四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二下学期期中理科数学 Word版含解析

2,下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为2,下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为()A./(x)=tanxB.冷)=一!注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息在答题卡上2022—2023学年高二下期期中考试考试范围：圆锥曲线、导数、选修4-4第一章坐标系考试时间：120分钟；总分：150分第I卷(选择题)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.己知复数4=2+"Z2=l-2i,则()A.|z,+l|=|z2|B.Z|的共辄复数为z?C.复数z&2对应的点位于第二象限D.复数;纯虚数【答案】D【解析】【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用共轴复数的定义可判断B选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D选项.【详解】4+l=3+i,揭+1|=W+F=面,闻=W+(-2)2=',。同，则A错误；Zj的共辄复数为2—i，则3az2,故B错误：z122=(2+i)(l-2i)=4-3i,复数z&2对应的点(4,-3),位于第四象限，故C错误;Z]_Z]_2+i_(2+i)(l+2i)_2+i+4i-2z^~l-2i_(l-2i)(l+2i)~5~故选：AD.为纯虚数,故D正确.C./(x)=x-cosxD./(x)=et-e~r3.若3.若y=sin—,则/=()【答案】D【解析】【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.【详解】对于A,/(x)=tanx为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；对于B,/(x)=-p定义域为(TR,O)u(O,+8)，r(—x)=—r(x)，所以/(')为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；故函数/(x)=x-cosj;不是奇函数，不符合题意：对于D,/(x)=eA+e-A>0,是增函数，/(-x)=e-%-eA=-/(x),是奇函数，满足题意；故选：D.故选：A.4,设双曲线r方2-v分2=Igo,SO)的渐近线方程为、=±工，则此双曲线的离心率为()【详解】Vy=sin-=^,.-.y=0.32【解析】【分析】根据渐近线方程求出。与b的关系即可.A.O1A.O12【答案】A【解析】【分析】由常数的导数为0即可得解.B.|°右L).---2A.—3435c5.如图，5.如图，方程x+|y-l|=O表示的曲线是().1*222bb44【详解】双曲线。—土=1的渐近线方程为：y=±-x,:.-=-,b=-aa2b2aa33[W】B【解析】【分析】分y21和y<l,去掉绝对值，得到相应的曲线.【详解】x+|y-l|=O,当时，x+y-l=Of当yvl时，x+l-y=O,画出符合题意的曲线，为B选项,故选：B6.对于常数％",是“方程mx2+ny2=l曲线是椭圆”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[答案】B【解析】Xc~=aXc~=a+b=a+—a=—a2决255T722>221^225299故选：A.e=r=—,e=-；a293/h/h>0/m>0又因为，7>0=〃z〃>0,但m〃>0匕<〃>0,m^n[mn所以“〃俱>0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选：B.Al标原点，动点尸满足OP=,〃O人+〃08,其中刀、〃eR,且2冰一〃2=2,则动点P的轨迹是()A.焦距为的椭圆B.焦距为2占的椭圆C.焦距为白的双曲线D,焦距为2右的双曲线【答案】D【解析】【分析】动点P(x,y),由OP=mOA+nOB得到m=x+ytn=x+2yf进而得到2(x+y)2-(x+2y)2=2,化简可得答案.【详解】设动点P(x,y),因为点尸满足0P=/”0A+〃08，其中〃2、/?gR,且2m2-n2=2,所以(x,y)=(2m-n,n-m)f所以x=2m-n,y=n-m,所以m=x+ytn=x+2yf所以2(x+y)2-(x+2y)2=2,2即=表示焦距为20的双曲线.故选：D8.已知函数f(x)的导函数为广(力，且满足f(x)=24'(l)+lnx,则/•'⑴=()A.1B.--C.-1D.e2【答案】C【解析】【分析】在等式f(x)=24'(l)+lnx求导，再令x=l,可得出关于广⑴的等式，解之即可.【分析】运用椭圆方程的一般形式求得扪、〃的范围，结合两集合的包含关系判断即可.m>0【详解】因为“方程*+顽=1的曲线是椭圆”，则{〃>0,tn^nC.函数/Xx)在(-1,1)±有极大值【详解】在等式/'3)=2矿(l)+lnx两边求导得广(x)=2r(1)+《，所以，r(l)=2/'(l)+l,解得广⑴=-1.故选：C.9.已知函数f(x)的导函数是广3),对任意的xeR,r(x)<l,若/(-1)=1,则/(x)>x+2的解集是()A.(—1,1)B.(—l,+oo)C.(-oo,-l)D.(l,+oo)【答案】C【解析】【分析】设g(x)=f(x)-x-2t求得g'(x)=r(x)—l,根据题意得到g'(X)〈0,得到函数g(x)单调递减，又由/(-1)=1,得到g(—l)=0,JC/(x)>x+2,转化为g(x)>g(—l),结合函数g(x)的单调性，即可求得不等式的解集.【详解】设函数g(x)=f(x)-x-2f可得g'(x)=r⑴一1,因为尸(工)<1,可得/(x)=y'(x)—ivo,所以函数g(x)单调递减，又因为j(_l)=l,可得^(-1)=/(-1)+1-2=0,由不等式/(x)>x+2,即为g(x)>g(-1)=0,所以x<-l,即不等式/(x)>x+2的解集为(-oo,-l).故选：C.10,函数/'(X)的定义域为R,它的导函数y=f\x)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是()B./(-2)>/(-1)【详解】D.函数/有三个极值点【答案】B【解析】【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.【详解】当x<-3时,/"(、)单调递增，当一3VXV—1时，r(x)<0,单调递减，所以有/(-2)>/(-1),因此选项B正确；当一Ivxv1时，f(x)单调递增，所以/*(*)在(-1,1)±没有极大值，因此选项C不正确；当*>1时，/^x)>0,f(x)单调递增，因此x=l不是/'(工)的极值点，只有当x=-3时，户-1函数有极值点,所以选项A不正确，选项D不正确，故选：B11.C:二—分=1(。>0，>0)的右焦点为F,点尸在双曲线C上，若\PF\=5a,且ZPFO=\20°,其中0为坐标原点，则双曲线C的离心率为()4A.-35B.-3【条】C【解析】【分析】根据已知判断尸在双曲线右支上，根据双曲线的定义可得|PK|=7o.然后在二PFF]中，根据余弦定理即可得出。，。的齐次方程，然后得出离心率的方程，求解即可得出答案.详解】由题意可得e详解】由题意可得e='=2,即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2V6,即②错误;设双曲线左焦点为氏，由已知可推得户在双曲线右支上，如图所示,根据双曲线的定义可知，|捋|-|所|=2入所以|辫|=7o.由已知，ZPFR=ZPFO=12。。,在,PFF\中，有|Pg|=7o,\PF\=5a,|F^|=2c,由余弦定理可得，|Pg|2=|pF|2+|F^|2-2|PF|-|F^|cosZPF^,即49a2=25a2+4凌-2x5。x2cx,整理可得，2/+5oc—12/=0,两边同时除以疽可得，2^+5e-12=0，解得。=3、或e=-4(舍去)，所以。=322212.已知动点P在双曲线C：f一匕=1上，双曲线C的左、右焦点分别为K，尤，则下列结论：3①C的离心率为2；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，七卡的最大值为二.冏I4其中正确的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算第II卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题第II卷(非选择题)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13,动点P到两定点A(—4,0)、B(4,0)距离之和为10,则点P的轨迹方程为.【答案】土+匕=1.259【解析】【分析】利用定义法求点P的轨迹方程.【详解】解：因为|剖+|朗=10>|人8|=8,由椭圆的定义可知，动点尸的轨迹是以A(-2,0),8(2,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，其中1一2气之3,则——e0,-,1-2气<3」由二次函数的性质可得其最大值为匚,当且仅当=了，即吒=一15时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B易知双曲线的渐近线方程为y=设点户(入0，*0)，贝|]3好-为2=3,且到两条双曲线的距离之积为|庐匚4脾。咽=|3对-泌|=°是定值，故③正确；2244对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线声一分=1上任意一点叩0，*0)及双曲线的左右焦点氏(-C,。)、E(gO)，则|^|=V(xo+c)2+>o2=^(a0+c)2+Z?23一1=序虹+2%+后=g+"o|，同理\PF2\=\a-ex^\,所以|Pf；|=|a+^0|,|P^|=|«-6^|,此即为双曲线的焦半径公式.设点P(Xo"o)(Xo〈T)，由双曲线的焦半径公式可得|PR|=|l+2引=一1一2吒,|芯|=1—2吒,故地_±J_q_2p4|P町(l-2x0)2U-2x0J{l-2xj故答案为：—222所以点尸的轨迹方程是—+^-=1.故答案为：—+^=125914.若函数f(x)=lnx-ax的图象在(1,/(1))处的切线斜率为!，则实数。=.【答案】?##0.5【解析】【分析】求出函数/'(X)的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求【详解】因为/'(x)=lnr—ox,所以广(乂)=!一〃，所以/•(》)在x=l处的切线斜率&=r(i)=i_i=S，解得白=?.故答案为：15.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，设点M在抛物线C上，若以线段W为直径的圆过点(1,0),则|FM|=.2【解析】【分析】根据直径所对的圆周角为直角可得AM1AF,进而得斜率关系，联立直线与抛物线的方程即可得交点由焦半径公式即可求解.【详解】因为2p=8,所以p=4,焦点尸的坐标为F(0,2).设4(1,0)，则直线AF的斜率为-2,因为以线段W为直径的圆过点A,所以AMA.AF,所以直线AM的斜率为!，直线人M的方程为y=；(x-l)联立解得|FA/|=yM+^=^+2=J,j=8y,k27222设此时正方形的边长为2i,所以HZ设此时正方形的边长为2i,所以HZ=!J(2j+(2〃)2=VL,设该四棱锥的高为PZ=/?(2v/2＜4),所以有OZ=h-2,由勾股定理可得：OZ2+VZ2=OV2=＞(力一2)2+2疽=4,16.己知球。的半径为2,四棱锥的顶点均在球。的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为【答案】-##2-【解析】【分析】根据圆的几何性质、球的几何性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】圆内接四边形是正方形时，这个四边形的面积最大，当四棱锥的高经过。点时，此时体积最QQQ所以当h=-时，函数f(/z)有最大值.Q些3【点睛】关键点睛：根据导数的性质是解题的关键.【点睛】关键点睛：根据导数的性质是解题的关键.三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.求适合下列条件的曲线的标准方程.(1)实轴长为8,焦点坐标为(0,5),求双曲线的标准方程；(2)焦点在x轴正半轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.22【答案】(1)Z--£=i(2)y2=4x【解析】【分析】(1)由实轴长得到。，由焦点坐标得到焦点位置和再由b2=c2-a2>即可求出双曲线的标准方程；(2)由抛物线标准方程相关概念求解即可.【小问1详解】.•双曲线的一个焦点坐标为(0,5),为y轴上一点，.•设双曲线标准方程土一二=1(a>0,人>0)，且c=5,a2b2又...双曲线实轴长为8,..24=8,。=4,...屏=子_。2=25—16=9，【小问2详解】..•抛物线焦点在x轴正半轴上，.•设抛物线的标准方程为V=2px(p>0),又..•抛物线焦点到准线的距离是2,...p=2,..抛物线的标准方程为丁=4x.18.己知函数/(x)=2x3+3履+3/zx+1且在x=lRx=2处取得极值.依题意<依题意<解得。=*=4.所以7*3)在区间(f,1),(2,+oo)上f(x)>0,/(x)递增;在区间(1,2)上f(x)<0,/(x)递减.所以/(x)在x=l处取得极大值，在x=2处取得极小值，符合题意.【小问2详解】/(^)=2^-9^2+12x+l,由(1)知，/(x)在区间[0,3]上的最大值为10,最小值为1.19如.图1所示，在边长为3的正方形ABCD中，将zMOC沿AC折到ZVIPC的位置，使得平面APCA.平面ABC,得到图2所示的三棱锥P-ABC.点E,F,G分别在上，且AE=2EP，PF=2FB，PG=2GC.记平面段G与平面ABC的交线为Z.(1)求Sb值；(2)求函数y=/(x)在[0,3]的最大值与最小值.【答案】(1)a=-3,b=4⑵』(、=1。"(》)顽=1【解析】【分析】⑴利用/(1)=0,/(2)=0来求得。寸的值.(2)结合(1)求得/'(x)在区间[0,3]上的最值，由此确定正确结论.【小问1详解】 ( (1)在图2中画出交线/,保留作图痕迹，并写出画法. (2)求二面角A-FG-E的余弦值.【答案】(1)答案见解析⑵13应【解析】【分析】(1)利用公理3,通过找出两平面的两个公共点即可求出结果；(2)建立空间直角坐系，求出平面AFG与平面EFG的法向量，再利用空间向量的面面公式及图形即可求出结果.【小问1详解】作图步骤：如图所示，延长EF,交于点延长AC,EG交于点、N,连接"V,则直线即为交线【小问2详解】四边形ABCD是长为3的正方形，取AC中点0,连接ORO8,则OBA.AC,OPLAC,又平面APCA.平面ABC,平面APC}平面ABC=AC,OPu平面APC,所以OP_L平面ABC,又OBu平面ABC,所以OPLOB,故可建立如图所示的空间直角坐标系。-也yz,岂-屁+手FE•=0z2岂-屁+手FE•=0z2=0<,-所以〃由，,得到{,取工2=1，则力=一1摆2=-3,所以FG〃2=0-y/2x2-yjly2=0所以cosSi，a\=_____13应由图知，二面角A-FG-E为锐二面角，故二面角A-FG-E的余弦值为旦晅.20,已知椭圆T：4+4=1的离心率为吏，直线/：x-2y=0,左焦点F到直线/的距离为寸0.ab5FGn.=0设平面AFG与平面EFG的法向量分别为困=(石,凹，4),n.=(x2,y2,z2),则FAn.-0孕。妫-争1=0,不妨设为=1,则m=_i,z,=5,则AFG=FG=(->/2,-V2,0),【答案】(【答案】(1)三+匕=182 42【解析】【分析】(1)由距离公式求出。，再由离心率求出。，即可求出力，从而得解；(2)首先求出A,3两点坐标，①设C(x0,y0),利用斜率公式计算可得；②设况>，AD的斜率分别为如知，设直线AC的方程为y—1=佑(工一2),直线BD的方程为y+l=«(x+2),即可求出M点坐标，同理求出N点坐标，再由斜率公式计算即可得解.【小问1详解】因为e=f=匝，所以4疽=3。2,a2又左焦点F(-c,O)到直线l:x-2y=0的距离为舟，有坪=弩，椭圆方程为三+匕=1.(2)直线l:x-2y=0与椭圆丁相交于A,B两点.C,。是椭圆T上异于A,B的任意两点，且直线AC,BC,AD,BD的斜率都存在.直线AC,BD相交于点直线AD,BC相交于点N.设直线AC,的斜率为幻，k2.①求44的值;②求直线"的斜率.2282②设BO，AO的斜率分别为4，②设BO，AO的斜率分别为4，姻，设直线AC的方程为y-1=的(工一2),直线80的方程为y+1=《。+2).【小问2详解】由(1)知，椭圆7的方程为土+匕=1,82①C4,CB斜率都存在，即4，处存在•设€*(%,%),显然灯手灯,且血+些=1,82—2幻一2佑2^—4幻的A因为*3*4=_'，史=_三,设直线人D的方程为y—l=b(尤一2)，即尸1=一土(光一2),设直线BC的方程为y+1=b3+2),即y+1=一土(工+2),从而点M的坐标为一—~~~+1,I处一4右一佑；jq=jq=2x=_221-，解得\2]或〈，[_]'所以A(2,l)，8(-2,-1).皿…一7，8化忘+2皿…一7，8化忘+2知+2k.2佑+1A即点N的坐标为—~j—，—H-+1I灯-站必一4)所以y=yM“N=灼-佑=_[所以5Xf2+8",2-21.已知函数/(x)=x2lnx+x2.(1)求/(X)的极值：(2)若不等式止招在上恒成立，求实数〃，的取值范围.XLe7【答案】(1)极小值一[e-3,无极大值.2(2)解析】【分析】(1)求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； (2)参变分离可得对任意的xe!，+』，m<xlnx~f+x恒成立，令"=*1"丁+、eexe-+s)，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解.【小问1详解】函数/(x)=x2lnx+x2的定义域为(0,+时,X/,(x)=2xlnx+x+2x=x(21nx4-3),令广⑴<°得05〈很，令/七>°得]>3(_3\r_3a所以/*(*)在：0,e二上单调递减，在e°,+oo)上单调递增，(_3A1【小问2详解】所以/*(x)在x=e-?处取得极小值fe2=--e-\无极大值.用-；「代4，用-；「代4，4.4/4的4右7代《得点N的坐标为11'[4广4右214必佑琳,敕)1J由>x2+由>x2+mex得xinx-x2+x>mex»x令^(x)=lnx-x+2，则^(x)=^-^,所以当-<x<l时q'(x)>0,当工>1时仞'(x)vO,所以0(x)在(jl)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,又(p-J=1一一>0,0(1)=1>0,仞(/)=4一，v0,所以当xe(,+8)时心在(he2)内存在唯一的零点知所以当时0(工)>0,//(x)>0,/?(x)单调递增，当XG(1,^)时伊(X)>0,/?/(%)<0,/?(x)单调递减,当*£(气,+00)时(p^x)<0,//(x)>0,人(X)单调递增,所以人(以商='机/。)，/(5},《卜一『飞’因为。(与)=lnxo—天)+2=0,所以lnx0-x0+l=-l,x0=ev°-2,所以方(工)=工。血沔_蚌+U_*o(lnXo_Xo+l)=-Xo=-^一2=]ee因为一e"T>-略，所以”(!)>/心。)，所以h(xLn=hM=-^c<1\1所以实数刀的取值范围为-8,--2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的(工)=—--------，令h{(工)=—--------，令h{x)=----------------,e*g+8>l/贝"即对任意的Ep,+d，Le)