电磁场与电磁波公式总结

电磁场与电磁波复习

第一部分知识点归纳

第一章矢量分析1、三种常用的坐标系1）直角坐标系微分线元：dR微分线元：dR=adx+ady+adz面积元：＜dSdSydS=dxdyz=dydz，体积元：di=dxdydz=dxdz2）柱坐标系dl=drrdl=rdp，pdl=dzz面积元=dldl申z=dldldSrdSprzdS=dldlz=rdpdz=drdz，=rdrdzpz体积元：di=rdrd申dz3）球坐标系dl=drrdldl=drrdl=rd00dl=rsin0dppdi=r2sin0drd0dp长度元：f，面积元：dS=dldlrp0dS=dldl0dS=dldlp=r2sin0d0dp=rsin0drdp，体积元：rp=rdrd00rr=\：x2+y2y_

xz=z2、三种坐标系的坐标变量之间的关系1）直角坐标系与柱坐标系的关系x=rcospy=rsinp,fp=arctanz=z2）直角坐标系与球坐标系的关系r=ir=i：x2+y2+z2zx=rsin0cospfy=rsin0sinp,f0=z=rcos0arccos I\X2+y2+z2yp=arctan—zr'=r'=rsin0r=\r'2+z2z=rcos0p=p,f0=arccos十zrz=rcos0P=P3、梯度1）直角坐标系中：gradp= =a^+axdx y+a—dy zdz(2)柱坐标系中：,口T即T1即Tgradp=Vp=a+a +ardr 申r。申 zdz3）球坐标系中：gradp=Vp=ar空+adr91dpt1 dp+a-rd9申rsin9d申4.散度1）直角坐标系中：divTA=dAX+dxdA dAy+zdy dz2）柱坐标系中：T1ddivA= (rA)+rdr r1dA卑+rd申dA(3)球坐标系中divA= —(r2A)r2dr r5、高斯散度定理：1d 1 dA+ (sin9A)+ 4rsin9d9 9rsin9dq:Ja.dT=Jv•AdT=JdivAdT,S T T意义为：任意矢量场A的散度在场中任意体积内的体积分等于矢量场A在限定该体积的闭合面上的通量。6，旋度1）直角坐标系中：aTdzAdzAATaTraTaVxA=-——dzrdrd申dzArAAr4zxyz2）柱坐标系中：3）球坐标系中：

1SasraSd0rsin0ad申r2sin0drd0d申ArArsin0Ar09两个重要性质：①矢量场旋度的散度恒为零,v>vxA=0②标量场梯度的旋度恒为零,VxVy=07、斯托克斯公式：d了=JvxA.dSCS第二章静电场和恒定电场1、静电场是由空间静止电荷产生的一种发散场。描述静电场的基本变量是电场强度E、电位移矢量D和电位申。电场强度与电位的关系为:S=F’0〜8.854x10-12F/m2、电场分布有点电荷分布、体电荷分布、面电荷分布和线电荷分布。其电场强度和电位的计算公式如下：（1）点电荷分布k=1丄迓红+C4k8 R0k=1kk=1丄迓红+C4k8 R0k=1k0k=1 k 0E=4ks02)体电荷分布1Jp(r'E=4ks02)体电荷分布1Jp(r')(S—r)dv'v14ks0p(r')dv'+CES=4ks03)面电荷分布1Jp(r')(S—r')dS'S1r—r'p(r')dS'E=丄-4ks0(4)线电荷分布Jp(r')(~r—r)dl'lJp(r)dl'3、介质中和真空中静电场的基本方程分别为$Dd—q,(积分形式)S丫.D=p($Dd—q,(积分形式)S丫.D=p(r)(微分形式)表示意义E安培环路定理，说明静电场是一种发散场，也是保守场。$Ed7二0,（积分形式）表示意义E安培环路定理，说明静电场是一种发散场，也是保守场。〈CVxE=0（微分形式）表示意义E真空中的高斯定理$E.d7=丄为q.（积分形式）s 表示意义E真空中的高斯定理p 0i=1V.E=-P-（微分形式，p为体电荷密度）£0在线性、各向同性介质中，本构方程为：D=£E+P=&E=££E0 0r4、电介质的极化（1） 极化介质体积内的极化体电荷密度为：p=-V.P（P极化强度矢量）。p（2） 介质表面的极化面电荷密度为：P=P'7（7为表面的单位法向量矢量）pS5、在均匀介质中，电位满足的微分方程为泊松方程和拉普拉斯方程，即V2^=-P（有源区域），V2®=0（无源区域）£6、介质分界面上的边界条件（1）分界面上D的边界条件nTOC\o"1-5"\h\zD-D=p或E（D-D）=p ■1n 2n S 1 2 S-Ps为分界面上的自由电荷面密度），当分界面上没有自由电荷时，则有：分界面上Dn的边界条件D=D即ED=7.D，它给出了D的法向分量在分界面上Dn的边界条件1n 2n 1 2介质分界面两侧的关系：（I）如果介质分界面上无自由电荷，则分界面两侧D的法向分量连续;（II）如果介质分界面上分布电荷密度p，D的法向分量从介质i跨过分界面进入介质s2时将有一增量，这个增量等于分界面上的面电荷密度p。s用电位表示：-£ 1+8 2=p和£——1=£ 2(p=0)用电位表示：1dn 2dn S1dn 2dn S（2）分界面上E的边界条件（切向分量）tnxE=nxE或E1t=E21，电场强度的切向分量在不同的分界面上总是连续的。由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量h在不同的分界面上总是连续的。由于电场的切向分量在分界面上总连续，法向分量hE2t®1=®2。

E2t电力线折射定律：tan电力线折射定律：tan01tan027、静电场能量=-Jp=-Jp①dT；2T①体电荷②面电荷③线电荷W=丄Jp①ds；e2SSW=-Jp①dl。e21l⑵导体系统的总能量为：We=Jqk9k。k3）能量密度静电能是以电场的形式存在于空间，而不是以电荷或电位的形式存在于空间中的。场中任意一点的能量密度为：①=1D・E=1£E2J/m3e22在任何情况下，总静电能可由W=1J£E2dT来计算。e2V8、恒定电场存在于导电媒质中由外加电源维持。描述恒定电场特性的基本变量为电场强度E和电流密度J，且J=bE。b为媒质的电导率。（1）恒定电场的基本方程电流连续性方程：<积分形式：J-dS=-—Scp ctcp微分形式：V-J=-生或J=0ct ct恒定电流场中的电荷分布和电流分布是恒定的。场中任一点和任一闭合面内都不能有电荷的增减，即f=0和 =0。因此，电流连续性方程变为：JJ-dJ=0和▽•了=0，再ct ct S加上JEdJ=0和厂xJ=0，这变分别是恒定电场基本方程的积分形式和微分形式。C（2）恒定电场的边界条件⑴J=J或J-（了—了）=0,（2）E=E或Jx（E-E）=01n 2n 1 2 1t 2t 1t 2tJJ JJ应用欧姆定律可得：bE=bE和一1-=”。11n 22n bb12此外，恒定电场的焦耳损耗功率密度为P=bE2,储能密度为①=1£E2。e2第四章恒定磁场1、磁场的特性由磁感应强度B和磁场强度H来描述，真空中磁感应强度的计算公式为:（真空磁导率：卩=4兀x10-7H/m,）0

(1)线电流：TB—比j/刃xa虑—_^J _4兀/R2 4兀/--3r-r'2）面电流："SR2Jx(r-2）面电流："SR2Jx(r-r)0dS'3）体电流：了xa”RdTR2dT2、恒定磁场的基本方程（1）真空中恒定磁场的基本方程为：A、磁通连续性方程：［积分形式：BdS—0,B、真空中安培环路定理：S、微分形式：v-B—0积分形式：B-d7-卩I</0微分形式：vxB-卩J0（2）磁介质中恒定磁场的基本方程为：A、 磁通连续性方程仍然满足：<积分形式：B-dS—0，、微分形式：v-B—0B、 磁介质中安培环路定理：:积分形式：H-d7—I1/、微分形式：vxH-JC、 磁性媒质的本构方程：B-卩卩片-卩H（H——-M,其中M为磁化强度矢量）。0r 卩0恒定磁场是一种漩涡场，因此一般不能用一个标量函数的梯度来描述。3、 磁介质的磁化磁介质在磁场中被磁化，其结果是磁介质内部出现净磁矩或宏观磁化电流。磁介质的磁化程度用磁化强度M-表示。（1）磁介质中的束缚体电流密度为：J-—vxM-；m（2 ）磁介质表面上的束缚面电流密度为：J—Mix-（其中,-为表面的单位法向量矢量）mS4、 恒定磁场的矢量磁位为：B—Vx-，矢量A为矢量磁位。在库仑规范条件（V--—0）下，场与源的关系方程为：V2---卩-（有源区）V2-—0（无源区）对于分布型的矢量磁位计算公式：（1）线电流：-—141（2）面电流：A— JSdS（3）体电流：-—4兀/R 4兀SR 4冗TR

5、恒定磁场的边界条件2n分界面上Bn的边界条件（12n分界面上Bn的边界条件n两侧的小扁状闭合柱面（高h两侧的小扁状闭合柱面（高ht0为无穷小量）,如右图所示，应用磁通连续性方程可得LB*dS=B-ridS-B-ridS=0S121n 2n于是有：n-（B-B）=0或B=B1n 2n21（2）分界面上H（切向分量）的边界条件:t办（百—H）=r，如果分界面上无源表面电流TOC\o"1-5"\h\z1 2S（即JS=0）,则rx（H-H）=0即H=H或Hsin9=Hsin9S12 1t 2t 1122磁力线折射定律：迪二斗\o"CurrentDocument"tan9 卩22用矢量磁位表示的边界条件为：才二才，丄（vx才）--（vx才）=r1 2卩 1t卩 2t S126、电感的计算（1）外自感：l=耸=片fpdl0*，（2）互感：M=M=卩0件笃JJdlidl20_I"4kii0R 12 21 4冗「2R（3）内自感：单位长度的圆截面导线的内自感为：「乂（长度为l的一段圆截面导线=8k的内自感为L=世）。8k7、磁场的能量和能量密度（1）磁场的总能量磁介质中，载流回路系统的总磁场能量为：w=12NENM//m2kjjk

j=1k=1（3）磁场能量密度A、任意磁介质中：®=1H*B，此时磁场总能量可以由w=1fB-Hdi计算

m2 m2T出；B、在各向同性，线性磁介质中：©=1H*B=1卩H，此时磁场总能量可以由m22W=丄｛B*Hdi=JpH2dim2i 2i第五章时变电磁场1、法拉第电磁感应定律d①（1）感应电动势为：£=dt积分形式』e*dr=J-空*dH（2）法拉第电磁感应定律＜ i s微分形式：VxE=-迢

I dt

它说明时变的磁场将激励电场，而且这种感应电场是一种旋涡场，即感应电场不再—》是保守场，感应电场E在时变磁场中的闭合曲线上的线积分等于闭合曲线围成的面上磁通的负变化率。2、麦克斯韦位移电流假说按照麦克斯韦提出的位移电流假说，电位移矢量对时间的变化率可视为一种广义的电流密度，称为位移电流密度，尹aD电流密度，称为位移电流密度，即J= 。位移电流一样可以激励磁场，从而可以d at得出时变场中的安培环路定律:积分形式:JHdS=J(S+^D)-得出时变场中的安培环路定律:i S atSSaDS微分形式：Vx片二了+°-at3、3、麦克斯韦方程组VxH=S+^D1)微分形a1)微分形VsaS(2)积分形式VxE=-atV.BS=0V-D=p⑴JH-d7=J(J+°乃)-dSi s at<(2)JEdT=-J -dSl SatJBdS=0JD.dS=qI S3)非限定形式的麦克斯韦方程组在线性和各向同性的介质中，有媒质的本构关系:D=£E=££E,B=y片=卩卩H,H=QE,由此可得非限定形式的麦克斯韦方程组:0r0rC(l)VxH=J+£匹ataH\(2)VxE=-^-atV•卩H=0V-£T=p(4)麦克斯韦方程组的实质A、 第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。B、 第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这C、 第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。D、 第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。思考题：麦克斯韦方程中为什么没有写进电流连续性方程？答：因为它可以由微分形式的方程组中①、④式两式导出。把①式两边同时取散度得V-(Vx片)=V-(7+也) V-(J+^D)=0少由于矢量的旋度的散度恒等于零，故得 少 ，再把④式代入上式，即得V-J+ =0，这便是电流连续性方程。dt4、 分界面上的边界条件法向分量的边界条件A、J勺边界条件nx(D—D)—P，若分界面上P£=0，则nx(D—D)=012SS12b、j的边界条件nx(B-B2)=0切向分量的边界条件A、 E的边界条件nx(E―E)=0B、 H的边界条件nx(H-H)二J，若分界面上J二0，则nx(H-H)=012SS12理想导体(g=8)表面的边界条件(1)jxH=JoH=JS t S(2)nxE=0oE=0< t ，"(3)J-B=0oB=0nn-E=foE=^-s式中n是导体表面法线方向的单位矢量。上述边界条件说明：在理想导体与空气的分界面上，如果导体表面上分布有电荷，则在导体表面上有电场的法向分量，则由上式中的④式决定，导体表面上电场的切向分量总为零；导体表面上磁场的法向分量总为零，如果导体表面上分布有电流，则在导体表面上有磁场的切向分量，则由上式中的①决定。5、 波动方程无源区域内，E、片的波动方程分别为：V2J-眩匕H=0、V2E-茁-=0；dt2 dt2此两式为三维空间中的矢量齐次波动方程。由此可以看出：时变电磁场在无源空间中是以波动的方式在运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为°6、 坡印廷定理和坡印廷矢量数学表达式：-S 「2 2 小-幼由于W=J1SE2dT为体积t内的总电场储能，W=J1pH2d为体积t内的总磁eT2 mT2场储能，P=^^E2dT为体积T内的总焦耳损耗功率。于是上式可以改写成：TJExHdS(W+W)+p，式中的S为限定体积T的闭合面。s Ctem物理意义：对空间中任意闭合面S限定的体积T,0矢量流入该体积边界面的流量等于该体积内电磁能量的增加率和焦耳损耗功率，它给出了电磁波在空间中的能量守恒和能量转换关系。坡印廷矢量（能流矢量）—ExH表示沿能量流动方向单位面积上传过的功率。—》7、动态矢量磁位A和动态标量为①与电磁场的关系为：B=Vxl，E=—v①一竺—》达朗贝尔方程（或称A与①的非齐次波动方程）为&才正弦平面电磁波dt2正弦平面电磁波第六章欧拉公式：ejx=cosx+jsinx1、 正弦电磁场1）正弦电场、磁场强度的复数表示方法（以电场强度为例）在直角坐标系中，正弦电磁场的电场分量可以写成：E(x,y,z,t)=aE(x,y,z)-cosLot+9(x,y,z)]+aE(x,y,z)-cosOt+9(x,y,zJ+aE(x,y,z)coslot+9(x,y,z)]yym y zzm z运用欧拉公式将其表示成复数矢量形式：E=E运用欧拉公式将其表示成复数矢量形式：E=Ecosbt+9(x,y,z)LReEez叫.二Re(Eej®t)x xm V x "1 xm xmE=Ecosbt+9(x,y,zReEej(血+9〉,)=Re(Eej®t)y ym y ym ymE=Ecosbt+9(x,y,z)LRe^Eez+q Re(E”me阿)z zmymxmymymej(ot+9z)zm z zm zmE=Eej9x,E=Eej9y,E =Eej9z其中，xmxmxymymyzmzmz分别称为各分量振幅的)e)ejot]=Re(Eejot)E(x,y,z,t)=Re[(aE+aE+aExxmyymzzm其中，E=aE+aE+aE，称为电场强度复矢量，它含有各分量的振幅和初相两xxmyymzzm大要素。电场强度复矢量是一个为简化正弦场计算的表示符号，一般不能用三维空间中一个矢量来表示，也不能写成指数形式。例题1将下列场矢量的瞬时值改写为复数；将场得复矢量写为瞬时值（1）H=aHk（—）sin（竺）sin（kz—ot）+aHcos（巴）cos（kz—ot）x0兀 a z0a(2)Exm=2jEsin0cos(kxcos0)e-jkzsin9解：(1)因为cos(kz—ot)是偶函数，兀 兀则cos(kz—ot)=cos(ot—kz)而sin(kz一ot)=cos(kz—ot—)=cos(ot—kz+ )，22

2）因=^XH0k(—)sin(—X)eg叭+H0cOs(—X)e-—jk=讣xm+匚H2）因为Exm=2jEsin0cos(kxcos0)ejsine=2Esin0cos(kxcos0)e"j(kzsine_2)故E=2Esin0cos(kxcos0)cosgt—kzsin0+—)x02（2）麦克斯韦方程组的复数形式vxH=J+j①DVxE=—j①B，此方程组没有时间因子，注意：式中的场量仍代表复矢量，标量仍代表V-B=0v-D=p复数。对于正弦电磁场的求解，我们可根据给出的源写出其复矢量和复数，然后利用麦克斯韦方程组的复数形式求出场得复矢量，再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达式。例题2在真空中，已知正弦电磁波的电场分量为E（z,t）=a103sin（wt-卩z），求波的磁场分y量H（z,t）解：先将波的电场分量写出复矢量，即E=—j103ej^t-Bz），将其代入矢量的麦克斯韦方程组:yvxE=-j仰H可得：H=一亠VxE=亠逻y，将Ey=—j103ejgBz）代入上式可得0 j®卩 j®卩5zH=a氾103ej（®t-卩z），将上式展开取实部得：H（z,t）=—ad103sin（®t一卩z）x x00（3）正弦场中的坡印廷定理1一w ）dim平均 e平均W=1£'E2为电场能量密度的平均值。这e平均4JS-dS=1一w ）dim平均 e平均W=1£'E2为电场能量密度的平均值。这e平均4S Tm e T T其中w =—p/H2为磁场能量密度的平均值，m平均4里场量E、片分别为正弦电场和磁场的幅值。正弦电磁场的坡印廷定理说明：流进闭合面S内的有功功率供闭合面包围的区域内媒质的各种功率损耗；而流进（或流出）的无功功率代表着电磁波与该区域功率交换的尺度。（4）亥姆霍兹方程（正弦电磁场波动方程的复数形式）VE+k?E=0，式中k2=®2皿称为正弦电磁波的波数。V2H+k2H=02、 理想介质中的均匀平面波1）均匀平面波的波动方程及其解平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场E和磁场H只沿波的传播方向变化，而在波阵面内E和H的方向、振幅和相位不变的平面波。一