相关搜索的亚像素插值法

相关搜索的亚像素插值法在整像素位移搜索时，通常是以一个像素为步长来移动模板子区的中心位置，从而来计算各个位置上的相关系数，找到相关系数取最大值的位置来获得位移信息的。同样，如果将步长改为0.1个像素，那么就得到0.1个像素量级的搜索精度；如果将步长改为0.01个像素，就得到了0.01个像素量级的搜索精度。这里，我们假设步长为0.01像素。这样，首先需要做的就是得出每0.01像素上的灰度值。这就需要对离散灰度进行插值运算。一般来说有双线性插值(bilinearinterpolation)、拉格朗日插值,和双三次样条插值(bicubicsplineinterpolation)o双线性插值又称为一阶插值算法,灰度值连续,灰度的已接到数不连续。拉格朗日插值和双三次样条插值为高阶插值算法,灰度的一阶、二阶倒数连续。由于这里我们需要的只是插值出亚像素上的灰度值,对灰度的倒数并不关心,所以只需要用双线性插值就可以满足需求。如果拉格朗日插值或者双三次样条插值,对于精度的提高并不明显,反而会大大提高运算量。非整像素点(x,y)的灰度值可用双线性插值方法近似得到，假设(x,y)点在邻近的四个像素点(i,j)、(i+1,j)、(i,j+1)、(i+1,j+1)之间。亚像素点(x,y)上灰度值得双性差值为g(x,y)=A+Aa+A卩+Aa卩00100111式中A二g(i,j)00A=g(i+1,j)-g(i,j)10A=g(i,j+1)-g(i,j)01A=g(i+1,j+1)+g(i,j)-g(i,j+1)-g(i+1,j)11这里a,P分别为(x,y)点到(i,j)点距离的水平、垂直分量。双线性插值示意图如图：实际计算中，通常选择整像素相关搜素得出的位置周围8个像素内的范围作为相关子区（模板）中心的搜素范围。中心从左上角一次在x方向或y方向一0.01个像素为步长移动。这样总共就得到100X100=10000各相关系数，曲折10000个相关系数极大值所在的位置作为搜索到的目标相关子区的中心。图是相关子区中心的搜索示意图。如果能对目标图像进行理想插值（重建），那么理论上的相关定位进度取决于搜索步长的大小。但是由于图像中各种噪声和插值算法误差的影响，当步长小到一定的程度后，得到的定位精度是没有意义的。实验表明步长取0.01个像素即可。在理想情况下，这种亚像素定位精度为0.02~0.1个像素。该方法计算量大（虽然采用一些快速相关搜素方法可在一定程度上减小计算量），但是效果并不理想。这是因为通过灰度插值方法重构近似连续的散斑图像灰度场与真实的情况有很大的差别，且由于各种噪声的影响，其获得的精度有限，实际上该方法现在已很少采用。曲面拟合、插值法求解亚像素位移图显示了整像素位移相关的搜索结果及其相邻8个点的相关系数矩阵。对于该相关系数矩阵可以将其拟合或插值为连续曲面，然后求出该曲面的机制作为亚像素位移的求解结果。常用的曲面你和方法有高斯函数拟合和二次多项式拟合。对于相关系数取面较平缓的情况，高斯拟合不仅需要较大的你和窗口，而且可能产生较大的误会，因此实际中多采用二元二次多项式来拟合相关函数曲面。对整像素位移搜索到的（x',y'），周围各点的相关系数，都可用下面的二元二次函数表示：C（x+y）=a+ax+ay+ax2+axy+ay2ij01i2j3i4ij5j对于nxn（n通常取3、4或5）的拟合窗口就有nXn个式（），因此可以用最小二乘法求解二次曲面的待定系数a,a, ,a。对3x3的拟合窗口上式也0 1 5可以写成下面的矩阵形式：i二1为yii二1为yii二1为x2ii二1工xyiii二1工y2ii二1为xii二1为x2ii二1为xyiii二1为x3ii二1工x2yiii二1工xy2iii二1为yii二1Xxyiii二1Xy2ii二1Xx2yiii二1Xxy2iii二1Xy3ii二1Xx2ii二1Xx3ii二1Xx2yiii二1Xx4ii二1Xx3yiii二1Xx2y2iii二1X9xyiii二1Xx2yiii二1Xxy2iii二1Xx3yiii二1Xx2y2iii二1Xxy3iii二1工y2ii=1‘XCii=1Xxy2XCxiiaiii=10i=1Xy3a1XCyiaiii=1■2=i=1Xx2y2a3XCx2iiaiii=14i=1Xxy3iii=1(a5JXCxyiiii=1Xy4XCy2iii函数C（x,y）在拟合曲面的极值点应满足以下方程组:°C(x,y)=a+2ax+ay=0°x134°C(x,y)=a+2ax+ay=0°x254于是，由式（）、式（）就可以求出你和曲面的极值点位置：2aa—aa 2aa—aax二1—5 2~,y= 14a2—4aa a2—4aa4 35 4 35同理，对已获得的整像素点周围9点的相关系数矩阵可以利用拉格朗日插值法插值为以下形式的四次曲面:C(x,y)=Ax2y2+Bx2y+Cx2+Dxy2+Exy+Fx+Gy2+Hy+I同样，函数C(x,y)在插值曲面的极值点应该满足以下方程组：°C(x'y)=2Axy2+2Bxy+2Cx+Dy2+Ey+F=0dx°C(°C(x,y)=2Ax2y+Bx2+2Dxy+Ex+2Gy+H=0该非线性方程组可以通过Newton迭代法求出极值点位置。迭代的初值估计为(0,0)，当相邻两次迭代解之差的绝对值小于设定阈值时迭