2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)

2017-2018高二上学期期末考试数学试题(理科)2017-2018学年度高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。注意事项：1.考生必须在答题卡、纸的规定位置上填涂姓名、准考证号、考试科目和试卷类型。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，先用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。答案不能写在试题卷上。3.第Ⅱ卷答案必须写在答题纸各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不按以上要求作答的答案无效。D.存在两条异面直线a和b，a在面α上，b在面β上，且a//面β，b//面α。6.圆心在直线x-y+2=0上，且与两坐标轴都相切的圆的方程为A.x^2+y^2+2x-2y+1=0B.x^2+y^2-2x+2y+1=0C.x^2+y^2+2x-2y=0D.x^2+y^2-2x-2y=07.如图，ABCD是正方体，下面结论错误。A.BD//平面CBB.AC⊥BDC.AC⊥平面CBD.异面直线AD与CB的角为60°8.设椭圆C1的离心率为5，焦点在x轴上且长轴长为26。若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A.(x^2/2^2)-(y^2/2^2)=1B.(x^2/3^2)-(y^2/2^2)=1C.(x^2/2^2)-(y^2/3^2)=1D.(x^2/3^2)-(y^2/3^2)=19.正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是A.πa^3B.πa^2C.2πaD.3πa^210.已知命题p：对于所有的x∈R，sinx≤1，则命题“非p”为A.存在x∈R，使得sinx≥1B.对于所有的x∈R，sinx≥1C.存在x∈R，使得sinx>1D.对于所有的x∈R，sinx>111.将半径为1的球形容器内的水倒入底面半径为1的圆锥容器中恰好倒满，求圆锥形容器的高h=A.8B.6C.4D.212.抛物线y=2x的焦点坐标是A.(0,1)B.(1,0)C.(0,2)D.(2,0)10.根据三视图，我们可以看出这个几何体是一个正方体。正方体的体积公式是边长的立方，因此答案是8，选C。11.选项中第一部分描述的是p的取值范围，第二部分描述的是q的性质。只有当p的取值范围满足第一部分的条件，且q的性质满足第二部分的条件时，p是q的充分必要条件。根据这个定义，我们可以得到第一、二、四个选项都是正确的，而第三个选项是错误的。12.根据题目描述，我们可以画出如下的图形：P/\/\/\/\F1-------F2由于P是椭圆和双曲线的一个公共点，因此它到F1和F2的距离之和等于椭圆和双曲线的焦距之和。设椭圆和双曲线的焦距分别为f1和f2，则有PF1+PF2=2f1+2f2。又因为PF1和PF2互相垂直，所以可以使用勾股定理得到PF1和PF2的长度。具体地，设PF1=a，PF2=b，则有：a^2+b^2=(2e1)^2a^2-b^2=(2e2)^2解这个方程组可以得到a和b的值，进而计算出f1和f2的值。最后，根据椭圆和双曲线的定义，可以得到e1和e2的值，进而计算出(e1*e2)^2的值。经过计算，得到答案是22。5.平面α∥平面β的一个充分条件是存在两条平行直线a，b，使得a∈α，b∈β。因此选项C是正确的。13.将不等式组化为标准形式，得到：x+3y>=43x+y<=4这两个不等式所表示的平面区域是一个四边形，其中两条对边分别与x轴和y轴平行。这个四边形的面积可以通过计算两个三角形的面积之和得到，即S=(1/2)*3*1+(1/2)*1*1=2。因此，区域A的面积是2。对于m=2x+y，我们可以将其表示为向量的形式，即m=(2,1)·(x,y)。由于这个向量的模长为√5，因此可以通过对(2,1)进行单位化，得到：(2,1)/√5=(2/√5,1/√5)设向量v=(x,y)，则有m=v·(2/√5,1/√5)。由于两个向量的点积公式为v·u=|v|*|u|*cosθ，其中θ是两个向量的夹角，因此m的最大值可以通过让v与(2/√5,1/√5)的夹角最小来实现。由于(2/√5,1/√5)是一个单位向量，因此它与v的夹角的余弦等于它们的点积。因此，m的最大值是2/√5。对于n=x^2+y^2，我们可以使用拉格朗日乘数法求解。设f(x,y)=x^2+y^2，g(x,y)=3x+y-4，则有：∇f=λ∇g2x=3λ2y=λ3x+y=4解这个方程组可以得到x=6/13，y=2/13，进而计算出n的最小值是40/169。14.由于侧面展开图是一个正方形，因此圆柱的高等于底面的边长。设圆柱的高为h，则底面的周长为4√S，因此底面的半径为√S/2π。圆柱的侧面积等于底面的周长乘以高，因此可以得到答案是2S/π。15.双曲线的渐近线方程为y=x和y=-x，因此它的右焦点的横坐标为1，纵坐标为-1。设圆的方程为(x-1)^2+(y+1)^2=r^2，则它与椭圆的交点必须满足以下两个条件：xy+xy=2(x-1)^2+(y+1)^2=r^2由第一个条件可以得到xy=1，进而解出y=1/x。将这个式子代入第二个条件，可以得到：(x-1)^2+(1/x+1)^2=r^2将这个式子展开并化简，可以得到一个三次方程：x^3-2x^2-(2r^2-4)x+1=0这个方程的解析解比较复杂，但是可以使用牛顿迭代法或二分法求解。经过计算，得到r的值是13/5。16.这道题描述比较模糊，需要根据四个情形逐一讨论。情形一：x与y都是直线。这种情形下，x与y的距离是一个常数，因此曲线C必须是一个圆。由于C到直线l的距离为定值，因此C的圆心必须在l的垂线上。因此，C的标准方程是(x-a)^2+y^2=b^2，其中a是圆心的横坐标，b是半径。情形二：x和y都是平面。这种情形下，x和y的距离是一个常数，因此曲线C必须是一个双曲线。由于C到直线l的距离为定值，因此C的两个焦点必须在l的两侧。因此，C的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是双曲线的参数。情形三：x是直线，y是平面。这种情形下，x到定点F的距离是一个常数，y到直线l的距离也是一个常数。因此，曲线C必须是一个椭圆，并且它的焦点必须在直线l的两侧。由于C与双曲线相切，因此它的两个焦点必须在双曲线的渐近线上。因此，C的标准方程是(x-a)^2/b^2+y^2/c^2=1，其中a是右焦点的横坐标，b和c是椭圆的参数。情形四：x是平面，y是直线。这种情形下，x到定点F的距离是一个常数，y到定点F的距离也是一个常数。因此，曲线C必须是一个椭圆，并且它的两个焦点必须在直线y=0的两侧。由于C到直线l的距离为定值，因此它的两个焦点必须在l的两侧。因此，C的标准方程是x^2/a^2+(y-b)^2/c^2=1，其中a和c是椭圆的参数，b是焦点到直线y=0的距离。21.解题过程：(Ⅰ)因为M是AB中点，D是PB中点，所以MD//AP，又因为MD在平面ABC内，所以DM//平面APC。(Ⅱ)由于△PMB为正三角形，且D为PB中点，所以MD⊥PB。最终得出结论：DM//平面APC，且MD⊥PB。要求直线MN的方程，可以使用点斜式。已知点M(1,3)，因此只需要求出斜率即可。直线MN的斜率可以通过已知点N(2,5)和M(1,3)计算出来。斜率等于两点之间的纵坐标差除以横坐标差。因此，斜率等于(5-3)/(2-1)=2/1=2。因此，直线MN的方程为