第五章-拉普拉斯变换-前5节

《信号与系统》第五章：拉普拉斯变换PAGE17第五章：拉普拉斯变换§5.1定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号的傅里叶变换存在要求：，但有些信号不绝对可积，例如。当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。。因此，便考虑将纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。为使问题简化，仅考虑t>0的情形，即因果信号、单边变换。对因果信号，（5-1）定义信号的（单边）拉普拉斯变换为：（5-2）令，为常数，（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，称为原函数，称为像函数。定义（指数阶函数）：指分段连续（存在有限个第一类间断点），且，使，对。注：。存在：。命题：指数阶信号的拉氏变换存在。证明：，对注：1）为非指数阶信号。2）为指数阶信号，其中为多项式。3）为收敛坐标，过垂直于轴的垂线为收敛轴，为收敛域（已知收敛域）。4）指数阶函数是衡量信号拉氏变换存在的标准，并指定了收敛轴。在收敛轴右边拉氏变换收敛，并不意味着其左边一定不收敛。图5-1例1：即收敛（5-4）例2：负指数信号（5-5）例3：幂次信号（5-6）n=0，n=1，（5-7）n=n，（5-8）积分下限：当在处是第一类间断点时，亦有（5-9）但是，此时，。因此，在用拉氏变换方法解微分方程时，积分下限宜取零负，以便于处理初值问题，豁免从零负求零正之苦难。后续讨论拉氏变换微分性质，即可进一步理解此良苦用心！§5.2性质（《信号与系统》第二版（郑君里）4.3）代数性质：线性：（5-10）卷积：（5-11）图5-2像卷积（s域卷积）：（5-12）图5-3拓扑性质（微/积分性质）：微分：此处容易混淆，各版本书叙述不一样，务必提高警惕！（5-13）证明：注1：由（5-9）式易知，上式兰色项相等；因此，只需式中红色的零负与零正分别对应即可，而不管信号在零点是否有跳变！注2：对于因果信号，有，则，，三者的作用等价，即：。此时，积分下限可以是0+、0-、0均可，象函数完全相同，即（5-14）此时，更有（5-15）特别地，当时，有（5-16）积分：（5-17）证明：第二项像微分（s域微分）：（5-18）像积分：（5-19）证明：其他性质：平移（延时）：（5-20）图5-4口诀：时延负旋转。像平移（调制）：（5-21）口诀：正旋转频移。例：已知，则有（5-22）相似（尺度变换）：（5-23）初值定理：若存在，存在，则（5-24）证明：注1：，半径无穷大的圆上所有点极：黎曼球面的北极。，四点除外。所以，，两点除外。N北极N北极j注2：若在t=0处有跳变：，可有取极限有：即：注3：若在t=0有冲激：，则，终值定理：若存在，存在，在除原点外的（右半闭平面）解析（相当与实变函数的光滑），则（5-25）证明：注：1）应用：图5-6希望输出能够再现输入，即为稳态误差／系统误差。2）（慢变信号）3）图5-7定理的条件：在除原点外的解析。，虚轴上有共轭极点，不满足定理条件。，虚轴上有共轭极点，不满足定理条件。，右半平面有一极点，不满足定理条件。§5.3拉普拉斯逆变换（《信号与系统》第二版（郑君里）4.4）极点、零点：的极点；当与互素时，即的零点。的零点；当与互素时，即的零点。已知，求：，（最右边极点）图5-8（5-26）注：1），左半平面；2）充要条件：（5-27）3），若，则（5-27）式成立；4）是全纯（解析）函数；5）当不是有理函数时，需考察6）当为的一阶极点，（5-28）7）当为的r阶极点，（5-29）8），，（5-30）例：（书例4—12），求。解：部分分式展开：，：阶，一阶，，i=1,2,…,r-1（5-31）§5.4系统函数（《信号与系统》第二版（郑君里）4.6，4.7）问题的提出：输入，求输入，求图5-9输入/输出图5-10为系统的冲击响应系统函数：（5-32）图5-11零状态响应：（5-33）系统的几种描述形式：图5-12，，收敛域注：若写为，则表示微分算子；但不能写作。系统的多种输入输出描述：冲击响应系统算子系统函数微分方程描述零状态响应零状态响应非零状态响应零、极点与的波形特征：，与互素，（5-34）注：1）线性无关，与极点有关，称为模态。2）决定于的零极点分布。3）是的实系数有理函数，对于中的共轭对：，4）对，若，，模态渐近于0，——是一阶极点，模态单调渐近于0——是重极点，模态当时单调渐近于05）若，即极点在虚轴上，有两种情况：图5-13虚轴上的共轭极点对应单边正弦：原点处的单重极点对应单位阶跃：一阶，，模态等幅；二阶，，模态线性增幅。6）若，，模态发散。图5-14虚轴附近的极点所决定的模态是慢变的，起支配作用。零极分布与响应：图5-15自由响应强迫响应零输入响应自由响应，与极点有关，与零点无关；瞬态响应在上极点贡献渐近于0，稳态响应在上极点贡献快变响应远离虚轴极点贡献慢变响应虚轴附近极点贡献§5.5线性定常系统频率响应（《信号与系统》第二版（郑君里）4.8）正弦稳态响应、特征函数：图5-16BIBO稳定BIBO稳定因此：，称为正弦稳态响应。（5-35）注：1）对矩阵，，为特征向量，为属于的特征根。对应（5-35）式有：为特征函数，为系统针对输入特征函数的特征根谱。2）（5-36）（5-37）频率响应：输入频率变化的单频信号时输出的响应。当跑遍时，即系统的频率响应（谱）。，其中，为系统的幅频特性（响应），幅度谱；为系统的相频特性