2021年河北省衡水市阜城县第二初级中学中考数学二轮复习 数据的分析复习

数据的分析复习（1）

—'知识再现

1.平均数反映的是一组数据的平均水平，其计算方法是，用一组数据中所有

数据之和这组数据的个数.

2.一般地，若〃个数Xl,X2,…，X"的权分别是W1,W2,…卬"，则叫

做这n个数的加权平均数.

3.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇

数，则称处于的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称

中间为这组数据的中位数.

4.一组数据中出现次数的数据称为这组数据的众数.

5.设有〃个数据汨，及，-x„,各个数据的平均数是元，则$2=叫做

这组数据的方差.

6.方差反映的是一组数据偏离的程度.方差越大，数据的波

动;方差越小，数据的波动.

7.标准差是方差的,它也是用来衡量数据的波动程度的.

8.一组数据中与的差叫做极差.

二'典例精析

1.算术平均数的计算

例1如果一组数据5,x,3,4的平均数是5,那么户.

解析：根据算术平均数的定义，得5+*+3+4=5,解得尤=8.故应填8.

4

2.加权平均数的计算

例2某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试成绩按40%、面试成绩按60%

计算加权平均数作为总成绩.小华笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小

华的总成绩是（）.

A.87分B.87.5分C.88分D.89分

解析：加权平均数一般以比例或百分数的形式出现，用各数据乘以各自的比

例系数或百分数求和即可.因为笔试成绩按40%、面试成绩按60%计算，所以总

成绩是90x40%+85x60%=87（分）.故应选A.

3.统计量的综合计算

例3一组数据1,5,7,x的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是

().

A.6B.5C.4.5D.3.5

解析：因为这组数据共有4个，所以中位数是中间2个数的平均数.又因为

众数和中位数相同，所以45.所以，这组数据为1,5,5,7,则平均数为

x=-x(l+5+5+7)=4.5.故选C.

4

例4某篮球队10名队员的年龄结构如下表所示.已知该队队员年龄的中位

数为21.5,则众数与方差分别为().

年龄192021222426

人数11Xy21

A.22,3B.22,4C.21,3D.21,4

解析：因为共有10名队员，所以x+y=5.又因为中位数为21.5,且中位数是

将年龄按照从小到大顺序排列排在第5位和第6位的平均数，所以21岁的队员

有3名，22岁的队员有2名，即43,y=2.所以，年龄的平均数工=^x(19+20+

+21x3+22x2+24x2+26)=22,方差s2=-5-[(19-22)2+(20-22)2+(21-22)2X3+

10

(22-22)2X2+(24-22)2X2+(26-22)2]=4.因为众数是一组数据中出现次数最多的

数，所以众数为21.故选D.

4.统计量的选择

例5某校有35名同学参加某地的文化知识竞赛，预赛分数不相同，取前

18名同学参加决赛.其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛,

只需要知道这35名同学分数的().

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

解析：将35名学生成绩按从大到小的顺序排列好后，处在中间位置的是第

18名同学的成绩，也就是这组数据的中位数，因此能进入决赛的同学，取得的

成绩一定大于等于中位数同学的成绩.故选B.

5.利用“三数”做抉择

例6在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽

取的10名学生的坐位体前屈的成绩(单位:cm)如下：11.2,10.5,11.4,10.2,

11.4,11.4,11.2,9.5,12.0,10.2.

(1)通过计算可知，样本数据(10名学生的成绩)的平均数是10.9,中位数

是，众数是.

(2)一个学生的成绩是11.3cm,你认为他的成绩如何？请说明理由.

(3)研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被

评定为“优秀”等级.如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认

为标准成绩应该定为多少？请说明理由.

解析：(1)将原数据按照从小到大的顺序重新排列如下：9.5,10.2,10.2,

10.5,11.2,11.2,11.4,11.4,11.4,12.0.所以，中位数是11.2,众数是11.4.

(2)可以从不同角度进行说明，答案不唯一.

从中位数角度分析，因为样本数据的中位数是11.2,据此推测在本次测试中

全市大约有一半学生的成绩大于11.2cm,有一半学生的成绩小于11.2cm.因为

这位学生的成绩是11.3cm,大于中位数11.2cm,所以他的成绩比一半以上学生

的成绩好.

从平均数角度分析，因为样本数据的平均数是10.9,据此推测本次测试全市

学生的平均成绩是10.9cm.因为这位学生的成绩是11.3cm,大于平均成绩，可

以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好.

(3)如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为

“11.2cm”(中位数).因为从样本情况看，成绩在11.2cm以上(含11.2cm)的学

生占总人数的一半左右.据此估计，如果标准成绩定为11.2cm,全市将有一半左

右的学生能够评定为“优秀”等级.

三、方法技巧

L统计量的计算

例1一组数据-1,3,0,5,a的极差是7,那么这组数据的中位数可能是().

A.3B.OC.5D.3或0

解析：对a是最大值还是最小值分情况讨论即可.

当。是最大值时，a~(-1)=7,所以a=6；

当a是最小值时，5-a=7,所以。=-2,

所以a=6或a=-2,则这组数据的中位数是3或0.

故选D.

2.相关数据组方差的计算

例2一组数据X”X2,…,X"的方差是V,那么新的一组数据0X1+1,GC2+1，…，

办“+1（a为非零常数）的方差是.（用含。和/的代数式表示）

解析：设数据Xl,XI,…，X”的平均数为了，则新数据OXl+1,<7X2+1,…，

axn+\的平均数为L[（0X1+1）+（ar2+l）4-**+（arn+l）]=—[{ax\+axi+''-+ax,^+n]

nn

=血+1.显然，新数据的方差为L[（^ax\-dx）2+（ax2~cix）2+"-+{ax,rdx）2]=—

nn

2222

Q（JCJ（X

X2[-J）+2-X）2+…+（Xn-J）]=aS.

3.根据统计量作出分析判断

例3某中学开展演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5

名选手参加复赛，两个班选出的5名选手的复赛成绩（满分100分）如图所示.

（1）根据统计图填写表格中的数据.

平均数中位数众数极差方差

（分）（分）（分）（分）（分2）

九（1）班858570

九（2）班8580

（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数、极差、方差，分析哪个班级的

复赛成绩较好？

（3）如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班

的实力更强一些？说明理由.

解析：（1）九（1）班的成绩按从小到大的顺序排列为75,80,85,85,100,

第3个数是85,即九（1）班成绩的中位数是85,极差是100-75=25;九（2）

班的成绩为70,75,80,100,100,出现次数最多的是100,则九（2）班成绩

的众数是100,极差是100-70=30,方差是$2=（[（70-85）2+（75-85）2+（80-85）2

（100-85）2*2]=160.

（2）因为两班的平均数相同，九（1）班的中位数较低，但是极差与方差均

比九（2）班小，所以九（1）班的复赛成绩较好.

（3）因为九（1）班前两名选手的平均分为92.5分，九（2）班前两名选手

的平均分为100分，所以在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，九（2）

班的实力更强一些.

四、专项训练

1.一组数据2,4,6,5,2,4,则这组数据的中位数是（）.

A.2B.4C.5D.6

2.数据8,8,6,5,6,1,6的众数是（）.

A.lB.5C.6D.8

3.体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的

成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（）.

A.平均数B.频数分布

C.中位数D.方差

4.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是

9.4环,方差分别是4=0.90,4=1.22,，=0.43,咛=1.68.在本次射击测试中,

成绩稳定的是（）.

A.甲BZC.丙D.T

5.对于一组统计数据：2,3,6,9,3,7,以下说法错误的是（）.

A.众数是3B.中位数是6

C.平均数是5D.极差是7

6.（2020•济南）某班级开展“好书伴我成长”读书活动，统计了1至7月

份该班同学每月阅读课外书的数量，绘制了折线统计图，下列说法正确的是

().

A.每月阅读课外书本数的众数是45

B.每月阅读课外书本数的中位数是58

C.从2到6月份阅读课外书的本数逐月下降

D.从1到7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多45

7.某排球队6名场上队员的身高（单位:cm）是:180,184,188,190,190,

194.现用两名身高分别为185cm和188cm的队员换下场上身高为184cm和190

cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）.

A.平均数变小，众数变小

B.平均数变小，众数变大

C.平均数变大，众数变小

D.平均数变大，众数变大

8.小明已求出了五个数据：6,4,3,4,口的平均数，在计算它们的方差时,

出现了这样一步：（3—5）2+（4-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（口-5）2=16（□

是后来被遮挡的数据），则这组数据的众数和方差分别是（）.

A.4,5B.4,3.2C.6,5D.4,16

9.在演讲比赛活动中，7位评委分别给出某位选手的原始评分，评定该选手

成绩时，从7个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分.5

个有效评分与7个原始评分相比，这两组数据不可能变化的是（）.

A.中位数B.众数C.平均数D.方差

10.下表是某小组5名同学体育素质测试成绩，有两个数据被遮盖，那么被

遮盖的两个数据依次是（）.

编号12345方差平均成绩

得分3834■3740■37

A.36,3B.36,4C.35,3D.35,2

11.（2020-东营）东营市某学校女子游泳队队员的年龄分布如下表所示,

则该校女子游泳队队员的平均年龄是岁.

年龄（岁）131415

人数474

12.一组数据10,8,9,x,5的众数是8,那么这组数据的方差是.

13.数据1,2,3,a的平均数是3,数据4,5,a,。的众数是5,那么a+b=.

五'拓展阅读

更贴近普通民众的中位数

如果比尔•盖茨和十几个穷光蛋在一个房间里，这个房间里十几个人的平均

收入就都超过亿元.因为比尔•盖茨和穷光蛋的收入差距过大，导致平均数值缺

乏实际参考意义.但如果用中位数来衡量，就知道房间里起码有一半人是穷光蛋.

如果不提收入的中位数，而只讲平均收入常常会遇到一些可笑的做法.比如：一

个一千人的社区，如果要把人均收入从3000元提高10%,只需要该社区引进一

个年收入3033万元老板落户即可.虽然提高人均收入的“政绩工程”效果显著，

但社区群众的收入水平并未发生变化.由此可见，中位数有助于了解普通民众的

收入水平，而中位数与平均数的差异，则有助于了解全体民众的集中程度.

参考答案：l.B2.C3.D4.C5.B6.B7.A8.B9.A10.B11.14

12.2.813.11

数据的分析复习（2）

一、知识再现

1.几个数相加的和除以相加数的个数,所得的—，叫作这组数据的平均数.

2.一般地，对于几个数Xl,X2,…X"的权分别是Wl，W2,…则叫

做这〃个数的加权平均数.

3.将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇

数，则称处于的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中

间为这组数据的中位数.

4.一组数据中出现次数的数据称为这组数据的众数.

5.设有〃个数据为，X2,…%,各个数据的平均数是X，则$2=叫做这

组数据的方差.

6.方差反映的是一组数据偏离的程度.方差越大，数据的波动；方

差越小，数据的波动.

7.标准差是方差的,它也是用来衡量数据的波动程度的.

8.一组数据中与的差叫做极差.

二'典例精析

1.算术平均数的计算

例1如果一组数据5,X,3,4的平均数是5,那么A.

5+r4-3+4

解析：根据算术平均数的定义，得三二二5,解得48.故应填8.

4

2.加权平均数的计算

例2某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试成绩按40%、面试成绩按60%

计算加权平均数作为总成绩.小华笔试成绩为90分，面试成绩为85分，那么小

华的总成绩是().

A.87分B.87.5分C.88分D.89分

解析：加权平均数一般以比例或百分数的形式出现，用各数据乘以各自的比

例系数或百分数求和即可.因为笔试成绩按40%、面试成绩按60%计算，所以总

成绩是(90x40%+85x60%)=87(分)，故应选A.

3.统计量的综合计算

例3一组数据1,5,7,x的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是

().

A.6B.5C.4.5D.3.5

解析：因为这组数据共4个，所以中位数是中间2个数的平均数，又因为众

数和中位数相同，所以45,这组数据为1,5,5,7,则平均数为元=，x(l+5+

4

5+7)=4.5.故选C.

例4某篮球队10名队员的年龄结构如下表，已知该队队员年龄的中位数

为21.5,则众数与方差分别为().

年龄192021222426

人数11Xy21

A.22,3B.22,4C.21,3D.21,4

解析：因为共有10名队员，所以x+y=5,又因为中位数为21.5,且中位数

是将年龄按照从小到大顺序排列排在第5位和第6位的平均数，所以21岁的队

员有3名，22岁的队员有2名，即户3,y=2,...年龄平均数了=5x(19+20+21x3

+22x2+24x2+26),则其方差52=木[(19-22)2+(20-22)2+(21-22)2x3+(22-22)2x2

+(24-22)2x2+(26-22)2]=4,因为众数是一组数据中出现次数最多的数，根据题表

可得众数为21.故选D.

4.统计量的选择

例5某校有35名同学参加某地的文化知识竞赛，预赛分数不相同，取前

18名同学参加决赛.其中一名同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛,

只需要知道这35名同学分数的().

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

解析：将35名学生成绩按从大到小的顺序排列好后，处在中间位置的是第

18名同学的成绩，也就是这组数据的中位数，因此能进入决赛的同学，取得的

成绩一定大于等于中位数同学的成绩.故选B.

5.利用“三数”做抉择

例6在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽

取的10名学生的坐位体前屈的成绩(单位:cm)如下：11.2,10.5,11.4,10.2,

11.4,11.4,11.2,9.5,12.0,10.2.

(1)通过计算，样本数据(10名学生的成绩)的平均数是10.9,中位数是—,

众数是;

(2)一个学生的成绩是11.3cm,你认为他的成绩如何?说明理由；

(3)研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被

评定为“优秀”等级.如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认

为标准成绩定为多少?说明理由.

解析：(1)将原数据按照大小顺序排列重新排列为：9.5,10.2,10.2,10.5,

11.2,11.2,11.4,11.4,11.4,12.0.

.•.中位数是11.2,众数是11.4.

(2)可以从不同方向说明，答案不唯一.

①从样本数据的中位数是11.2得到，可以估计在这次坐位体前屈的成绩测

试中，全市大约有一半学生的成绩大于11.2cm,有一半学生的成绩小于11.2cm,

这位学生的成绩是11.3cm,大于中位数11.2cm,可以推测他的成绩比一半以上

学生的成绩好；

②从样本数据的平均数是10.9得到，可以估计在这次坐位体前屈的成绩测

试中，全市学生的平均成绩是10.9cm,这位学生的成绩是11.3cm,大于平均成

绩，可以推测他的成绩比全市学生的平均成绩好；

（3）如果全市有一半左右的学生评定为“优秀”等级，标准成绩应定为“11.2

cm”（中位数）.因为从样本情况看，成绩在11.2cm以上（含11.2cm）的学生占总人

数的一半左右.可以估计，如果标准成绩定为11.2cm,全市将有一半左右的学生

能够评定为“优秀”等级.

三、方法技巧

1.变化方差的计算

例1一组数据X1,X2,…，X"的方差是$2,那么新的一组数据以|+1,奴2+1,…，

以“+1为非零常数）的方差是（用含。和S2的代数式表示）

解析：数据XI,X2,,,,,X"的方差是设它们的平均数为了，所以新数据

oxi+1,0X2+1,…，ax+1的平均数为—[（axi+l）+（ax2+l）+•,,（ax,；+!）]=—[（ax\+ax2+

nnn

…+aX"）+”]=dx+\,它们的方差是（axi-成）2+（ax2-成＞+…+（＜7为厂忒）2]=/

n

[（X1-X）2+（X2-X）2+-"+（Xn-X）2]=a2s2.

2.统计量的综合应用

例2某中学开展演讲比赛活动，九（1）、九（2）班根据初赛成绩各选出5

名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分100分）如图所示.

（1）根据图示填写下表:

平均数中位数众数极差方差

（分）（分）（分）（分）（分2）

九（1）班858570

九（2）班8580

（2）结合两班复赛成绩的平均数和中位数、极差、方差，分析哪个班级的

复赛成绩较好？

（3）如果在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，你认为哪个班的

实力更强一些?并说明理由.

解析：（1）九（1）班的成绩按从小到大的顺序排列为75,80,85,85,100,

第3个数是85,即九（1）班的中位数是85,极差是100-75=25;九（2）班的

成绩为70,100,100,75,80,出现次数最多的是100,则九（2）班的成绩的

众数是100,极差是100-70=30,方差是52=（[（70-85）2+（100-85）2+（100-85）

2+（75-85）2+（80-85）2]=160;

（2）因为两班的平均数相同，九（1）班的中位数较低，但是极差与方差均

比九（2）班小，所以九（1）班的复赛成绩较好；

（3）因为九（1）班、九（2）班前两名选手的平均分分别为92.5分，100

分，所以在每班参加复赛的选手中分别选出2人参加决赛，九（2）班的实力更

强一■些.

四'专项训练

1.一组数据2,4,6,5,2,4,则这组数据的中位数是（）.

A.2B.4C.5D.6

2.数据8,8,6,5,6,1,6的众数是（）.

A.lB.5C.6D.8

3.体育课上，某班两名同学分布进行