分形多孔介质中幂律型流体渗流研究

#分形多孔介质中幂律型流体渗流研究摘要：本文首先对多孔介质等基本概念做了简要介绍，然后，综述了分形理论的发展和一些基本理论基础。提出了分形多孔介质中幂律型流体的渗透率模型，该模型基于多孔介质中孔隙尺寸的分形分布和毛细管长度的分形表达。该模型表达为幂指数、稠度系数、孔隙分形维度数、毛细管迂曲度分形维度数和介质微结构的函数。在本模型中每一个参数都有明显的物理意义，而且这个模型和其它模型相比，参数较少。关键字：渗透率，多孔介质，幂律型流体，分形Afractalanalysisofpermeabilityforpower-lawfluidsinporousmediaAbstract:Inthispaper,thebasicconceptssuchasporousmediamadeabriefintroduction,andthenanoverviewofthedevelopmentoffractaltheoryandsomebasictheoreticalbasis.Proposedfractalporousmediainthepower-lawtypefluidpermeabilitymodelofporousmediabasedonfractalporesizedistributionandcapillarylengthofthefractalexpression.Themodelisexpressedasapowerindex,consistencycoefficient,fractaldimensionofporenumber,degreeofcapillarytortuosityfractaldimensionofthenumberandfunctionofdielectricmicro-structures.Inthismodel,eachparameterhasaclearphysicalmeaning,andthismodelandothermodelsthanthefewparameters.Keywords:permeability,porousmedia,power-lawtypeoffluid,fractal1.引言多孔介质或多孔材料无论在传统工业还是现代科技中被广泛应用，渗流是流体通过多孔介质的流动。渗流现象普遍存在于自然界和人造材料中。渗流研究在工程和技术领域的应用以及对其它相关学科领域的应用研究具有非常广阔的前景，在当前，对资源开发的应用研究仍是渗流研究的主要任务之一，并且在其它领域也有重要的应用。渗流研究长期以来得到了人们重视，国内外有大量文献资料报道了这一研究领域的理论、方法、成果和研究进展。但由于实际多孔介质的复杂性和不规则性，这给渗透率的研究带来了极大的困难。人们通常试图通过实验得到多孔介质的渗透率，也有人试图通过数值模拟来研究多孔介质的渗透率。而无论由实验还是数值模拟得到的孔介质的渗透率综合式中常含有一个或几个经验常数，或忽略了某些力学量。为更好地理解多孔介质渗透率的机理，人们渴望得到多孔介质渗透率的分析解。2.相关研究多孔介质在工农业和日常生活中到处可见。如热管的管壁虹吸(wick)材料、固定床(packedbeds)、各种保温材料，生物组织，电子器件，陶瓷材料（用于制造聚合物复合材料的），纤维织物（fabrics）等。渗透率是多孔介质的一个重要性质，也是土壤物理学的重要参数，更是改良土壤和研究农作物生长的不可缺少的重要参数等。在实际工程设计和理论计算时，为求解连续性方程、动量方程和能量方程，常把多孔介质看作为连续介质，忽略了多孔介质的微结构。方程中的物性参数的选用，往往采用经验公式，这势必造成误差。材料或一个物质系统，在力或力系的作用下会发生变形或流动。材料或物质的这种性质称为流变性。描述物质流变性的方程称为本构方程或流变学状态方程。流体的本构方程通常用流体所受的剪切应力T与当地应变率Y（速度梯度）的关系表示，或称为应力-应变关系。渗流研究长期以来得到了人们重视，运用于许多领域。农田水利领域：这包括土壤改良、盐碱化治理、减少化肥农药污染、水土保持和合理使用，这要求将土壤－植被－水流－防污染作为一个整体的系统工程进行研究，实现高效农业和可持续发展战略。沿海地区海水入侵和咸水湖地区咸水入侵的防治：我国的大连、天津、河北、山东、江苏、广东及上海等沿海地区均有较严重的海水入侵，使地下水质恶化，氯离子含量增加，给这些地区的工农业生产和人民生活造成危害，沿咸水湖地区也有相同的问题，应当综合研究进行防治。对工程领域的应用研究：渗流在工程领域的应用日益广泛，特别是隧道工程、高速公路路基建筑、地下储气库工程、环保工程、化学工程等。在航空、航天技术和核工业领域，渗流也有重要应用。微机电系统^MEMS）中渗流：微型的电子一机械系统（简称微机电系统）是21世纪机电系统的重要研究方向，其尺寸为微米量级。它的显而易见的应用领域有诸如基因工程、生物医学工程，包括体内手术、医用注入器等，在工程领域也有广泛的潜在应用前景，如流动控制、打印器具等。微机电系统中的管径亦为微米量级或更细。其中比面很大、表面现象很重要，具有多孔介质的明显特征。有时还涉及传热问题。将给渗流的研究带来一些新的课题。地球物理领域：近年来渗流力学在地球物理领域的应用越来越广泛。这种交叉学科的研究日益受到重视。包括岩浆的活动、某些地质构造和地貌的形成等问题以及某些海底结构都涉及渗流问题。将渗流力学与地质力学、岩石力学结合起来进行研究将取得重要成果。生物科学领域：渗流在生物科学领域的应用将越来越受到重视，该领域的研究成果的重要意义正日益明显，在促进人类健康，防止某些疾病，特别是给人类生命造成严重威胁的心、脑血管疾病的防治方面将提供有益的依据。经典孔隙模型的数学基础是欧几里得几何学，它以研究连续性、渐变性、光滑性对象为特点。这类模型还往往就事论事．一个模型针对一类问题。但由于它们比较简单容易接受，因而也就广为流行：久而久之却容易使人误解．以为它们代表了真实的孔隙结构，其实这是大谬不然的。分形孔隙模型从表面看较为复杂．然而它却比较贴近自然真实，并且有自相似或自仿射结构的特点，这些表面复杂的形态可以出简单的迭代或插值产生，实际也就并不复杂。经典孔-喉模型似乎更为简洁，但它们却忽视了许多细节，远离了孔隙结构的实际。所谓分形多孔介质是指该介质的微结构如孔隙大小分布或颗粒大小分布在一定的尺度范围内、在统计上满足分形标度律。3.理论推导流体在多孔介质中流动时，其流动的通道即毛细管可能是弯弯曲曲的。这种弯曲通道或毛细管也可

用分形幕规律表示为：L=LDtX1-Dt。式中D为弯曲度分形维数，D=1意味着该毛细管通道为直t0TT的，D=2意味着该毛细管通道是如此的弯曲以至它填满整个平面。如图1所示，L为通道的代表性T0长度或直线长度，L是直径为入的弯曲毛细管通道的实际长度，L>L。tt0TortuousflowpathLt图1TortuousflowpathLt图1弯曲流管通过多孔介质取单个毛细管的一微元段，由于微元段很短，所以可以将其视为直管，其长度为dL。对于圆直管t中的层流流动，不考虑重力。设管半径r，管内取一以管轴为对称轴的流体柱，流体微元dL两端压力0t分别为p+dp和p,该微元段两端上的压差为dp,其方向向右，与流速v方向相同。如图2所示，流体柱表面上所受切应力为t，其方向向左与流速v方向相反。流体柱上的平衡关系为-兀r2dp二2兀ndL，trdpdv所以有：工=_=CY"=C(—~7~)n。2dLdrt图2图2在一段微元中的幂律型流体由以上分析，并通过相关数学推导，可以得到幕律型非牛顿流体在分形多孔介质中的渗透率的分析解：二2Dt-2Dn—1TOC\o"1-5"\h\zn2QL1-D"(2―D)r1+解：二2Dt-2Dn—10()n-1Xfmax[1—(min)n/]n-1(1+3n)DD—nD(D—nD+3n)(l-Q)rTTfTfmax上式中，我们可以看出，本模型表达为孔隙率、分形维度数、流体性质、稠度系数和多孔介质微结构的函数。其中每个参数都有明确的物理意义。

4.实验分析由于目前对幂律流体在分形多孔介质中渗流的研究成果不多，特别是试验研究，受试验技术、设备等限制。精确、可靠的实测资料还有赖于测试手段的改进与提高，这对推动提高理论研究是十分重要的为检验本模型的正确性，我们先令n=1,即取牛顿流体作比较。则上式可以简化为：eL1-(2—D)r1+DTD等有多种求法，利用双弥散多孔(D-nD+3)(1")。上式中的参数如DTfKD等有多种求法，利用双弥散多孔(D-nD+3)(1")。上式中的参数如DTfeTDT介质的有关参数：W(1-f介质的有关参数：W(1-f+1/rmax_R-2i-e1-1)，D二1.10，Teff>wu=qeauj<l)」dEffectivePorosity①Lu」a)dEffectivePorosity>wu=qeauj<l)」dEffectivePorosity①Lu」a)dEffectivePorosityDf_1.83，ei_0.342eeff，R=0.30mm图3所示的是幕律型流体的渗透率随n的取值的不同的变化趋势，我们可以看到随n的增大，渗透率也增大。Fractalmodeln=1.2FractalmodelFractalmodeln=0.8Experimentaldatan=1图3渗透率随n的变化图4所示的是渗透率随迂曲度的变化情况，从图中可以看出渗透率随迂曲度的增大而逐渐变小。这是因为随着迂曲度增大，毛细管的弯曲程度越大，从而引起流动阻力增大，流速也就越小，从而导致渗透率也就越小。图4渗透率随DT的变化5.结束语本文采用分形多孔介质模型研究了幂律型流体的渗流，通过严格的数学推导，得出了幂律型流体的渗透率的表达式，表达式中的每一个参数都有明确的物理意义，而用常规方法得到的幂律型流体的渗透率分析解中有Ni个待定系数，它有无穷多个，而这些系数的确定还要借助于实验测量，所以用常规方法得到的幂律型流体的渗透率分析解实际上仍然无法具体应用。参考文献：B.M.Yu,FractalcharacterfortortuousstreamtubesinPorousMedia,ChinesePhys.Lett.22(2005)158-160.Adler,P.M.,Berkowitz,B.,Effectivemediumanalysisofrandomlattices.TransportPorousMedia40(2000),145-151MartysNS,chenH.Simulationofmulticomponentfluidsincomplexthreedimen