2023全国高中数学联赛山东省预赛试题及答案解析

全国数学联赛山东省预赛试题（含答案）一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知，，则集合的元素个数是2、已知：，则是3、已知关于的方程的三个非零实数根成等比数列，则的值是4、正方体的底面内有一个动点，且，则的最大值是5、数列中，，，那么6、已知，则的最小值是设的内心为，而且满足，则的值是8、已知双曲线H：上第一象限内一点M，过M的作H的切线，与双曲线H切于M，交H的渐近线于P，Q两点（P在第一象限），R与Q在同一渐近线上.则的最小值为.9、小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分．他的目标是至少得分，分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为，小张应该做______多少道题，及格的概率最大10、设实数使得，，均为素数，则的值是二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：是的外心，分别是边上的点.线段的中点分别为.垂足为.求证：四点共圆（本题15分）在区间中任取个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能被另一个数整除.（本题20分）已知：为正实数.证明：（本题20分）的表格上填入1到100，第行第列填入.每次操作如下：取一个格子，或者将此格数字减少2，将两个相对的邻格同时加1；或者将此格数字增加2，将两个相对的邻格同时减1.证明：如果经过一些步骤后表格中又得到1到100的数字，则它们是按原来的顺序排列的.2023全国数学联赛山东省预赛试题解析一、填空题（每小题8分，共80分）1、已知，，则集合的元素个数是答案：7解析：由已知得，，所以2、已知：，则是答案：解析：由已知得，所以易得3、已知关于的方程的三个非零实数根成等比数列，则的值是答案：0解析：设这三个根是，则由韦达定理得整理得，所以4、正方体的底面内有一个动点，且，则的最大值是答案：解析：由已知点在线段上运动，所以，且当点是中点时等号成立.5、数列中，，，那么答案：解析：由递推关系得，所以，所以所以6、已知，则的最小值是答案：解析：由柯西不等式得，，所以且当时取等号7、设的内心为，而且满足，则的值是答案：解析：设的三边长为，由熟悉的结论：得，所以已知双曲线H：上第一象限内一点M，过M的作H的切线，与双曲线H切于M，交H的渐近线于P，Q两点（P在第一象限），R与Q在同一渐近线上.则的最小值为.答案：解析：设点，，，则.且，，注意到即M为PQ的中点..考虑到M在第一象限，故小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做得零分．他的目标是至少得分，分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率为，小张应该做______多少道题，及格的概率最大答案：7或9解析：做对道题．再做一道题及格的概率为，再做两道题及格的概率为，再做三道题及格的概率为，再做四道题及格的概率为．显然．因此，只需比较与的大小．当，即时，解得．因此，当时，，此时回答九道题及格的概率最大；当时，，此时回答七道题及格的概率最大；当时，，此时回答七道题或回答九道题及格的概率最大10、设实数使得，，均为素数，则的值是答案：3解析：设，，，期中都是素数，所以，代入整理得故，所以或，经检验只能二、解答题（共70分）11、（本题15分）已知：是的外心，分别是边上的点.线段的中点分别为.垂足为.求证：四点共圆证明：设的三个内角分别为，的外接圆半径为由知，，又，故四点共圆得证（本题15分）在区间中任取个奇数.求证：在所取出的数中，必有两个数，其中一个数的平方不能被另一个数整除.（本题20分）已知：为正实数.证明：证明：由抽屉原理，中必有两个数同时不大于1，或同时比小于1，设为则由得所以（本题20分）的表格上填入1到100，第行第列填入.每次操作如下：取一个格子，或者将此格数字减少2，将两个相对的邻格同时加1；或者将此格数字增加2，将两个相对的邻格同时减1.证明：如果经过一些步