基于近似拟牛顿近似拟牛顿法的超宽带定向耦合器设计

基于近似拟牛顿近似拟牛顿法的超宽带定向耦合器设计

1契比雪夫组合滤波器的设计在微波系统中，定向耦合器是一种广泛使用的微波设备。例如，应该应用定向激励装置来表示测量网络分析仪、功率合成和微波接收机中的混合频率。近年来,随着定向耦合器的广泛应用,对其带宽提出了更高的要求,因而需要对超宽带定向耦合器进行设计。然而在设计中,涉及到求解1/4波长等效阶梯阻抗滤波器的最优等波纹多项式,即契比雪夫多项式。此求解过程是一个复杂的求一个非线性方程组的问题,带宽越宽即阶数越高,其求解越困难。针对这一问题,本文提出了一种可靠有效的近似拟牛顿法来求解契比雪夫多项式。并在文章最后给出了MicrowaveOffice仿真结果和实验结果,验证了此算法是一种可靠有效的算法。2阶梯阻抗滤波器多节对称平行耦合线定向耦合器的综合,是以单节为基础的,而单节是四端口网络,不能直接应用双端口网络的综合方法来综合。单节定向耦合器与1/4波长阶梯阻抗滤波器等效,而1/4波长阶梯阻抗滤波器是个双端口网络,故可用1/4波长阶梯阻抗滤波器作为多节定向耦合器的原型。对于单节平行耦合线定向耦合器,当其偶模阻抗Z0e为对特性阻抗Z0的归一化值时,如果1/4波长阶梯阻抗滤波器的归一化阻抗Z1等于定向耦合器的归一化偶模阻抗Z0e,则二者等效,奇模阻抗由Z0eZ0o=Z0算出。故1/4波长阶梯阻抗滤波器可作为定向耦合器的原型。本文研究的主要是对称多节定向耦合器,所以其节数n为奇数。综合1/4波长阶梯阻抗滤波器的方法为:先把各节的[A]矩阵乘起来,求出n节滤波器[A]矩阵,然后写出它的插入衰减函数并用近似的契比雪夫或最平坦函数来逼近,最后由近似衰减函数综合处各阶梯阻抗来。以下是n节1/4波长阶梯阻抗滤波器原型的[A]矩阵:式中,对于对称结构的多节耦合线定向耦合器,A11=A22,则上式变为:可见,衰减函数中(A12-A21)2都可表示成sinθ的多项式,所以可有:在定向耦合器中,它的传输衰减函数与1/4波长阶梯阻抗滤波器的衰减函数相同,耦合函数与反射函数相同。对于定向耦合器,通常要求在一定带宽内,具有允许波纹,也就是具有允许波纹的所需衰减。因此有(x)契比雪夫多项式来逼近衰减函数,根据此衰减特性可以求得它的耦合特性。由于k=Г,故有:C=10lg|k|2=10lg|Г|2=10lg(1-|τl2)(4)同时,上式表明了衰减与耦合间的互换关系,式中C的值是负的。当衰减为零时,耦合为无穷大;衰减呈小波纹变化,故为契比雪夫耦合波纹的定向耦合器,即可作为定向耦合器的原型。3近似拟牛顿算法由上图可知x1,x2是奇次多项式P5(x)一阶导数的两个零点,5阶的契比雪夫多项式是p5(x)=c1(x1,x2)x+c3(x1,x2)x3+c5(x1,x2)x5。图中p+和p-是等波纹的极限。Pn(1)依赖于n的值:pn(1)=p+当(n-1)/2是偶数时=p-当(n-l)/2是奇数时同理,对于多阶奇次多项式有,cj是xi,(i=1～(n-1)/2)的函数,且当j是偶数时cj=0。把系数不为零的cj,(j=1～(n+1)/2)及多项式的零点xj,(i=1～(n-1)/2)作为方程组的n个未知数,当求解一个非线性方程组fi(x)=0,i=0,1,…n-1即可求出系数cj,方程组将由下给出。首先,有(n-1)/2个非线性方程:其次,有(n-1)/2个非线性方程:且A(δ)=10δ/10,A(C)=l0c/10,k=1～(n-1)/2本文采用拟牛顿法来求解上面的非线性方程组,其具体过程如下:设非线性方程组及初值如下给出:若X的第k次迭代近似值为:则k+1次迭代近似值为:其中F(X)为雅克比矩阵:一般的拟牛顿法要求雅克比矩阵,想要对高阶非线性方程组求偏导数是一个很困难的问题,定向耦合器带宽越宽,阶数越高,求解越困难。因此本文使用了一种近似拟牛顿法,用差商代替雅克比矩阵中的偏导数。此法可以加快收敛速度,且节省计算量,其具体实现如下:其中,近似拟牛顿法求解非线性方程组的具体框图如图2所示。框图中的i,j=0,1,…,n-1。该算法通过求fi(xj)得到线性方程组的系数矩阵A,从而把求解非线性方程组问题转变成求解一个线性方程组问题,且该算法中采用的是全选主元高斯消去法来求解线性方程组AZ=B。应用上面给出的近似拟牛顿法,计算出耦合度C=3DB,等波纹度δ=0.2DB的十九阶定向耦合器的多项式P19(x),其曲线图如图3所示。由图3可见,近似拟牛顿法能满足超宽带定向耦合器设计中契比雪夫多项式求解的精度要求。4实际九阶定向耦合器电路测试本文通过这个九阶的耦合度C=20DB,等波纹度δ=0.4DB,隔离度大于15DB的定向耦合器设计,在应用该近似拟牛顿法求解契比雪夫多项式的基础上,计算得出最终的归一化偶模阻抗计算值Z1=1.0089,Z2=1.0206,Z3=1.0416,Z4=1.0833,Z5=1.2297,其带宽比B=f2/f1=11.593,分式带宽W=1.6824。并根据以上归一化偶模阻抗值计算出九阶对称定向耦合器各节的耦合微带线宽度、缝隙宽度及1/4工作波长,在软件MicrowaveOffice中作为初值进行优化。最后本文利用优化好的参数,画出PCB板,制做成实际的九阶定向耦合器电路。本文没有对定向耦合器的设计进行任何修正。通过对实际电路的测试,它的实际特性基本符合设计要求。可见,该算法是实际可行的等波纹多项式求解的方法。5超宽带定向耦合器设计的近似拟牛顿法根据上面的实例可以看出,该算法是一种可靠且有效的算法。如果在设计中考虑到各种损耗并加以修正的话,此算法能得到更高的精度