流体力学与流体机械课件

流体力学与流体机械

（四）多媒体教学课件李文科制作流体力学与流体机械

（四）多媒体教学课件1第四章流体的有旋流动和无旋流动第一节流体微团运动的分析第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度第三节平面流与流函数第四节势流与速度势函数第五节几种基本的平面有势流动第六节有势流动的叠加第四章流体的有旋流动和无旋流动第一节流体微团运动的分析2第一节流体微团运动的分析内容提要一、移动二、转动三、线变形运动四、角变形运动第一节流体微团运动的分析内容提要3第一节流体微团运动的分析

刚体的运动一般可以分解为移动和转动两部分。但流体与刚体不同，流体受力便会发生运动状态的变化，即流体具有流动性，极易变形。因此，流体微团在运动过程中不但会发生移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。变形运动又分为线变形运动和角变形运动两种情况。下面我们分别讨论这几种运动情况。

一、移动在流场中取一微元平行六面体的流体微团，各边长分别为dx、dy、dz，形心a处沿三个坐标轴的速度分量分别为ux、uy、uz，如图4-1所示。如果微团内各点的速度在坐标轴上的分量第一节流体微团运动的分析刚体的运动一般可以分4第一节流体微团运动的分析图4-1微团移动分析也都是ux、uy和uz，那么整个流体微团就只有移动，也就是说流体微团只能从一个位置移动到另一个新的位置，而其形状和大小及方位并不改变。第一节流体微团运动的分析5第一节流体微团运动的分析

二、转动同上在流场中取一微元平行六面体的流体微团，转动前流体微团的各边分别与坐标轴平行，为讨论方便起见，我们先讨论流体微团绕垂直于xoy平面的轴(z轴)转动的情况，如图4-2所示。设O点在x轴和y轴方向的速度分量分别为ux和uy。当A点在y轴方向的分速度不同于O点在y轴方向的分速度及B点在x轴方向的分速度不同于O点在x轴方向的分速度时，流体微团才会发生旋转。A点在y轴方向的分速度和B点在x轴方向的分速度可按泰勒级数展开，并略去高阶无穷小量而得到，它们分别为第一节流体微团运动的分析二、转动6第一节流体微团运动的分析图4-2微团旋转运动分析第一节流体微团运动的分析7第一节流体微团运动的分析它们相对于O点的对应分速度(相对于O点的线速度)分别为所以它们相对于O点的角速度(逆时针方向旋转为正)应分别为

A点上

B点上而对于微团中其它各点绕z轴转动的角速度（如C点等）则是由该点y向的分速度在x轴方向的变化量和x向的分速度在y轴方向的变化量共同产生的。因此,我们可以把整个微团绕z轴转动的第一节流体微团运动的分析它们相对于O点的对应分速度(8第一节流体微团运动的分析分角速度用OA与OB在xoy平面内的平均角速度来表示，即同理，可求得流体微团绕x轴和y轴转动的角速度分量ωx和ωy。于是流体微团旋转角速度ω的三个分量分别为(4-1)第一节流体微团运动的分析分角速度用OA与OB在xoy9第一节流体微团运动的分析而(4-2)写成向量形式为(4-3)式中为哈米尔顿算子，为速度第一节流体微团运动的分析而10第一节流体微团运动的分析

的旋度，在流体力学中也称为流场的涡量，一般用表示，即。那么涡量在各坐标轴上的分量可表示为(4-4)而(4-5)

当涡量，即ωx=ωy=ωz=0时，流体的流动是无旋的，称为无旋流动，否则称为有旋流动。第一节流体微团运动的分析的旋度，在流体力学中也称为流11第一节流体微团运动的分析

应当指出，判断流体微团是有旋流动还是无旋流动，完全取决于流体微团是否绕其自身轴旋转，而与流体微团本身的运动轨迹无关。如图4-3所示，流体微团的运动轨迹均为圆周线，在(a)中微团自身有转动，是有旋流动；在(b)中微团自身没有转动，是无旋流动。第一节流体微团运动的分析应当指出，判断流体微12第一节流体微团运动的分析(a)有旋流动(b)无旋流动图4-3流体微团的运动轨迹第一节流体微团运动的分析13第一节流体微团运动的分析对于圆柱坐标系来说因此，用上述类似的分析方法可以得到圆柱坐标系下的流体微团的旋转角速度及涡量的计算公式，即(4-6)(4-7)第一节流体微团运动的分析对于圆柱坐标系来说14第一节流体微团运动的分析(4-8)(4-9)写成向量(4-6a)(4-8a)第一节流体微团运动的分析15第一节流体微团运动的分析

三、线变形运动

线变形运动是指流体微团的形状随时间在变化，而微团的形心位置和方位并不改变的一种变形运动。所以线变形运动又称作体变形运动。对于不可压缩流体来说，流体微团的线变形运动并不改变其体积的大小。

流体微团的线变形速度是用直线距离上单位时间单位长度的伸长量(或缩短量)来表示的。线变形速度在各个坐标轴上的分量分别用εx、εy、εz表示。如图4-4所示，在流场中任取一流体微团，形心点为O，OA平行于x轴，长度为dx，OB平行于y轴，长度为dy，OC平行于z轴(垂直于纸面)，长度为dz。形心O点处流体质点的速度u在各坐标轴上的分量为ux、uy、uz。第一节流体微团运动的分析三、线变形运动16第一节流体微团运动的分析图4-4微团线变形运动分析第一节流体微团运动的分析17第一节流体微团运动的分析

A点的x向分速度和B点的y向分速度及C点的z向分速度可按泰勒级数展开并略去高阶无穷小量得到，它们分别为则A点相对O点在x轴方向的相对速度为；B点相对O点

在y轴方向的相对速度为；C点相对O点在z轴方向的相

对速度为。就是由于这些相对速度的存在，将造成流

体微团在各坐标轴方向伸长(或缩短)。在dτ时间内OA在x轴第一节流体微团运动的分析A点的x向分速度和B点的y向18第一节流体微团运动的分析方向的伸长量为；在dτ时间内OB到y轴方向的缩短量为；在dτ时间内OC在z轴方向的伸长量(或缩

短量)为。则在x轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量为

在y轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的缩短量为第一节流体微团运动的分析方向的伸长量为19第一节流体微团运动的分析同理，在z轴方向上流体微团在单位时间内单位长度的伸长量(或缩短量)为由此得到流体微团的线变形运动速度分量为(4-10)第一节流体微团运动的分析同理，在z轴方向上流体微团在20第一节流体微团运动的分析如果我们用ε来表示流体微团在单位时间内的体积变形率,或称体积膨胀率。则有(4-11)式中为速度的散度。显然，对于不可压缩流体，ε=0，即体积变形率为零。第一节流体微团运动的分析如果我们用ε来表示流21第一节流体微团运动的分析四、角变形运动

如果流体微团内各点受力不均，有切向力存在时，将会使流体微团产生角变形运动。角变形运动的快慢程度用角变形速度θ来度量。角变形速度的大小常用流体微团中某一直角的角度在单位时间内的改变量的一半来表示，它在各坐标轴方向的分量分别用θx,θy,θz表示。在流场中任取一流体微团如图4-5所示。设O点在x轴和y轴方向的分速度分别为ux和uy，相对于O点而言，A点在y方向的分速度为，B点在x方向的分速度为。因此相对于O点的对应的角速度分别为第一节流体微团运动的分析四、角变形运动22第一节流体微团运动的分析图4-5微团角变形运动分析第一节流体微团运动的分析23第一节流体微团运动的分析

A点上

B点上在dτ时间内对应的角度变化量分别为则∠AOB在dτ时间内的总变化量为于是，流体微团在xoy平面内的角变形速度为第一节流体微团运动的分析A点上24第一节流体微团运动的分析同理，可得到流体微团在yoz平面和xoz平面内的角变形速度。因此，流体微团在三个不同平面内的角变形速度分量分别为(4-12)第一节流体微团运动的分析25第一节流体微团运动的分析而(4-13)上面我们对流体微团的移动、转动和变形运动分别进行了讨论和分析，但在实际情况下，流体微团的运动一般都同时存在着移动、转动和变形运动。因此，在分析流体的实际运动状态时，应当进行综合分析和研究。第一节流体微团运动的分析而26第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度内容提要

涡量场的概念

涡线的概念和涡线微分方程

涡管、涡束、涡旋截面的概念

旋涡强度和速度环量的概念

斯托克斯定理

有旋流动的运动学性质第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度内容提要27第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度

在有旋流动的流场中，全部或局部地区的流体微团绕自身轴旋转，于是就形成了一个用涡量或角速度表示的涡量场，或称为旋涡场。如同在速度场中曾经引入流线、流管、流束和流量一样，在涡量场中，我们引入涡线、涡管、涡束和旋涡强度的概念。

涡线是这样一条曲线，在给定瞬时，曲线上每一点的切线都与该点上流体微团的角速度方向相重合。因角速度向量的方向和流体微团的旋转轴是一致的，所以涡线也就是沿曲线各个流体微团的瞬时转动轴线，如图4-6所示。一般而言，涡线并不与流线相重合，而是与流线相交。在稳定流场中，涡线不随时间而改变。第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度在有旋流动的28第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度图4-6涡线图4-7涡管第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度29第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度

从概念上讲，涡线和流线两者是很相似的。其区别只是涡线是以角速度向量代替了流线的线速度向量。从涡线的定义我们知道，涡线上各点的切线都是各该点上流体微团的瞬时旋转轴，而其向量代表流体微团的旋转角速度。于是，我们可用推导流线微分方程类似的方法得到涡线微分方程，即(4-14)

在给定的瞬时，在涡量场中任取一不是涡线的封闭曲线，通过该封闭曲线上每一点作涡线，这些涡线构成一个管状表面,称为涡管，如图4-7所示。涡管中充满着作旋转运动的流体，亦即涡管中的所有涡线所构成的涡线族，称为涡束。第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度从概念上讲，30第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度

在稳定流场中，涡管和涡束的形状不随时间而改变。

垂直于涡管中所有涡线的截面称为涡旋截面。

涡管中涡量与涡旋截面的乘积称为旋涡强度，也称为涡管强度或涡通量。常用I来表示。对于涡旋截面为dA的微元涡管(或涡束)，其旋涡强度为(4-15)那么，整个涡管的旋涡强度可表示为(4-16)旋涡强度和流体微团的角速度不能直接测得。但根据实际观察发现，在有旋流动的流场中，流体环绕某一核心旋转时,第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度在稳定流场中31第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度旋涡强度越大，旋转速度越快，旋转的范围就越扩大。因此可以推断，在有旋流动中，流场的旋涡强度与流体环绕某一核心旋转的线速度分布有密切的关系。为了解决这个问题，我们需要引入速度环量的概念，利用速度环量可以计算流场中的旋涡强度。在流场中任取一封闭曲线S，如图4-8所示，则流速u沿此曲线的积分称为曲线S上的速度环量，用Γ表示。即(4-17)

速度环量是个标量，它的正负决定于速度的方向和线积分所绕行的方向。一般规定积分时以逆时针方向绕行为正。当速度在积分线路上的投影与同向时，Γ为正。第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度旋涡强度越大，旋转速32第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度图4-8速度环量第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度33第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度设封闭曲线S所包围的区域A为单连通域，根据数学分析中的斯托克斯公式，沿封闭曲线S的线积分可以化为以S为边界的曲面A的面积分。即(4-18)亦即(4-18a)式(4-18)表明，在流场的单连通域中沿任意封闭曲线的速度环量等于通过以该曲线为边界的任意曲面的所有涡束的旋涡强度。这个结论在流体力学中称为斯托克斯定理。第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度设封闭曲线S34第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度由斯托克斯定理可知，速度环量的存在不但可以决定流场中旋涡的存在，而且还可以衡量封闭曲线所包围的区域内全部旋涡的总旋涡强度。

在无旋流动的流场中，涡量ξ=0，所以沿任何封闭曲线的速度环量都等于零。反之也可以断定，如果在一个流动区域内沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，那么，该区域内就没有旋涡存在，即该区域内的流动一定是无旋流动。因此在求解单连通域的总旋涡强度时，不论流场中的旋涡是连续分布还是分散存在，都不必考虑其中无旋流动区域的大小，可直接沿包围这一区域的封闭曲线求其速度环量来确定。

在有旋流动的流场中，涡量ξ≠0，所以，一般情况下沿第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度由斯托克斯定35第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度

封闭曲线的速度环量不等于零，即流场中的总旋涡强度不为零。但是，有时也会遇到沿某一特定的封闭曲线的速度环量等于零，而该封闭曲线所包围的区域内又有旋涡存在的情况。这是由于该区域内同时存在几个大小相等、方向相反的旋涡，其旋涡强度相互抵消，使得该区域的总旋涡强度为零，沿封闭曲线的速度环量也为零。所以在判断流场是有旋还是无旋时，不能只根据沿某一特定封闭曲线的速度环量是否为零，或根据某一特定区域的总旋涡强度是否为零来判断，而是根据在流场中沿任何封闭曲线的速度环量是否为零，或根据流场中任何区域内的旋涡强度是否都为零来进行判断。第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度封闭曲线的速度环量不36第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度

有旋流动有一个重要的运动学性质：在同一瞬时，通过同一涡管各涡旋截面的旋涡强度都相等。该性质为亥姆霍兹第一定理，可以通过斯托克斯定理加以证明。根据上述性质可以得到以下推论：

(1)对于同一涡管来说，涡旋截面越小的地方，流体的涡量或旋转角速度越大。(2)涡管不可能在流体内部以尖端形式产生或终止，而只能在流体中自行封闭成涡环，或者附在流体的边界上。这是因为在涡旋截面趋近于零的地方，流体的旋转角速度趋近于无穷大。实际上这是不可能的。例如抽烟人吐出的烟圈就是自行封闭的涡环；自然界中的龙卷风就开始于地面，终止于云层。第二节涡线、涡管、涡束和旋涡强度有旋流动有一37第三节平面流与流函数内容提要

平面流动的概念

流函数的概念

流函数存在的条件

流函数与速度分量之间的关系

流函数的性质第三节平面流与流函数内容提要38第三节平面流与流函数

如果流场中流体的流动参量只是两个坐标的函数，即流体的流动参量只随平面内不同点的坐标而变化，这种流动就称作平面流动。平面流动实际上就是二维流动。流线可以形象地描绘出流场内的流动形态。在数学分析上,我们可以将描述流场特征的所有流线所构成的流线族用一定的函数形式来表示，这种函数就称为流函数。设有一不可压缩流体的二维平面流动，其连续性方程为(a)流线微分方程为第三节平面流与流函数如果流场中流体的流动参量39第三节平面流与流函数或写成(b)根据数学分析可知，如果式(b)的左边恰好是某一个函数ψ=ψ(x，y)的全微分，即(4-19)那么式(b)就是一个全微分方程。函数ψ(x，y)就称为流函数。由式(4-19)可得(4-20)将式(4-20)代入平面流的连续性方程式(a)，得第三节平面流与流函数或写成40第三节平面流与流函数显然，不可压缩流体二维平面流动的连续性方程是流函数ψ存在的充分和必要条件。即流函数ψ永远满足连续性方程。另外还可以看出，在流线上dψ=0或ψ=常数，并且在每条流线上都有它自己的流函数值。

应当指出，在引入流函数这个概念时，既没有涉及流体是粘性的还是非粘性的，也没有涉及流体是有旋的还是无旋的。所以，不论是理想流体还是粘性流体，不论是有旋流动还是无旋流动，只要是不可压缩流体的平面流动，就存在着流函数。

第三节平面流与流函数显然，不可压缩流体二维平面流动的41第三节平面流与流函数

流函数存在下列几个重要性质：

1.流函数ψ(x，y)=C的方程为流线方程。2.通过两条流线间各截面上的流体的体积流量都相等，并恒等于两条流线上的流函数值之差。设在给定的某一瞬时，有两条流线1和2，它们的流函数值分别为ψ1和ψ2，如图4-10所示。现在我们来证明通过二维不可压缩流体流动的两条流线间的各截面上的体积流量都相等，并且恒等于两条流线上的流函数值之差。例如通过AB截面的体积流量(取单位宽度)为第三节平面流与流函数流函数存在下列几个重要性42第三节平面流与流函数图4-10流量与流函数值的关系第三节平面流与流函数43第三节平面流与流函数

AB方向上x等于常数。同理，通过BC截面的体积流量为

BC方向上y等于常数。因此得到

Q12=QAB=QBC=ψ2-ψ1(4-21)由于同一条流线上各点的流函数值都是相同的，所以上式表明沿流线全长两条流线间的体积流量保持不变，并恒等于两条流线上的流函数值之差。

3.不可压缩流体平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程。即第三节平面流与流函数AB方向上x等于常数。44第三节平面流与流函数(4-22)因为对于二维的无旋流动，ωz=0，即而代入上式，有

凡是满足拉普拉斯方程的函数，在数学分析上称为调和函数，所以流函数是一个调和函数。第三节平面流与流函数45第三节平面流与流函数

4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，流线与等势线处处正交。关于等势线的概念及这一性质的证明，将在下一节中介绍。对于圆柱坐标系来说，流函数与速度分量之间的关系为(4-23)(4-24)第三节平面流与流函数4.在不可压缩流体平面无46第四节势流与速度势函数内容提要

势流的概念

速度位势和速度势函数的概念

速度势函数存在的条件

速度势函数与速度分量之间的关系

速度势函数的性质第四节势流与速度势函数内容提要47第四节势流与速度势函数在有旋流动的流场中，流体质点除具有一定的运动速度(线速度)外，还存在着一定的旋转速度(角速度)，即在有旋流动的流场中，既有速度场u(x，y，z)，又有涡量场ξ(x，y，z)。一般来说，有旋流动要比无旋流动复杂得多。所以对于一些旋涡强度很弱的有旋流动，可以近似作为无旋流动来处理，这样将会给问题的解析和研究带来可能和方便。

流体的无旋流动，即角速度ω=0的流动也称为有势流动，简称为势流。在势流流场中，各流体质点仅具有速度向量，而没有角速度向量。一般情况下，在某一瞬时，流线上各流体质点的速度具有不同的大小和方向，它们各自具有不同的速度位势。第四节势流与速度势函数在有旋流动的流场中，流48第四节势流与速度势函数

所谓速度位势就速度向量在某一方向上的投影与该方向上一段距离的乘积，即。如果我们将流场中各流线上具有相同速度位势的点连接起来，所组成的线(或面)就称为等势线(或等势面)。速度向量垂直于等势线(或等势面)。在同一条等势线上各流体质点具有相同的速度位势，而在不同的等势线上流体质点将具有不同的速度位势。因此，与流线一样，用等势线也可以描述流场的特征。对于不同的等势线(或等势面)也可以用一定的函数形式来表示，这种函数就称为速度势函数，或简称为速度势或势函数。在势流流场中，其涡量(或旋转角速度)为零，即由式(4-4)有第四节势流与速度势函数所谓速度位势就速度向量49第四节势流与速度势函数(a)由数学分析可知，上式(a)是表达式成为某一函数的全微分的充分必要条件。因此，在无旋流动的条件下必然存在函数，它和速度分量ux、uy、uz的关系为(4-25)第四节势流与速度势函数50第四节势流与速度势函数在给定瞬时，函数的全微分又可写成比较以上两式，可以得出

(4-26)函数就称为速度势函数。对于稳定流动；对于非稳定流动，但一般时间τ是作为参变量出现的。将式(4-26)代入式(a)，可以发现势函数的二阶偏导数与求导次序无关。第四节势流与速度势函数在给定瞬时，函数的全微分又51第四节势流与速度势函数由以上讨论可知，只要流动是无旋的，就一定存在速度势函数。反之，只要流场中存在速度势函数，则流动就必定是无旋的。

速度势函数φ存在以下几个重要性质：

1.速度势函数=C的方程为等势线方程。而速度势函数=C的方程为等势面方程。2.速度势函数的梯度就是流场中流体的速度。或者说，流体的速度即为速度势函数的梯度。按向量分析，有(4-27)第四节势流与速度势函数由以上讨论可知，只要流52第四节势流与速度势函数另外，根据速度位势的定义可知，速度势函数在任意方向上的偏导数等于速度在该方向上的投影。根据方向导数的定义，函数φ在任一方向l上的方向导数为

3.不可压缩流体的有势流动，其速度势函数满足拉普拉斯方程。将式(4-26)代入不可压缩流体的连续性方程，可得(4-28)第四节势流与速度势函数另外，根据速度位势的定义可知，53第四节势流与速度势函数式(4-28)是拉普拉斯方程。速度势函数满足拉普拉斯方程，因而它也是一个调和函数。对于不可压缩流体的平面无旋流动，其流函数和速度势函数同时存在。比较式(4-20)和式(4-26)可知，流函数ψ和速度势函数存在如下的关系(4-29)或写成(4-29a)

满足上述关系的两个调和函数称为共轭调和函数。已知其中的一个函数就能够求出另一个函数。第四节势流与速度势函数式(4-28)是拉普拉斯方程。54第四节势流与速度势函数

4.在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交。这也是前述流函数的重要性质之一。我们可以通过求流场中任一点上流线的斜率和等势线的斜率，来证明不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线处处正交。对流场中的任意一点，由流线微分方程可得流线在该点的斜率为(b)由等势线微分方程uxdx+uydy=0可得等势线在该点的斜率为(c)第四节势流与速度势函数4.在不可压缩流体平面55第四节势流与速度势函数由式(b)和(c)可知，流线的斜率和等势线的斜率互为负倒数的关系，或者它们两者的乘积等于负一。这就说明，在不可压缩流体平面无旋流动的流场中，等势线与流线是处处正交的。此外，由数学分析可知，式(4-29)也是等势线族和流线族互相垂直的条件，即正交性条件。即由式(4-29)也可以证明速度势函数及流函数的上述性质。因此，在平面上可以将等势线族和流线族构成正交网络，称为流网，如图4-12所示。有了流网就可以近似地得出流场中各点的速度分布，从而也可以得出压力分布。即在流场中，流线愈密集的地方，其流速愈大，而压力愈小。它是求解稳定平面势流的近似图解法。第四节势流与速度势函数由式(b)和(c)可知，流线的56第四节势流与速度势函数图4-12流网第四节势流与速度势函数57第四节势流与速度势函数

5.在势流流动的流场中，沿任意曲线上的速度环量等于该曲线两端点上的速度势函数值之差，而与曲线的形状无关。沿任意曲线ab的速度环量为(4-30)式(4-30)说明，在势流流场中，沿任意曲线ab的速度环量只取决于起点a和终止b的位置，而与曲线ab的形状无关。如果a点和b点重合，则曲线ab为一条封闭曲线，因此Γab=0。第四节势流与速度势函数5.在势流流动的流场中58第四节势流与速度势函数在圆柱坐标系下，速度势函数与速度分量之间的关系为

(4-31)(4-32)此外，我们可以证明，对于稳定的有势流动来说，流场中所有流线的伯努利常数都相同。证明从略。第四节势流与速度势函数在圆柱坐标系下，速度势59第五节几种基本的平面有势流动内容提要一、均匀直线流二、源流和汇流三、涡流和点涡第五节几种基本的平面有势流动内容提要60第五节几种基本的平面有势流动

一、均匀直线流

当流体作匀速直线运动时，流场中各点的速度都是大小相等，方向相同的，这种流动就称为均匀直线流，又称为等速平行流。如图4-13所示，流体的流动方向与x轴的夹角为θ，流场中各点的速度均为u0，且u0为一定值。则x和y方向的分速度为

ux=u0cosθ，uy=u0sinθ(4-35)其流函数及速度势函数可由下式求出

dψ=uxdy-uydx=u0cosθdy-u0sinθdx

dφ=uxdx+uydy=u0cosθdx+u0sinθdy第五节几种基本的平面有势流动一、均匀直线流61第五节几种基本的平面有势流动图4-13均匀直线流动第五节几种基本的平面有势流动62积分上式可得流函数ψ及速度势函数φ

ψ=u0cosθy-u0sinθx+C1

φ=u0cosθx+u0sinθy+C2以上两式中的积分常数C1和C2可以任意选取，而不影响流体的流动图形。若令C1=C2=0，得

ψ=u0cosθy-u0sinθx=u0(ycosθ-xsinθ)

φ=u0cosθx+u0sinθy=u0(xcosθ+ysinθ)(4-36)由式(4-36)可以看出，等势线族(φ=常数)和流线族(ψ=常数)在流场内处处正交，而且它们都为平行直线，如图4-13所示。各流线与x轴的夹角为θ=tg-1(uy0/ux0)。第五节几种基本的平面有势流动积分上式可得流函数ψ及速度势函数φ第五节几种基本的63第五节几种基本的平面有势流动若流动平行于x轴，则函数及成为(4-36a)当流动平行于y轴时，(4-36b)由于流场中各点的速度都相等，根据伯努利方程可以得到(4-37)第五节几种基本的平面有势流动若流动平行于x轴64第五节几种基本的平面有势流动如果均匀直线流动是在同一水平面内，或者重力的影响可以忽略不计时，则有

p=C(4-37a)即在水平均匀直线流动的流场中，压力是处处相等的。第五节几种基本的平面有势流动如果均匀直线流动65第五节几种基本的平面有势流动

二、源流和汇流如图4-14a所示，设无限平面内有一点O，流体不断地从O点流出后，沿径向均匀地向四周各个方向继续扩散流动，这种流动称为源流，或简称点源，O点称为源点。与此相反，若流体不断地沿径向均匀地从四周各个方向流入O点，则这种流动称为汇流，或简称点汇，O点称为汇点，如图4-14b所示。显然，这两种流动的流线都是从O点发出的射线，即流体从源点流出和向汇点流入都只有径向速度ur，而切向速度uθ为零。现以O点为原点取柱坐标(如图4-14)。对于不可压缩流体的稳定流动来说，流体每秒钟通过任一半径为r的单位长度圆柱面上的体积流量Q都应该相等，即Q=2πrur=常数。流量Q第五节几种基本的平面有势流动二、源流和汇流66第五节几种基本的平面有势流动

图4-14源流和汇流第五节几种基本的平面有势流动67第五节几种基本的平面有势流动

又称为源流强度(或汇流强度)，单位是米3/(秒·米)。由此可得源流(或汇流)流场的速度分布为(4-38)对于源流，Q＞0，因而ur＞0，因此有积分以上两式，并令积分常数C=0，得第五节几种基本的平面有势流动又称为源流强度(或汇流强68第五节几种基本的平面有势流动(4-39)由式(4-39)可以看出，流线族是以源点为起点的辐射线，而等势线族是以源点为圆心的同心圆，这说明等势线族与流线族是正交的。汇流与源流是互逆过程，流函数和速度势函数的表达式与源流相同，只是符号相反，即(4-40)第五节几种基本的平面有势流动69第五节几种基本的平面有势流动由于ur=Q/2πr，当r→0时，ur→∞，所以源点和汇点都是奇点。因此其流函数和速度势函数只有在源点或汇点之外才存在，即除源点或汇点外，整个平面流场上都是有势流动。下面来分析一下源流和汇流流场的压力分布情况。如果xoy平面是无限水平面，则根据伯努利方程，有式中p∞为在r→∞处的流体压力，该处的速度为ur=Q/2πr=0。将ur=Q/2πr代入上式，得(4-41)第五节几种基本的平面有势流动由于ur=Q/270第五节几种基本的平面有势流动上式说明，压力p随着半径r的减小而降低，当r=r0=时，p=0。当r＜r0时，绝对压力将出现负值，实际上这是不可能的。因此，实际中的源点和汇点是有一定截面积的。图4-15绘出了当r0＜r＜∞时点汇沿半径r的压力分布规律。第五节几种基本的平面有势流动71第五节几种基本的平面有势流动4-15点汇沿半径的压力分布第五节几种基本的平面有势流动72第五节几种基本的平面有势流动

三、涡流和点涡设有一旋涡强度为I的无限长直线涡束，该涡束象刚体一样以等角速度ω绕自身轴旋转，并带动涡束周围的流体绕其环流，由于直线涡束为无限长，所以可以认为与涡束垂直的所有平面上流动情况都一样。就是说，这种绕无限长直线涡束的流动可以作为平面流动来处理。这种由涡束诱导出来的平面流动,称为涡流。设涡束轴为z轴，则由涡束所诱导的环流的流线在xoy平面内都是以坐标原点O为圆心的同心圆，如图4-16所示。由于涡束以等角速度旋转，因此，涡束外流体沿同一圆周流线的流动是等速的。然而各条不同的圆周流线上流体的速度是不相同的，速度沿半径方向的变化规律可由斯托克斯定理求得。第五节几种基本的平面有势流动三、涡流和点涡73第五节几种基本的平面有势流动图4-16涡束诱导出的涡流第五节几种基本的平面有势流动74第五节几种基本的平面有势流动由斯托克斯定理可知，沿任何圆周流线的速度环量都等于涡束的旋涡强度，即Γ=2πruθ=I=常数于是(4-42)因此，在涡束外流体的速度与半径成反比；而在涡束内，流体则如同刚体一样以等角速度ω绕其自身轴旋转，速度与半径成正比，即uθ=ωr，如图4-16所示。我们称涡束外的流动区域为势流旋转区，称涡束内的流动区域为涡核区。

若涡束的半径r0→0，则涡束就成为一条涡线，这样的涡流称为点涡，或称自由涡。当r0→0时，uθ→∞，因此涡点是一个奇点，所以点涡又称纯环流。第五节几种基本的平面有势流动由斯托克斯定理可知，沿任75第五节几种基本的平面有势流动现在我们来求涡核外势流区的流函数和速度势函数。由于积分以上两式，并令积分常数C=0，得势流区的流函数和速度势函数为(4-43)当Γ>0时，uθ>0，环流为逆时针方向；当Γ<0时，uθ<0，环流为顺时针方向。第五节几种基本的平面有势流动现在我们来求涡核76第五节几种基本的平面有势流动注意：在涡核区内，流函数为，速度势函数不存在。由式(4-43)可知，涡流的流线族是以涡点为圆心的同心圆周线，而等势线族则是从涡核边缘发出的放射线。对于点涡来说，等势线族则是从涡点发出的放射线，即除了涡点以外，整个平面流场都是有势流动。下面我们再来分析一下涡流流场内的压力分布规律。已知涡束的半径为r0，涡束边缘上的速度为uθ0=Γ/2πr0，压力为p0；当r→∞时，速度uθ显然为零，而压力为p∞。将式(4-42)代入伯努利方程(4-34)，得涡束外势流区的压力分布规律为：第五节几种基本的平面有势流动注意：在涡核区内77第五节几种基本的平面有势流动(4-44)式(4-44)说明，在涡束以外的势流区内，压力p随着半径r的减小而降低。从式(4-44)还可知，当r→0处，p→-∞，显然这是不可能的。所以在涡束内确实存在着如同刚体一样、以等角速度旋转的旋涡区域，即涡核区。涡核边缘上的压力为(4-45)或写成(4-45a)第五节几种基本的平面有势流动78第五节几种基本的平面有势流动由式(4-45a)可以看出，在涡核以外的势流区内，从无穷远处到涡核边缘的压力降是一个常数，它等于以涡核边缘的速度计算的动压。由于涡核内为有旋流动，各条流线的伯努利常数不同，因此，流体在径向的压力分布只能根据欧拉运动微分方程求得。沿流线主法线方向的欧拉运动微分方程为由于压力p只沿r方向变化，令z=0，并且涡核内uθ=ωr，故上式可改写为第五节几种基本的平面有势流动由式(4-45a)可以看79第五节几种基本的平面有势流动对上式积分，得积分常数C由边界条件确定。在r=r0处，p=p0，uθ=uθ0，代入上式得积分常数C为最后得到涡核区内的压力分布为：(4-46)或(4-46a)第五节几种基本的平面有势流动对上式积分，得80第五节几种基本的平面有势流动于是，涡核中心的压力为(4-47)而涡核边缘的压力为所以(4-48)由式(4-48)可知，在涡核区内，从涡核边缘到涡核中心的压力降为一常数，且等于以涡核边缘的速度计算的动压。比较式(4-45a)和式(4-48)还可以发现，涡核内、外的压力降是相等的，都等于以涡核边缘的速度计算的动压。涡核内、外的速度分布和压力分布如图4-17所示。第五节几种基本的平面有势流动于是，涡核中心的压力为81第五节几种基本的平面有势流动图4-17涡流中涡核内、外的速度和压力分布第五节几种基本的平面有势流动82第五节几种基本的平面有势流动由于涡核区的压力比涡核外势流区的压力低，故涡流有很强的抽吸作用，它能把势流旋转区中的部分流体抽吸到涡核区内来。第五节几种基本的平面有势流动由于涡核区的压力83第六节有势流动的叠加内容提要

概述一、螺旋流二、偶极流三、均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动第六节有势流动的叠加内容提要84第六节有势流动的叠加

凡是满足拉普拉斯方程的函数在数学分析中都称为调和函数。所以流函数和速度势函数都是调和函数。根据调和函数的叠加原理，即若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数，可以将若干个有势流动的速度势函数(或流函数)线性组合成一个新的有势流动的速度势函数(或流函数)。如(4-49)式中φ1、φ2、φ3…和ψ1、ψ2、ψ3…分别代表几个简单有势流动的速度势函数和流函数。显然，叠加后新的有势流动的速度势函数φ和流函数ψ也满足拉普拉斯方程。根据速度势函数(或流函数)与速度分量之间的关系可得第六节有势流动的叠加凡是满足拉普拉斯方程的函85第六节有势流动的叠加(4-50)或(4-50a)式(4-49)至式(4-50a)表明，几个简单有势流动的速度势函数及流函数的代数和等于新的有势流动的速度势函数和流函数，它的速度是这些简单有势流动速度的向量和。上述叠加原理的方法虽然简单，但在实用上有很大意义，我们可以应用这一原理，把一些简单的平面有势流动叠加成所需要的新的复杂的有势流动。或者将一复杂的有势流动分解几个已知的简单有势流动来分析。

下面举几个平面有势流动叠加的例子。第六节有势流动的叠加86第六节有势流动的叠加

一、螺旋流

螺旋流是由点源或者点汇流动和点涡流动叠加(源点或者汇点和涡点重合)而成的。将点源或者点汇和点涡的速度势函数及流函数分别相加，即可得到螺旋流的速度势函数和流函数。如点汇和点涡叠加后得到的螺旋流的速度势函数和流函数为(4-51)

式中Γ取逆时针方向为正。令以上两式等于常数，便可得到等势线方程和流线方程为第六节有势流动的叠加一、螺旋流87第六节有势流动的叠加(4-52)或写成(4-53)式中C1、C2是两个常数。显然，等势线族和流线族是两组相互正交的对数螺旋线族(如图4-18)，所以称为螺旋流。在图4-18所示的螺旋流动(点汇和点涡叠加的结果)的流场中，流体是从四周向中心流动。工程上常用的离心分离器、旋风除尘器以及水力涡轮机等设备中的旋转流体的流动情况即可近似看成是这种螺旋流。第六节有势流动的叠加88第六节有势流动的叠加图4-18螺旋流图4-19风机外壳中的流动第六节有势流动的叠加89第六节有势流动的叠加上述螺旋流的径向速度和切向速度分别为(4-54)总速度为(4-54a)代入伯努利方程(4-34)，得流场中的压力分布为：

(4-55)式中p∞为r→∞处的压力，该处的速度u=0。对于流场中不同的两点，由伯努利方程可得(4-56)第六节有势流动的叠加上述螺旋流的径向速度和切90第六节有势流动的叠加式中p1、p2为螺旋流流场中1、2两点上的压力；r1、r2为1、2两点距螺旋流中心的距离。对于离心式水泵、风机等涡壳中的流动可以近似看作是由点源和点涡叠加而成的螺旋流的例子，如图4-19所示，其流动方向与图4-18所示的螺旋流的方向相反。第六节有势流动的叠加式中p1、p2为螺旋流流场中1、91第六节有势流动的叠加

二、偶极流

偶极流是同强度的点源和点汇叠加的结果。若把点源和点汇无限靠近，即源点和汇点间的距离ΔS→0，并且在ΔS→0的同时，强度Q→∞，以使得ΔSQ=常数，这样便得到一个所谓的偶极流的有势流动。如图4-20所示，为一把强度为Q的点源和强度为-Q的点汇分别放在坐标系的A点(-a，0)和B点(a，0)上，叠加后得到的流动图形。叠加后的速度势函数和流函数分别为(4-57)(4-58)第六节有势流动的叠加二、偶极流92第六节有势流动的叠加图4-20点源和点汇的叠加第六节有势流动的叠加93第六节有势流动的叠加式中α为动点P(x，y)与源点A和汇点B的连接线之间的夹角。由流线方程ψ=常数，得α=常数。就是说，流线是经过源点A和汇点B的圆周线族，而且从源点流出的流量全部流入汇点。现在来分析在点源与点汇无限接近的同时，流量Q无限增大(即a→0时，Q→∞)，以使得2aQ保持一个有限常数M的极限情况，即偶极流的情况。M=2aQ称为偶极矩，或称为偶极强度，单位为米4/秒·米或米3/秒，方向是从源点到汇点为正。偶极流的速度势函数和流函数可由式(4-57)和式(4-58)根据上述条件推导出来。由式(4-57)得第六节有势流动的叠加式中α为动点P(x，y)与源点A94第六节有势流动的叠加图4-21推导偶极流速度势和流函数用图第六节有势流动的叠加95第六节有势流动的叠加如图4-21所示，当A点和B点向原点O无限靠近时，rA-rB≈2acosθA，而且当2a→0，Q→∞时，2aQ=M，rA→rB→r，θA→θB→θ。又由于当ε为无穷小时，可以略去高阶项，即ln(1+ε)≈ε。因此，偶极流的速度势函数为(4-59)第六节有势流动的叠加如图4-21所示，当A点96第六节有势流动的叠加由式(4-58)得又因为当ε→0时，tg-1ε≈ε。所以偶极流的流函数为第六节有势流动的叠加由式(4-58)得97第六节有势流动的叠加(4-60)令式(4-60)等于常数C1，得流线方程为即流线是半径为M/4πC1，圆心为(0，-M/4πC1)且与x轴在原点相切的圆周线族，如图4-22中实线所示。同样，令式(4-59)等于常数C2，得等势线方程为第六节有势流动的叠加98第六节有势流动的叠加图4-22偶极流的流线和等势线第六节有势流动的叠加99第六节有势流动的叠加即等势线是半径为M/4πC2，圆心为(M/4πC2，0)且与y轴在原点相切的圆周线族，如图4-22中虚线所示。偶极流的流场中速度分布为：在直角坐标系下(4-61)在圆柱坐标系下(4-62)第六节有势流动的叠加即等势线是半径为M/4πC2，圆100第六节有势流动的叠加偶极流的总速度为(4-63)偶极流流场内的压力分布可由伯努利方程计算得到。在流场中r→∞处的压力为p∞，速度u∞=0，将式(4-63)代入伯努利方程(4-34)，得(4-64)对于流场中不同两点间的压力差为(4-65)第六节有势流动的叠加偶极流的总速度为101第六节有势流动的叠加

三、均匀直线流绕圆柱体无环量的平面流动设有一在无穷远处速度为u∞的均匀直线流(平行流)，从与圆柱体轴垂直的方向绕过一半径为r0的无限长圆柱体流动，如图4-23所示，这一流动可认为是由均匀直线流和偶极流叠加而成的组合平面流动。根据式(4-36a)与式(4-59)和式(4-60)可得组合流动的速度势函数与流函数分别为(4-66)(4-67)第六节有势流动的叠加三、均匀直线流绕圆柱体无102第六节有势流动的叠加图4-23平行流绕圆柱体无环量的流第六节有势流动的叠加103第六节有势流动的叠加于是，流线方程为选取不同的常数值C，可得如图4-23所示的流动图形。当C=0时，ψ=0，该流线称为零值流线。零值流线的方程为即由此可知，零值流线是x轴和一个以坐标原点为圆心，半径为的圆周线所构成的图形。该流线到A点(驻点)处第六节有势流动的叠