10.1.3+古典概型课件2020-2021学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

第十章概率10.1.3古典概型教学目标

会用列举法计算一些随机事件所含的样本点个数及事件发生的概率，重点、难点，02

理解古典概型及其概率计算公式，重点，01

掌握利用概率的性质求古典概型的概率的方法，重点、难点，03

04学科素养

古典概型的含义数学抽象

直观想象

逻辑推理

利用古典概型概率计算公式及概率的性质求古典概型的概率数学运算

列举法计算一些随机事件所含的样本点个数数据分析

古典概型概率计算公式

数学建模01知识回顾RetrospectiveKnowledge有限样本空间与随机事件

随机试验：对随机现象的实现和对它的观察．

样本点：随机试验E的每个可能的基本结果．

样本空间：全体样本点的集合．

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．

随机事件(事件)：样本空间Ω的子集．

基本事件：只包含一个样本点的事件．

事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现．事件的关系和运算事件的关系或运算含义符合表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件，和事件，A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件，积事件，A与B同时发生A∩B或AB互斥，互不相容，A与B不能同时发生A∩B=Ø互为对立A与B有且只有一个发生A∩B=Ø，A∪B=Ω事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示：

对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．02知识精讲

ExquisiteKnowledge

研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小．

对随机事件发生可能性大小的度量，数值，称为事件的概率，事件A的概率记为:P(A)．我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计．但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值．能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？随机试验

在10.1.1节，我们讨论过彩票摇号试验、抛掷一枚均匀硬币的试验及掷一枚质地均匀骰子的试验．它们的共同特征有哪些？

考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．

具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．【练习】从所有整数中任取一个数的试验中“抽取一个整数”是古典概型吗？【解析】不是古典概型．

因为这个试验有无数个基本事件，不满足结果有限性．判断一个试验是不是古典概型抓住两个要点：

一是样本点个数有限性；

二是每个样本点发生是等可能的．【练习】某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？【解析】不是古典概型．

因为试验的结果只有7个，但命中10环、命中9环、...、命中5环和不中环这些结果的出现不是等可能的．判断一个试验是不是古典概型抓住两个要点：

一是样本点个数有限性；

二是每个样本点发生是等可能的．

考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？(1)一个班级中有18名男生、22名女生．采用抽签的方式，从中随机选择一名学生，事件A=“抽到男生”；

对于问题(1)班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型．

抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小．因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量．显然，这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点．因此，事件A发生的可能性大小为．

考虑下面两个随机试验，如何度量事件A和B发生的可能性大小？(2)抛掷一枚硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”；用1表示硬币“正面朝上”，用0表示“反面朝上”，则试验的样本空间

Ω={(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(1，0，0)，

(0，1，1)，(0，1，0)，(0，0，1)，(0，0，0)}．共8个样本点，每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型．

事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小，因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量．因为B={(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)}，所以事件B发生的可能性大小为古典概型的概率计算公式：

一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率古典概型特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．【例7】单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案．假设考生有一题不会做，他随机地选择一个答案，答对的概率是多少？【解析】试验有选A、选B、选C、选D共四种可能结果，试验的样本空间可以表示为Ω={A，B，C，D}．考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等，所以这是一个古典概型．

设M=“选中正确答案”，因为正确答案是唯一的，则n(M)=1，所以，考生随机选择一个答案，答对的概率

在标准化考试中也有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，四个选项中至少有一个选项是正确的．你认为单选题和多选题哪种更难选对？为什么？【解析】在多选题中有15个可能结果，试验的样本空间可以表示为

Ω={A，B，C，D，AB，AC，AD，BC，BD，CD，ABC，ABD，ACD，BCD，ABCD}．

假设该考生不会做，在他答对任何答案是等可能的情况下，他答对的概率是1/15，比单选题答对的概率1/4小得多，所以多选题更难答对．【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；【解析】抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成抛掷两枚骰子试验的一个结果．用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m，数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n，则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点．

因此，该试验的样本空间Ω={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}}，其中共有36个样本点．

由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型．I号II号1234561(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．(2)求下列事件的概率：

A=“两个点数之和5”;

B=“两个点数相等”;

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．【解析】因为A={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，

所以n(A)=4，

【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．(2)求下列事件的概率：

A=“两个点数之和5”;

B=“两个点数相等”;

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．【解析】因为B={(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}，

所以n(B)=6，

【例8】抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号)，观察两枚骰子分别可能出现的基本结果．(2)求下列事件的概率：

A=“两个点数之和5”;

B=“两个点数相等”;

C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”．【解析】因为C={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)}，

所以n(C)=15，

如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点．这样，(1，2)和(2，1)的结果将无法区别．

当不给两枚骰子标记号，试验的样本空间

Ω1={(m，n)|m，n∈{1，2，3，4，5，6}，且m≤n}，n(Ω1)=21，事件A={(1，4)，(2，3)}，n(A)=2，

在例2中，为什么要把两枚骰子标上记号？你能解释其中原因吗?？

我们可以发现，36个结果都是等可能的；

而合并为21个可能结果时，(1，1)，(1，2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，

同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？？求解古典概型问题的一般思路：(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的可能结果(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果)；(2)根据实际问题情景判断样本点的等可能性，判断试验是否是古典概型；(3)计算样本点总个数n(Ω)及事件A包含的样本点个数n(A)，求出事件A的概率【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”．【解析】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能结果，将两次摸球的结果配对，组成20种等可能结果．用表10.1-2表示．

第一次第二次123451×(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)2(2，1)×(2，3)(2，4)(2，5)3(3，1)(3，2)×(3，4)(3，5)4(4，1)(4，2)(4，3)×(4，5)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)×【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”．(1)第一次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2行)，即A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)}，

【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”．(2)第二次摸到红球的可能结果有8种(表中第1，2列)，即B={(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(1，2)，(3，2)，(4，2)，(5，2)}，

【例9】袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次摸出2个球，求下列事件的概率：(1)A=“第一次摸到红球”；(2)B=“第二次摸到红球”；(3)AB=“两次都摸到红球”．(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1，2)，(2，1)}，

【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例

分层抽样的样本空间；（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．（1）根据相应的抽样方法可知：有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，

(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，

(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}

【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例

分层抽样的样本空间；（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．（1）根据相应的抽样方法可知：不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，

(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，

(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}

【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例

分层抽样的样本空间；（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．（1）按性别等比例分层抽样，先从男生中抽取一人，再从女生中抽取一人，其样本空间：Ω3={(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)}

建议写成：

Ω3={

B1G1，B1G2，B2G1，B2G2}

无序【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例

分层抽样的样本空间；（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．（2）设事件A=“抽到两名男生”，则对于有放回简单随机抽样，

A={(B1，B1)，(B1，B2)，(B2，B1)，(B2，B2)}．

因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以且这是一个古典概型．因此

【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例

分层抽样的样本空间；（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．（2）设事件A=“抽到两名男生”，则对于不放回简单随机抽样，

A={(B1，B2)，(B2，B1)}．

因为抽中样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以且这是一个古典概型．因此

【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．（1）分别写出有放回简单随机抽样，不放回简单随机抽样和按性别等比例

分层抽样的样本空间；（2）在三种抽样方式下，分别计算抽到的两人都是男生的概率．（2）按性别等比例分层抽样，不可能抽到两名男生，所以A=Ø，

因此P(A)=0．

【例10】从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人．写出不放回简单随机抽样的样本空间，并计算抽到的两人都是男生的概率．根据相应的抽样方法可知：不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，

(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，

(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}

设事件A=“抽到两名男生”，则对于不放回简单随机抽样，

A={(B1，B2)，(B2，B1)}