逻辑集合与计数原理课件

邏輯、集合與計數原理數99丙曾子軒張郁苓李承修邏輯、集合與計數原理數99丙曾子軒張郁苓李主題內容一、簡單的邏輯概念：介紹「或」、「且」、「否定」及笛摩根定律二、集合的定義、集合的表示法與操作三、基本計數原理四、加法原理、乘法原理、取捨原理主題內容一、簡單的邏輯概念：介紹「或」、「且」、「否定」及笛一、簡單的邏輯概念“若P則Q”成立時，P稱為Q的充分條件，Q稱為P的必要條件；以符號P

Q表示命題“若P則Q”成立•如果命題“若P則Q”與其逆命題“若Q則P”皆成立，則P是Q的充要條件，而Q也是P的充要條件，以符號P

Q表示一、簡單的邏輯概念“若P則Q”成立時，P稱為Q的充分條件，命題介紹原命題：P

Q逆命題：Q

P否定命題：～P～Q否逆命題：～Q～P原命題與否逆命題同真假逆命題與否定命題同真假命題介紹原命題：PQ或與且“且”代表兩個條件必須同時成立；“或”則代表兩個條件中只要有一個條件成立即可(如果這兩個條件都成立也可以)例1.“x=0且x=2”代表x“同時是0，又是2”，此為一個不能成立的命題例2.“x≥2”代表”x>2或x=2”，因此“2≥2”是一個正確的命題或與且“且”代表兩個條件必須同時成立；“或”則代表兩個條件中笛摩根定律(A∩B)’=A’∪B’ABSABSABS(A∩B)’A’∪B’笛摩根定律(A∩B)’=A’∪B’ABSABSABS(A∩B笛摩根定律(A∪B)’=A’∩B’ABSABSABS(A∪B)’A’∩B’笛摩根定律(A∪B)’=A’∩B’ABSABSABS(A∪B二、何謂集合？集合的定義，最簡單的說法，即是在最原始的集合論樸素集合論中的定義，集合就是”一堆東西”集合裡的“東西”，叫作元素習慣上，我們會用大小寫字母來代表集合或元素稱為空集合，即集合內沒有任何元素我們一般習慣把集合畫成圖形來說明一些集合關係，其圖形稱作文氏圖二、何謂集合？集合的定義，最簡單的說法，即是在最原始的集合論常用名詞Part1若x為集合A的元素，則稱x屬於A，記作若集合A中的所有元素皆為集合B中的元素，則稱A包含於B，記作。此時稱A是B的子集舉例來說，若N所有正整數所成的集合，Z是所有整數所成的集合，則且常用名詞Part1若x為集合A的元素，則稱x屬於A，記作常用名詞Part2交集：若A、B為兩集合，則集合內的元素為為A且B的元素，以圖形來看就是下圖兩圓相交的區域。AB常用名詞Part2交集：若A、B為兩集合，則集合內常用名詞Part3聯集：若A、B為兩集合，則集合內的元素為為A或B的元素，以圖形來看就是下圖兩圓所包含的所有區域。AB常用名詞Part3聯集：若A、B為兩集合，則集合常用名詞Part4差集：若A、B為兩集合，則集合定義為。例：則常用名詞Part4差集：若A、B為兩集合，則集合常用名詞Part5乘積集合：兩個集合X和Y的乘積集合（Cartesianproduct），表示為X×Y，是其第一個構件是X的成員而第二個構件是Y的一個成員的所有可能的有序對：常用名詞Part5乘積集合：兩個集合X和Y的乘積集合（C三、基本計數原理窮舉法樹狀圖三、基本計數原理窮舉法窮舉法Whatis窮舉Howto窮舉：

※使用時機

※好的例子＆不好的例子窮舉方法：

順序窮舉/排列窮舉/組合窮舉窮舉法Whatis窮舉Whatis窮舉遇到一個問題…列出問題的所有可能解根據題目條件逐個判定滿足條件→

得到一個解Whatis窮舉遇到一個問題…窮舉–使用時機問題可能解的個數不是特別大答案的變化具有一定的規律性窮舉–使用時機問題可能解的個數不是特別大窮舉法的範例給定不考慮運算優先順序的4個算數符號

＋－×÷輸入任5個正整數A1

A2

A3

A4

A5在每個相鄰的正整數間填入一個上述的算數符號，構成一個算數表達式給定一個M，使該算數表達式剛好為M求出，所有可能的算數表達式窮舉法的範例給定不考慮運算優先順序的4個算數符號

＋－×窮舉法的範例(cont.)A1(+-x÷)A2(+-x÷)A3(+-x÷)A4(+-x÷)A5最多僅有44種解法有規律：4個位置所要填的算數符號

用＋－×÷去填充

→

用一個4重迴圈，即可以完成窮舉法的範例(cont.)A1(+-x÷)A2(+-x÷不適用窮舉的例子給定一個正數的集合

A={a1,a2,a3,…an},(n≦30)4個算數符號＋－×÷不考慮運算優先順序從A中選取若干的元素，用上述算數符號連結起來成一個表達式給定一個M，求出，以最少的運算次數可以產生M的算數表達式不適用窮舉的例子給定一個正數的集合

A={a1,a2,不適用窮舉的例子(cont)※此例與上個例子均為根據結果來組合表達式，不同的是：集合A中的個數和順序選取無法確定→

無法用固定的循環來控制和窮舉→

適合用搜索回朔法不適用窮舉的例子(cont)※此例與上個例子均為根據結果來組窮舉的方法排列窮舉/組合窮舉＊利用數學中排列組合的知識，產生出問題的答案的所有可能解，根據題設中答案的檢驗條件去判斷是否有滿足的答案。順序窮舉＊將問題的答案範圍內所有情況與自然數建立起一個一一對應的關係，從而可以按自然數的變化順序去窮舉問題的所有可能解。

窮舉的方法排列窮舉/組合窮舉樹狀圖處理離散事物的計數時，依問題的特性，適當的分類，以樹狀的圖形結構表示，此圖形稱樹狀圖樹狀圖處理離散事物的計數時，依問題的特性，適當的分類，以樹狀樹狀圖圖例賓客親戚朋友大伯家4人林家3人李家2人王家4人姑媽家4人二伯家2人樹狀圖圖例賓客親戚朋友大伯家4人林家3人李家2人王家四、加法原理、乘法原理、取捨原理加法原理乘法原理取捨原理四、加法原理、乘法原理、取捨原理加法原理何謂加法原理加法原理：若A與B是不相交的有限集合，則

|A

B|=|A|+|B|。例：從甲地到乙地有飛機、火車與巴士等三種交通工具可到達,其中飛機每天有3班,火車每天有15班，巴士每天25班，若A先生欲從甲地至乙地，很明顯地，此問題的A先生只能選擇一種交通工具的某個班次，故共有3+15+25=43個交通班次可選擇。何謂加法原理加法原理：若A與B是不相交的有限集合，則|A何謂乘法原理乘法原理：假設A與B是不相交的有限集合，則|A

B|=|A|

|B|例：某迷宮有進出口共四處，一人由不同進出口進出的方法共有幾種?

解：第一個步驟:進→4種選法。第二個步驟:出→3種選法。由乘法原理知,共有4×3種方法。何謂乘法原理乘法原理：假設A與B是不相交的有限集合，則|A取捨原理取捨原理(又稱排容原理)：令A,B,C為三個有限集合，則（1）|A

B|=|A|+|B|

|A

B|。（2）|A

B

C|=|A|+|B|+|C|

|A

B|

|B

C|

|C

A|+|A

B

C|。取捨原理取捨原理(又稱排容原理)：令A,B,C為三個有限教學網頁設計理念本教學網頁打算透過生活化主題，帶領學生漸進認識學習排列組合，希望能以更生動的方式幫助學習，激發學生們學習的興趣。教學網頁設計理念本教學網頁打算透過生活化主題，帶領學生漸進認教學網頁預期目標了解簡單的邏輯概念，並能熟知符號的運用。知道如何操作集合的表示與運算。能運用加法原理、乘法原理以及計數原理解決相關數學問題。教學網頁預期目標了解簡單的邏輯概念，並能熟知符號的運用。教學網頁設計規劃流程首先介紹基本的符號以及觀念，帶領學生對邏輯與集合有初步的認識。