2023成人高考高升专数学模拟试题及答案

2024成人高考高升专数学模拟试题及答案2024年成人高考高升专数学模拟题

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题，共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）若集合{|52},{|33}AxxBxx=-的一个焦点，则b=________________

（13）如图，ABC?及其内部的点组成的集合记为D，(,)Pxy为D

中任意一点，则23zxy=+的最大值为________________（14）高三班级267位同学参与期末考试，某班37位同学的语文成

绩、数学成果与总成果在全班级中的排名状况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位同学。

从这次考试成果看，

①在甲、乙两人中，其语文成果名次比其总成果名次靠前的同学是________________

②在语文和数学两个科目中，丙同学的成果名次更靠前的科目是________________三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题13分）

已知函数2

()sin2

fxxπ

=-

（Ⅰ）求()fx的最小正周期；

（Ⅱ）求()fx在区间20,3π??

????

上的最小值。（16）（本小题13分）

已知等差数列{}na满意124310,2aaaa+=-=.（Ⅰ）求{}na的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}nb满意2337,baba==.问：6b与数列{}na的第几项相等？（17）（本小题13分）

某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的状况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买。

（Ⅰ）估量顾客同时购买乙和丙的概率

（Ⅱ）估量顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率

（Ⅲ）假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大？

（18）（本小题14分）

如图，在三棱锥VABC-中，平面VAB⊥平面ABC，VAB?为等边三角形，ACBC⊥且

2ACBC==，,OM分别为,ABVA的中点。

（Ⅰ）求证：//VB平面MOC.（Ⅱ）求证：平面MOC⊥平面VAB（Ⅲ）求三棱锥VABC-的体积。

（19）（本小题13分）

设函数2

()ln,02

xfxkxk=->（Ⅰ）求()fx的单调区间和极值；

（Ⅱ）证明：若()fx存在零点，则()fx在区间(1,]e上仅有一个零点。

(20)(本小题14分)

已知椭圆2

2

:33Cxy+=，过点

且不过点

的直线与椭圆C交于,AB两点，直线

AE与直线3x=交于点M.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；

（Ⅲ）试推断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由。

参考答案

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A（2）D（3）B（4）C（5）B

（6）A

（7）C

（8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）-1

（10）2log5

（11）

4

π（12（13）7

（14）乙

数学

三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：

（Ⅰ）由于()sinfxxx=

2sin()3

xπ

=+所以()fx的最小正周期为2π（Ⅱ）由于203xπ≤≤

，所以33

xππ

π≤+≤当3xππ+=，即23

xπ=时，()fx取得最小值

所以()fx在区间23π上的最小值为2()3

fπ

=（16）（共13分）解：

（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d

由于432aa-=，所以2d=

又由于1210aa+=，所以1210ad+=，故14a=所以42(1)22nann=+-=+(1,2,...)n=

（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q

由于23378,16baba====所以12,4qb==

所以61

642128b-=?=

由12822n=+得63n=所以6b与数列{}na的第63项相等（17）（共13分）解：

（Ⅰ）从统计表可以看出，在这1000为顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购

买乙和丙的概率可以估量为

200

0.21000

=（Ⅱ）从统计表可以看出，在这1000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200为

顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品。所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估量为

100200

0.31000

+=

（Ⅲ）与（Ⅰ）同理，可得：

顾客同时购买甲和乙的概率可以估量为

200

0.21000

=，顾客同时购买甲和丙的概率可以估量为100202400

0.61000++=，

顾客同时购买甲和丁的概率可以估量为100

0.11000

=，

所以，假如顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大。（18）（共14分）解：

（Ⅰ）由于,OM分别为,ABVA的中点，

所以//OMVB

又由于VB?平面MOC，所以//VB平面MOC

（Ⅱ）由于ACBC=，O为AB的中点，

所以OCAB⊥

又由于平面VAB⊥平面ABC，且OC?平面ABC，所以OC⊥平面VAB所以平面MOC⊥平面VAB

（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB中，ACBC==

所以2,1ABOC==

所以等边三角形VAB的面积VABS?=又由于OC⊥平面VAB，

所以三棱锥CVAB-的体积等于133VABOCS?=

又由于三棱锥VABC-的体积与三棱锥CVAB-的体积相等，

所以三棱锥VABC-的体积为

3

（19）（共13分）解：

（Ⅰ）由2

()ln(0)2

xfxkxk=->得2()kxk

fxxxx

-'=-=

由()0fx'=解得x=

()fx与()fx'在区间(0,)+∞上的状况如下：

所以，()fx的单调递减区间是，单调递增区间是)+∞；

()fx在x=(1ln)

2

kkf-=

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在区间(0,)+∞上的最小值为(1ln)

2

kkf-=

，由于()fx存在零点，所以

(1ln)

02

kk-≤，从而ke≥

当ke=时，()fx在区间上单调递减，且0f=，

所以x=

()fx在区间上的唯一零点。

当ke>时，()fx在区间上单调递减，且1(1)0,022

ek

ff-=>=<，

所以()fx在区间上仅有一个零点。

综上可知，若()fx存在零点，则()fx在区间上仅有一个零点。

（20）（共14分）解：

（Ⅰ）椭圆C的标准方程为2

213

xy+=

所以1,abc=

==

所以椭圆C的离心率3

cea=

=（Ⅱ）由于AB过点(1,0)D且垂直于x轴，所以可设11(1,),(1,)AyBy-

直线AE的方程为11(1)(2)yyx-=--令3x=，得1(3,2)My-所以直线BM的斜率11

2131

BMyyk-+=

=-

（Ⅲ）直线BM与直线DE平行。证明如下：

当直线AB的斜率不存在时，有（Ⅱ）可知1BMk=

又由于直线DE的斜率10

121

DEk-=

=-，所以//BMDE当直线AB的斜率存在时，设其方程为(1)(1)ykxk=-≠设1122(,),(,)AxyBxy，则直线AE的方程为111

1(2)1

yyxx--=

--令3x=，得点1113

(3,

)2

yxMx+--

由2233,(1)

xyykx?+=?=-?得2222(13)6330kxkxk+-+-=所以22121222

633

,1313kkxxxxkk-+==++

直线BM的斜率112

12

3

2

3BM

yxyxkx+---=

-由于11212121(1)3(1)(2)(3)(2)

1(3)(2)BMk