，点E为边OA上的一个动点．CD所在直线的解析式；当△CDEE的坐标；EOADECF为顶点的四边形是平行四边F点的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）先求出C、D的坐标，再用待定系数法即可求出线段CD所在直线的解析式；当△CDE的周长最小时，DE+CEDOADCDOAE，DE+CE最小，证明△OED′∽△AECOE即可；FM⊥xEMF≌△CBDOM＝BC＝3，FM＝DB＝2，OM＝1.5+3＝4.5，即可得出F的坐标；②DEFN⊥xN，则F1N∥FMNE＝ME＝3，NF1＝FM＝2，ON＝1.5，即可得出结果；③DC为对角线时，作F1Q⊥y轴于Q，作F2P⊥y轴于P；同②，即可得出结果．1∵四边形OB∴AC＝OB＝4，∠OBC＝90°，∵D为OB的中点，∴OD＝BD＝2，∴（34D0，，设线段CD所在直线的解析式为y＝kx+b，入（30D02得：3k+b=4 ，b=23解得：k=2，b＝2，33∴线段CD所在直线的解析式为：y=2x+2；3当△CDE的周长最小时，DE+CE最小；DOADCDOAE1所示：则D（0﹣，D＝DE∴DE+CE＝D′E+CE═CD′，∵∠OBC＝90°，BD′＝6，∵AC∥OB，∴△OED′∽△AEC，E ะ 2 12∴AE=AC=4=，2∴AE＝2AE，∵OA＝3，∴OE＝1，∴（10；存在；分三种情况：①CE为对角线时，作FM⊥x轴于M；如图2所示：∵BC∥OA，∴∠MEC＝∠BCE，∵四边形DEFC是平行四边形，∴CD∥EF，∴∠FEC＝∠DCE，∴∠MEF＝∠BCD，在△EMF和△CBD中，∠FᣀE=∠DBC=90°∠ᣀEF=∠BCD ，EF=CD△MF△D（S，∴OM＝BC＝3，FM＝DB＝2，∴OM＝1.5+3＝4.5，∴（4.2；②DE为对角线时，作F1N⊥x轴于N，则F1N∥FM，如图2所示：∵EF1＝CD＝EF1，∴NE＝ME＝3，NF1＝FM＝2，∴ON＝1.5，∴﹣1.5﹣2；③DCF1Q⊥yQF2P⊥yP，如图所示：同②得：PF2＝F1Q＝ON＝，1.5，PD＝DQ＝4，∴OP＝6，∴（1.，6；F（4.52，或1.，，或﹣1.52．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了矩形的性质、用待定系数法确定一次函数的解析式、相似三角（2（3）OACBOA、Bx轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，DOB的中点．（1）点D的坐标为（0，2）；（2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．C、DCDCDEDE+CE有最小值．为此，DxDECD′上时，△CDE的周长最小．1∵O＝，DOB∴OD＝2，∴D0，，（，2；（2）DxDCDxEDE．OAEECE′、DE′、D′E′由DE′+CE′＝D′E′+CE′＞CD′＝D′E+CE＝DE+CE，可知△CDE的周长最小．∵在矩形OACB中，OA＝3，OB＝4，D为OB的中点，∴BC＝3，D′O＝DO＝2，D′B＝6，∵OE∥BC，E O∴△D′O∽△D′，有BC=B，∴OE＝1，∴点E10．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．考点四坐标系中四边形周长最小问题【方法点拨】已知两线段为定值，通过平移的方法，运用“将军饮马”模型求另外两线段和最小7的周长最小时，a的值为．4B关于xCNDBN为定值所以NBN＝CN＝PDAP+PDADxPQ＝AD最小．【解析】解：作B关于x轴的对称点C，连结CN，作平行四边形PNCD，∵AB、PN为定值∴PA+BN最小即可∵BN＝CN＝PD∴只要AP+PD最小作直线AD交x轴于Q，当P与Q重合时，AP+PD＝AD最小∵（13D2﹣1）4∴直线AD为：y＝﹣4x+7当y＝0时，x=7，47∴Q为（4，0）∵P、Q重合4∴a=7．4【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，平行四边形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建平行四边形，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．OACBOA、Bx轴、y轴的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF＝2，当四边形CDEF的周长1E、F的坐标分别为（3

7，（3

，0），并在图中画出示意图．DC、EFCDEFDE+FC有最小值．为此，DxCBED′GCDEF的周长最小．DxD'CBCG＝2D'GxE，EAEF＝2，∵GC∥EF，GC＝EF，GEFCGE＝CF．又∵DC、EF的长为定值，∴此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小，∵OE∥BC，E O∴△D'O∽tD'G，有BG=B．∴O=OBG=O(CC)=2×1=1B B 6 3∴OF＝OE+EF=1+2=7．3 31 7∴点E的坐标为（31

0F（37

，0．（30（30．【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边．考点五其它最值问题1y＝kx+b，当﹣2≤x≤6﹣11≤y≤9，则此一次函数的解析式为y=5x6或y=−5x+4．2 2【思路点拨】根据函数自变量的取值范围用待定系数法求函数解析式．【解析】解：∵y是x的一次函数，当﹣2≤x≤6时，﹣11≤y≤9．设所求的解析式为y＝kx+b，分两种情况考虑：（1）将x＝﹣2，y＝﹣11代入得：﹣11＝﹣2k+b，将x＝6，y＝9代入得：9＝6k+b，22联立解得：k=5，b＝﹣6，y=5x﹣6；22（2）将x＝6，y＝﹣11代入得：﹣11＝6k+b，将x＝﹣2，y＝9代入得：9＝﹣2k+b，2联立解得：k=−5，b＝4，22则函数的解析式是y=−5x+4．2综上，函数的解析式是y=5x﹣6或y=−5x+4．2 2故答案为：y=5x﹣6或y=−5x+42 2【点睛】本题要注意利用一次函数自变量的取值范围，来列出方程组，求出未知数，写出解析式．M（2，3（6，3，连接N，如果点P在直线y＝x+1P到直线NP是线段N判断点A2﹣1N若点（，b是线段Na在（2）a的代数式表示△MNPS△MNPS△MNP的最小值．【思路点拨】（1）求出A到MN的距离，再判断即可；ba的范围即可；

MNP=1×4×|﹣a+1﹣（﹣3）|，再去掉绝对值符号即可．△ 21点2﹣1是线段N理由是：∵（2﹣、（6﹣，（﹣1，∴A到直线MN的距离为﹣1﹣（﹣3）＝2＞1，∵点P到直线NP是线段N∴点（2﹣是线段N（2∵点（，b是线段NM（2﹣、6﹣3，∴|b﹣（﹣3）|≥1，∴b≥﹣2b≤﹣4，y＝﹣x+1得：﹣a+1≥﹣2或﹣a+1≤﹣4，解得：a≤3a≥5，即a的取值范围是a≤3或a≥5；（3∵（﹣3N（﹣3，∴MN＝6﹣2＝4，∴S =1×4×|﹣a+1﹣（﹣3）|=−2a+△MNP 2

，2a−8(a＞4)∵a≤3或a≥5，∴S△MNP的最小值是2．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的特征，一次函数的性质等知识点，能根据“疏远点”的意义列出算式是解此题的关键．M1．y＝x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；y＝﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）22b的取值范围．【思路点拨】（1）根据有界函数的定义即可得出函数y＝x+1（﹣4≤x≤2）是有界函数，再代入x＝﹣4和x＝2即可得出其边界值；（2）y＝﹣x+12a的值，bb的一元一次不等式组，解不等式b的取值范围；1＝x1﹣4x2∵﹣4+1＝﹣3，2+1＝3，∴y＝x+1（﹣4＜x≤2）边界值为3．（2）∵k＝﹣1＜0，∴函数y＝﹣x+1的图象是y随x的增大而减小，∴当x＝a时，y＝﹣a+1＝2，解得：a＝﹣1；当x＝b时，y＝﹣b+1，−2≤−b+1≤2∴，a=−1∴﹣1＜b≤3；（1）（找出关于b请阅读下述材料，并解答问题x2x2+1

+ (x3)24的几何意义，并求它的最小值．解：在平面直角坐标系中，已知两点P1（x1y1P2（x2y2）则这两点间的距离公式为：(x1−x2)2(x1−x2)2+(y1−y2)2(x−0)2+(0−1)2(x−0)2+(0−1)2(x−3)2+(0−2)2如图建立直角坐标系，点P（x，0）是x轴上一点，则(x−0)2+(0−1)2可以看成点P与点A（0，1）2的距离，(x3)202)2PPBAxA的最小A′BA′BA′CBA′C＝3，CB＝3A′B＝3232解答问题：(x−1)2+1（1代式 + (x−22+9的可看平直坐系点x0与点（(x−1)2+1点（23）（填写点B；x2+49（2）代数式 +x2−12x+37的最小值为x2+49【思路点拨】（1）模仿例题即可解决问题；（2）用转化的思想思考问题即可；1B（23；（23．x2+49x2−12x+x2+49x2−12x+37x2+72+ (x−6)2+12，x2+49求 +2−1x+3的小相于在x轴找点（x0，使得P到A07x2+491）的距离之和的最小值，Ax的最小值，A