第三章 抽样与抽样分布

第三章抽样与抽样分布第1页，课件共31页，创作于2023年2月4.1常用的抽样方法一、简单随机抽样二、分层抽样三、系统抽样四、整群抽样第2页，课件共31页，创作于2023年2月抽样方法第3页，课件共31页，创作于2023年2月一、简单随机抽样

(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，使得总体中每一个元素都有相同的机会(概率)被抽中

抽取元素的具体方法有重复抽样和不重复抽样特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其他辅助信息以提高估计的效率第4页，课件共31页，创作于2023年2月二、分层抽样

(stratifiedsampling)将总体单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计第5页，课件共31页，创作于2023年2月三、系统抽样

(systematicsampling)将总体中的各单位按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k，r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度第6页，课件共31页，创作于2023年2月四、整群抽样

(clustersampling)先将总体划分为若干个群，然后再以群作为调查单位从中抽取部分群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查。特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施当群为总体的一个缩影时，抽样估计误差小，否则误差较大。第7页，课件共31页，创作于2023年2月4.2三种不同性质的分布1、总体分布（populationdistribution）总体中各元素的观测值形成的相对频数分布。总体分布通常是不知道的。总体参数：均值、比例、方差等。第8页，课件共31页，创作于2023年2月2、样本分布（sampledistribution）从总体中抽取一个容量为n的样本，有这n个观测值形成的相对频数分布。样本统计量：样本均值，样本比例，样本方差等第9页，课件共31页，创作于2023年2月3、抽样分布（samplingdistribution）某个样本统计量的抽样分布，在理论上说就是在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的的所有可能取值形成的相对频数分布。是一种理论分布。随机变量是样本统计量结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据第10页，课件共31页，创作于2023年2月抽样分布的形成过程

(samplingdistribution)总体计算样本统计量如：样本均值、比例、方差样本第11页，课件共31页，创作于2023年2月4.3一个总体参数推断时样本统计量的抽样分布一、样本均值的抽样分布二、样本比率的抽样分布三、样本方差的抽样分布第12页，课件共31页，创作于2023年2月在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布推断总体均值

的理论基础 一、样本均值的抽样分布第13页，课件共31页，创作于2023年2月1、样本均值的抽样分布

(例题分析)【例】设一个总体，含有4个元素(个体)

，即总体单位数N=4。4

个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

。总体的均值、方差及分布如下总体分布14230.1.2.3均值和方差第14页，课件共31页，创作于2023年2月样本均值的抽样分布

(例题分析)

现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）第15页，课件共31页，创作于2023年2月样本均值的抽样分布

(例题分析)

计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5第16页，课件共31页，创作于2023年2月样本均值的分布与总体分布的比较

(例题分析)

=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x第17页，课件共31页，创作于2023年2月2、样本均值的抽样分布

与中心极限定理

=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从正态分布N(μ,σ2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值

x也服从正态分布，

x

的数学期望为μ，方差为σ2/n。即

x～N(μ,σ2/n)第18页，课件共31页，创作于2023年2月中心极限定理

(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定理：设从均值为

，方差为

2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n的正态分布一个任意分布的总体x第19页，课件共31页，创作于2023年2月中心极限定理

(centrallimittheorem)

x的分布趋于正态分布的过程第20页，课件共31页，创作于2023年2月样本均值的数学期望样本均值的方差重复抽样不重复抽样3、样本均值抽样分布的数学特征

(数学期望与方差)第21页，课件共31页，创作于2023年2月样本均值的抽样分布

(数学期望与方差)比较及结论：1.样本均值的均值(数学期望)等于总体均值

2.样本均值的方差等于总体方差的1/n第22页，课件共31页，创作于2023年2月抽样分布与总体分布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布第23页，课件共31页，创作于2023年2月二、样本比率的抽样分布比率是指总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比不同性别的人与全部人数之比合格品(或不合格品)与全部产品总数之比总体比例可表示为样本比例可表示为

第24页，课件共31页，创作于2023年2月在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布一种理论概率分布当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似推断总体比例

的理论基础 1、样本比例的抽样分布第25页，课件共31页，创作于2023年2月样本比例的数学期望样本比例的方差重复抽样不重复抽样2、样本比例的数学特征

(数学期望与方差)第26页，课件共31页，创作于2023年2月三、样本方差的抽样分布在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布对于来自正态总体的简单随机样本，则比值的抽样分布服从自由度为(n-1)的

2分布，即第27页，课件共31页，创作于2023年2月由阿贝(Abbe)

于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)

分别于1875年和1900年推导出来设，则令，则Y服从自由度为1的

2分布，即

当总体，从中抽取容量为n的样本，则

2分布

(

2

distribution)第28页，课件共31页，创作于2023年2月分布的变量值始终为正分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称期望为E(

2)=n，方差为D(

2)=2n(n为自由度)可加性：若U和V为两个独立的服从

2分布的随机变量，U~

2(n1)，V~

2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的

2分布

2分布

(性质和特点)第29页，课件共31页，创作于2023年2月c2分布

(图示)

选择容量为n的简单随机样本计算样本方差s2计算卡方值

2=(n-1)s2/σ2计算出所有的

2值不同容量样本的抽样分布c