专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法）

专题07等腰三角形的轴对称性（5个知识点8种题型2种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.等腰三角形的性质（重点）知识点2.等腰三角形的判定方法（重点）知识点3.等边三角形及其性质（难点）知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点）知识点5.含30°角的直角三角形的性质（拓展）【方法二】实例探索法题型1.等腰三角形中的分类讨论问题题型2.利用“等边对等角”的性质进行证明题型3.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明题型4.等腰三角形的性质与判定的综合题型5.等边三角形性质的应用题型6.等边三角形的性质和判定的综合运用题型7.直角三角形知识在实际生活中的应用【方法三】仿真实战法【方法四】成果评定法【学习目标】探索等腰三角形的轴对称性，进一步体验轴对称的特性，培养几何直观能力。探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理。探索等边三角形的性质定理及判定定理。会利用基本作图作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形。在“操作一条件一归纳一证明”的过程中，发展合情推理和演绎推理的能力。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.等腰三角形的性质（重点）（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．解析：设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．解：设∠A＝x.∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x.∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x.在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°.方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.知识点2.等腰三角形的判定方法（重点）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有()A．5个B．4个C．3个D．2个解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．【变式】已知平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3)，在y轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有()A．3个B．4个C．5个D．6解析：因为△AOP为等腰三角形，所以可分三类讨论：(1)AO＝AP(有一个)．此时只要以A为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于O点和另一个点，另一个点就是点P；(2)AO＝OP(有两个)．此时只要以O为圆心AO长为半径画圆，可知圆与y轴交于两个点，这两个点就是P的两种选择；(3)AP＝OP(一个)．作AO的中垂线与y轴有一个交点，该交点就是点P的最后一种选择．综上所述，共有4个．故选B.方法总结：解决此类问题的方法主要是线段垂直平分线与辅助圆的灵活运用以及分类讨论时做到不重不漏．【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．知识点3.等边三角形及其性质（难点）（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．等边三角形的判定（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．【例4】等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．解析：先证△ABP≌△ACQ得AP＝AQ，再证∠PAQ＝60°，从而得出△APQ是等边三角形．解：△APQ为等边三角形．证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC.在△ABP与△ACQ中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABP＝∠ACQ，,BP＝CQ，))∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，∴△APQ是等边三角形．方法总结：判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°知识点4.直角三角形斜边上的中线的性质定理（重点）（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．【例5】（2022秋•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，D是AB的中点，则∠BCD＝°．【分析】由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠B＝36°，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD＝BD，则等边对等角，即∠BCD＝∠B＝36°．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝36°，∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝36°．故答案是：36．【点评】本题考查了直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．知识点5.含30°角的直角三角形的性质（拓展）（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．【例6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是()A．3cmB．6cmC．9cmD．12cm解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．【方法二】实例探索法题型1.等腰三角形中的分类讨论问题1.如果等腰三角形两边长是6cm和3cm，那么它的周长是()A．9cmB．12cmC．15cm或12cmD．15cm解析：当腰为3cm时，3＋3＝6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6cm时，6－3＜6＜6＋3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6＋6＋3＝15(cm)．故选D.方法总结：在解决等腰三角形边长的问题时，如果不明确底和腰时，要进行分类讨论，同时要养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．2.等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角的大小是()A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是65°.故选A.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．题型2.利用“等边对等角”的性质进行证明3.如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.解析：先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC，∠ECB＝eq\f(1,2)∠ACB，∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.方法总结：证明线段的平行关系，主要是通过证明角相等或互补．题型3.利用等腰三角形“三线合一”的性质进行证明4.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明．证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.∵AB＝AC，AD＝AE，∴BG＝CG，DG＝EG，∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.方法总结：在等腰三角形有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．题型4.等腰三角形的性质与判定的综合5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CE，,∠B＝∠C，,BE＝CF，))∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝eq\f(1,2)×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．题型5.等边三角形性质的应用6.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．7.如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.解析：要证BM＝EM，根据等腰三角形的性质可知，证明△BDE为等腰三角形即可．证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°，∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形．又∵DM⊥BC，∴BM＝EM.方法总结：本题综合考查了等腰和等边三角形的性质，其中“三线合一”的性质是证明线段相等、角相等和线段垂直关系的重要方法．8.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠BQM＝∠ABC＝60°.解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABC＝∠C，,BM＝CN，))∴△AMB≌△BNC(SAS)，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．题型6.等边三角形的性质和判定的综合运用9.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．解析：(1)由等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．(2)先求∠MCN＝60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE＝CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．解：(1)AN＝BM.理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.∴∠MCN＝60°，∠ACN＝∠MCB.在△ACN和△MCB中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝MC，,∠ACN＝∠MCB，,NC＝BC，))∴△ACN≌△MCB(SAS)．∴AN＝BM.(2)△CEF是等边三角形．证明：∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE＝∠CMB.在△ACE和△MCF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CAE＝∠CMF，,AC＝MC，,∠ACE＝∠FCM，))∴△ACE≌△MCF(ASA)，∴CE＝CF.∴△CEF是等边三角形．方法总结：等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件．题型7.直角三角形知识在实际生活中的应用10.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．解：如图所示，作BD⊥CA于D点．∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝20m，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×50×20＝500(m2)．已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．题型8.等腰三角形或直角三角形中的规律探究11.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D.(1)请你写出图中所有的等腰三角形；(2)请你判断AD与BE垂直吗？并说明理由．(3)如果BC＝10，求AB＋AE的长．解析：(1)由△ABC是等腰直角三角形，BE为角平分线，可证得△ABE≌△DBE，即AB＝BD，AE＝DE，所以△ABD和△ADE均为等腰三角形；由∠C＝45°，ED⊥DC，可知△EDC也符合题意；(2)BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称，可得出BE⊥AD；(3)根据(2)，可知△ABE关于BE与△DBE对称，且△DEC为等腰直角三角形，可推出AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.解：(1)△ABC，△ABD，△ADE，△EDC.(2)AD与BE垂直．证明：由BE为∠ABC的平分线，知∠ABE＝∠DBE，∠BAE＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△ABE≌△DBE，∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合，∴A、D是对称点，∴AD⊥BE.(3)∵BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE＝DE.在Rt△ABE和Rt△DBE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝DE，,BE＝BE，))∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL)，∴AB＝BD.又∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴∠C＝45°.又∵ED⊥BC，∴△DCE为等腰直角三角形，∴DE＝DC，∴AB＋AE＝BD＋DC＝BC＝10.12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．解析：由条件先证△AED≌△BED，得出∠BAD＝∠CAD＝∠B，求得∠B＝30°，即可得到CD＝eq\f(1,2)DB.解：CD＝eq\f(1,2)DB.理由如下：∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BED＝90°.∵DE是∠ADB的平分线，∴∠ADE＝∠BDE.又∵DE＝DE，∴△AED≌△BED(ASA)，∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.∵∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴CD＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BD，即CD＝eq\f(1,2)DB.方法总结：含30°角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据，如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时，要联想此性质．【方法三】仿真实战法13．（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70° B．45° C．35° D．50°【分析】根据等腰三角形的性质进行计算，即可解答．【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理是解题的关键．14．（2022•宿迁）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当3cm是腰长时，3，3，5能组成三角形，当5cm是腰长时，5，5，3能够组成三角形．则三角形的周长为11cm或13cm．故选：D．【点评】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．15．（2022•淮安）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AC的中点，若AB＝10，则DE的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】利用等腰三角形的性质得出∠ADC＝90°，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E为AC的中点，∴DE＝AC＝5，故选：C．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．16．（2022•苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为．【分析】由等腰△ABC是“倍长三角形”，可知AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，可得AB的长为6；若BC＝3＝2AB，因＝3，故此时不能构成三角形，这种情况不存在；即可得答案．【解答】解：∵等腰△ABC是“倍长三角形”，∴AB＝2BC或BC＝2AB，若AB＝2BC＝6，则△ABC三边分别是6，6，3，符合题意，∴腰AB的长为6；若BC＝3＝2AB，则AB＝，△ABC三边分别是，，3，∵＝3，∴此时不能构成三角形，这种情况不存在；综上所述，腰AB的长是6，故答案为：6．【点评】本题考查三角形三边关系，涉及新定义，解题的关键是分类思想的应用及掌握三角形任意两边的和大于第三边．17．（2020•青海）已知a，b，c为△ABC的三边长．b，c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|x﹣4|＝2的解，则△ABC的形状为三角形．【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而判断出其形状．【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，解得：b＝2，c＝3，∵a为方程|x﹣4|＝2的解，∴a﹣4＝±2，解得：a＝6或2，∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，∴a＝6不合题意，舍去，∴a＝2，∴a＝b＝2，∴△ABC是等腰三角形，故答案为：等腰．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a的值是解题关键．18．（2021•淄博）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE＝DE；（2）若∠A＝80°，∠C＝40°，求∠BDE的度数．【分析】（1）先根据角平分线性质，得∠ABD＝∠CBD，由平行线性质得到：∠EDB＝∠CBD，得到∠EBD＝∠EDB，根等角对等边判断即可．（2）先根据三角形内角和，求∠B的度数，再利用角平分线的性质求∠DBC的度数，利用平行线性质求得∠EDB＝∠DBC．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．（2）∵∠A＝80°，∠C＝40°∴∠ABC＝60°，∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝30°，由（1）知∠EDB＝∠EBD＝30°，故∠BDE的度数为30°．【点评】本题主要考查等腰三角形的判定和性质．熟练掌握判定和性质是关键．属较容易题．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）等腰三角形的周长为20cm，一边为8cm，则腰长为（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm或8cm【答案】D【分析】分类讨论：当8cm是腰长时和当8cm是底边长时，结合三角形的周长，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm，∴当8cm是腰长时，底边为：cm；∴当8cm是底边长时，腰长为：cm，∴腰长为8cm或6cm，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，利用分类讨论思想是解题的关键．2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，点是的边上一点，．若，则()A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出，进而根据等腰边对等角以及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：，，，，，，．故选：D．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键．3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，点D在上，，将线段沿着方向平移得到线段，点E，F分别落在，边上，则的周长为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为平移，所以，，，再根据，，得，，等角对等边，即，即可知道的周长．【详解】解：∵将线段沿着方向平移得到线段，∴，，，∵，，∴，，∴，∴，∴的周长为：，故选：C．【点睛】本题主要考查平移性质以及等腰三角形的判定，难度中等，正确掌握平移性质是解题的关键．4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，是上一点，，垂直平分，于点，的周长为，，则的长为（）

A． B．5 C． D．6【答案】C【分析】根据三线合一的性质，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，即可得出答案．【详解】解：周长，，，，，，∴，又∵垂直平分，∴，∴，∴，，．故选：C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．5．（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（

）A．12 B．15 C．12或15 D．9【答案】B【分析】根据等腰三角形的定义，进行分类讨论，结合三角形三边之间的关系，判断能否构成三角形，即可解答．【详解】解：当底边为3，腰长为6时，该三角形三边长为，∵，∴能构成三角形，∴这个三角形周长为，当底边为6，腰长为3时，该三角形三边长为，∵，∴不能构成三角形，综上：这个三角形周长为15．故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握等腰三角形两腰相等，以及三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分，则图中等腰三角形的个数是()A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解．【详解】解：在中，，是等腰三角形；，，，点在的垂直平分线上，，是等腰三角形；，，平分，，，，是等腰三角形；，，，，是等腰三角形；，，是等腰三角形；，，是等腰三角形，综上所述，等腰三角形有，，，，，共个，故选：D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使为等腰三角形，则点P有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以为腰，点为顶角顶点；以为腰，点为顶角顶点；以为底．【详解】解：如图：如图，以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有5个；以为腰，点为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以为底的等腰，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．8．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（）A．4 B．6 C．8 D．【答案】C【分析】先根据得，又因为得，然后证明，从而知道，即可知道的值．【详解】解：∵，∴，∵，，，∴，∵的中垂线交于点D，∴，在与中，，∴，∴，，∵，∴，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查的是等边对等角以及全等三角形的判定等知识内容，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为16，，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据垂直平分得到，，根据，，得到，计算即可．【详解】解：的周长为16，，垂直平分，，，，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．10．（2022秋·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，已知等边中，点为线段上一点，将沿翻折得到，点与重合，连接，若则的度数是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由等边三角形的性质和折叠的性质可得，则，根据三角形内角和定理得，则，将用含m的式子表示出来，则可得的度数，再用减去即可得的度数．【详解】由折叠性质可得，≌，，，为等边三角形，，故选：．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．二、填空题11．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）已知是等腰三角形．若，则的顶角度数是．【答案】或【分析】分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．【详解】解：当是顶角时，的顶角度数是；当是底角时，则的顶角度数为；综上所述，的顶角度数是或．故答案为：或．【点睛】本题考查等腰三角形的性质：等边对等角，难点在于要分情况讨论．解题的关键是掌握等腰三角形的性质．也考查了三角形内角和定理．12．（2022秋·江苏连云港·八年级统考期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为．【答案】15【分析】根据等腰三角形的性质分情况讨论底边长和腰长分别是多少，再求出周长．【详解】解：若3是底边长，6是腰长，三边长为3，6，6，构成等腰三角形，则等腰三角形的周长为；若6是底边长，3是腰长，则等腰三角形三边长为3，3，6，∵不能构成等腰三角形，∴此种情况不存在，∴等腰三角形的周长为15．故答案为：15．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，在讨论底边长和腰长时需要注意三边长要满足构成三角形的条件．13．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图，已知直线垂直于直线，点A在直线上，且，点B在直线上，在直线或直线上找一点C（与A、B不重合），使成为一个等腰三角形，这样的点C能找到个．

【答案】6【分析】分两种情况讨论，当是底边时，当是腰时，即可求解．【详解】解：

（1）当是底边时，作的垂直平分线，分别与，线段的延长线相交，共两个交点，都符合题意；（2）当是腰时①以A圆心长为半径画圆交直线于两点，交线段延长线于一点（该点与前面的点重合），有两个交点符合题意；②以B圆心长为半径画圆交直线于两点（有一个点与前面的点重合），交线段延长线于一点，有两个交点符合题意，因此这样的点C能找到6个，使成为等腰三角形．故答案为：6．【点睛】本题考查等腰三角形，关键是分两种情况讨论，并注意有重合的点．14．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，在中，．P是边上一点，，连接，以为边在的右上方作等边三角形．若，则点Q到边的距离为

【答案】【分析】如图，过作于，则，，则，由等边三角形，可得，，，证明，根据，求解即可．【详解】解：如图，过作于，则，

∵，∴，∴，∵等边三角形，∴，，∴，即，∵，，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了含的直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．15．（2023秋·江苏扬州·八年级统考期末）如图，在中，，点是边上的点，且，则的长为.

【答案】2【分析】先根据等边对等角的性质，得到，利用互余和三角形内角和定理，推出，进而得到，即可求出的长．【详解】解：，，，，，，，，故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，互余，解题关键是掌握等腰对等角、等角对等边．16．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形纸片中，，点是边上的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，此时恰好有．若，那么折痕的长为．

【答案】【分析】如图，设交于点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，由翻折的性质可知，再根据，可证明，可得，从而得到是等边三角形，由等边三角形的性质可得结论．【详解】解：如图，设交于点，∵，点是边上的中点，∴，∴，由翻折的性质可知，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等边三角形，∵，∴，∴折痕的长为．故答案为：．

【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握翻折变换的性质．17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在三角形纸片中，．把沿着翻折，点落在点处，连接．如果，则的度数是．【答案】【分析】由，，根据等边对等角的性质，即可求得的度数，又由折叠的性质，求得的度数，继而求得的度数．【详解】解：∵，，∴，由折叠的性质可得：，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了折叠的性质与等腰三角形的性质．解题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．18．（2022秋·江苏南京·八年级校考阶段练习）已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为．【答案】/【分析】在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．想办法证明，推出，推出即可解决问题．【详解】解：在上取一点T，使得，连接，在上取一点K，使得，连接．∵，，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题19．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知：如图中，平分，平分，过D作直线平行于，交于E，F，

(1)求证：是等腰三角形；(2)求的周长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定即可证明；（2）同理证明，结合，即可利用三角形周长公式求出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）解：同（1）可证也为等腰三角形，即，∵，∴的周长．【点睛】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，垂直平分斜边，分别交于D、E．若，求．

【答案】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，继而得到，即可求解．【详解】解：∵垂直平分斜边，∴，∴．∵，，∴．∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．21．（2022秋·江苏南通·八年级统考期中）如图，在中，D是边的中点，E是外一点，，，请用无刻度的直尺分别按下列要求画图．（不写画法，保留画图痕迹）

(1)在图1中，画出的边上的中线；(2)在图2中，已知，画出的边上的高．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接交于点F，连接，即可得到的边上的中线；（2）连接交于点F，连接交于点O，连接并延长交于点H，则为上的中线，根据等腰三角形的性质可得的边上的高．【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）如图，即为所求．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质．22．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．(1)求证：；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明，，可得，从而可得结论；（2）求解，结合的平分线交于点D，可得，由（1）知．【详解】（1）证明：在中，的平分线交于点D，∴，∵，∴，∴，∴．（2）∵，，∴，∵的平分线交于点D，∴，由（1）知，故的度数为．【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上基础的几何知识是解本题的关键．23．（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图1，在中，，，点D在边上由点C向点B运动（不与点B、C重合），过点D作，交射线于点E．分别探索以下两种特殊情形时线段与的数量关系，并说明理由；

(1)点E在线段的延长线上且；(2)点E在线段上且．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形内角和求出，由等边对等角及三角形的外角求出，利用垂直求出，由此得到，进而得到结论；（2）由，可得，即得根据，可得，故．【详解】（1）解：，理由如下：∵在中，，，∴，∵，∴∵∴∵，∴∴∴，∴∴；（2），理由如下：如图：

∵∴，∵，∴，∴∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含的直角三角形三边关系，等边对等角等知识，解题的关键是熟练掌握定理并解决问题．24．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，且．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，证明，根据等腰三角形的三线合一性质即可证得结论；（2）由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数．【详解】（1）证明：如图，连接，∵是的垂直平分线，∴，∵，∴，∵为线段的中点，∴；（2）解：∵，∴，∵是的外角，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．25．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，在中，、分别垂直平分和，交于M、N两点，与相交于点F．(1)若的周长为cm，求的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)15cm(2)【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据的周长即可求解．（2）根据三角形内角和定理求出的值，再求出的值，根据等边对等角可得，然后运用三角形的内角和定理进行计算．【详解】（1）解：、分别垂直平分和，，的周长，的周长为cm，cm；（2）解：，，，，，，，．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边