第三章 线性系统的时域分析法

第三章线性系统的时域分析法第1页，课件共159页，创作于2023年2月

通过上一章的学习，我们了解，在确定系统的数学模型后，可以来分析控制系统的动态性能和稳态性能。

在经典控制论中，常用的分析方法有：

时域分析法、根轨迹分析法、频域分析法时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方法，具有直观、准确的优点。第2页，课件共159页，创作于2023年2月

3-1系统时间响应的性能指标

控制系统性能的评价分为：动态性能指标和稳态性能指标。为了求解系统响应，必须要了解输入信号的解析表达式。实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的，很难用解析的方法表示。因此，需要选择若干个典型输入信号。第3页，课件共159页，创作于2023年2月

研究一个系统，主要是针对某一输入作用，研究其输入－输出之间的关系。但在绝大多数情况下，输入信号以无法预测的方式变化，为了便于分析、设计，便于对各种系统的性能进行比较，常假定一些基本输入函数形式作为典型输入信号。1.典型的输入信号第4页，课件共159页，创作于2023年2月常用的试验输入信号：

（单位）阶跃函数：

（单位）斜坡函数：

（单位）加速度函数：

（单位）脉冲函数：

正弦函数：

第5页，课件共159页，创作于2023年2月

究竟采用哪种典型信号来分析和研究系统，可以参照系统正常工作时的实际情况。

如控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温调节系统。

如控制系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号作为实验信号。

如控制系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线信号（宇宙飞船控制系统）。

如控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号。

如控制系统的输入随时间往复变化时，采用正弦信号。第6页，课件共159页，创作于2023年2月

对于某一具体系统，不同形式的输入信号，所对应的输出响应是不同的，但系统性能是由自身结构参数决定的，而与输入信号无关。通常在线性系统分析中以单位阶跃函数作为典型输入作用，则可以在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较。

第7页，课件共159页，创作于2023年2月2.动态过程和稳态过程在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应都有动态过程和稳态过程两部分组成。

动态过程和稳态过程，又称瞬态响应和稳态响应(TransientStateResponse&SteadystateResponse)。第8页，课件共159页，创作于2023年2月（1）动态过程

在典型输入信号作用下，指系统从初始状态到最终状态的响应过程。由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因，系统的输出量不可能完全复现输入量的变化。动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的系统其动态过程必须是衰减的，即系统必须是稳定的。第9页，课件共159页，创作于2023年2月在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷大时，系统的输出量的表现方式。表征了系统输出量最终复现输入量的程度。控制系统在典型性输入信号作用下的性能指标，通常由动态性能和稳态性能两部分组成。（2）稳态过程（稳态响应）第10页，课件共159页，创作于2023年2月稳定是控制系统能够运行的首要条件，只有当动态过程收敛时，研究系统的动态性能才有意义。

3.动态性能和稳态性能（1）动态性能指标描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化状况的指标，称为动态性能指标。第11页，课件共159页，创作于2023年2月1）延迟时间（DelayTime）：响应曲线从运动开始第一次达到稳态值的一半所需的时间。h(t)t延迟时间td0.5第12页，课件共159页，创作于2023年2月2）上升时间（RiseTime）：响应曲线从稳态值的10%上升到90%所需的时间。对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间对于过阻尼二阶系统，通常采用10～90%的上升时间上升时间越短，响应速度越快。第13页，课件共159页，创作于2023年2月h(t)t时间tr上升欠阻尼系统第14页，课件共159页，创作于2023年2月h(t)t上升时间tr过阻尼系统0.95第15页，课件共159页，创作于2023年2月3）峰值时间（PeakTime）：

响应曲线超过其终值到达第一个峰值所需要的时间。第16页，课件共159页，创作于2023年2月h(t)t峰值时间tp欠阻尼系统第17页，课件共159页，创作于2023年2月4）调节时间（SettingTime）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数(通常取5%或2%)作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。第18页，课件共159页，创作于2023年2月h(t)t调节时间ts第19页，课件共159页，创作于2023年2月5）最大超调量（MaximumOvershoot）:指响应的最大偏离量与终值之差的百分比，即：

第20页，课件共159页，创作于2023年2月h(t)tAB超调量σ%=AB100%第21页，课件共159页，创作于2023年2月h(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%h(t)th(t)t时间tr上升峰值时间tpAB超调量σ%=AB100%调节时间ts+0.05-0.05动态性能指标第22页，课件共159页，创作于2023年2月

当时间趋于无穷时，系统的输出量不等于输入量或输入量的确定函数，则系统存在着稳态误差。稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数的作用下进行测定或是计算。（2）稳态性能指标：

第23页，课件共159页，创作于2023年2月小结：上述性能指标中：反应了系统暂态响应的快速性。

其中：反应了系统响应的总体快速性，所以一般认为在之前为暂态响应，之后为稳态响应。反应了系统暂态过程的振荡性，其本质反应了系统的相对稳定性。反应了系统的稳态精度。第24页，课件共159页，创作于2023年2月本节小结：通过本节学习，掌握一阶微分系统的数学模型，掌握一阶线性系统的的对于各种典型性输入的响应曲线，各自的特点。第25页，课件共159页，创作于2023年2月3.2一阶系统的时域分析

用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。如图所示的RC电路，其微分方程为：

其中c(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC为时间常数。

1一阶系统的数学模型第26页，课件共159页，创作于2023年2月

当初始条件为零时，其传递函数为：

这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。

第27页，课件共159页，创作于2023年2月设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数：单位阶跃函数的拉氏变换为：则系统的输出由传递函数，可知：

对上式取拉氏反变换，得：

2.一阶系统的单位阶跃响应第28页，课件共159页，创作于2023年2月(单位阶跃响应）单位阶跃响应h(t)=1-e-t/T0.50.511.5010.632h(T)=0.632h(∞)h(3T)=0.95h(∞)h(2T)=0.865h(∞)h(4T)=0.982h(∞)Φ(s)=Ts+1k一阶系统时域分析(画图时取k=1,T=0.5)∆=5%ts=3T∆=2%ts=4T第29页，课件共159页，创作于2023年2月分析：一阶系统的单位阶跃响应是一条初始值为零，以指数规律上升到终值的曲线。其响应为非周期响应，具有以下两个重要特点：

1.可以用时间常数T去度量系统输出量的数值；

2.响应曲线在t>0时的斜率为1/T，并随时间的推移下降。第30页，课件共159页，创作于2023年2月1.动态性能指标：由于响应曲线没有超调，所以不需要考虑峰值时间和超调量。2.稳态性能指标：稳态误差ess

系统的实际输出c(t)在时间t趋于无穷大时，接近于输入值，即：性能指标分析：第31页，课件共159页，创作于2023年2月当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即：

这时，系统的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为:

其表达式为：

3.一阶系统的单位脉冲响应第32页，课件共159页，创作于2023年2月20.5(画图时取k=1,T=0.5)单位脉冲响应g(t)=T1e-Tt一阶系统时域分析（单位脉冲响应)第33页，课件共159页，创作于2023年2月当输入信号为理想单位斜坡函数，输出响应为：对上式求拉氏反变换，得：注：前两项是稳态分量，后一项是瞬态分量。4.一阶系统的单位斜坡响应第34页，课件共159页，创作于2023年2月c(t)=t-T+Te-t/T单位斜坡响应0.50TΦ(s)=Ts+1k一阶系统时域分析②由于系统存在惯性，从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T，这就是稳态误差产生的原因。③减少时间常数T不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。

①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同

（单位斜坡响应）第35页，课件共159页，创作于2023年2月5.一阶系统的单位加速度响应

上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。第36页，课件共159页，创作于2023年2月一阶系统对典型输入信号的响应输入信号时域输入信号复域输出响应传递函数微分

微分

等价关系：1.系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；2.系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。第37页，课件共159页，创作于2023年2月本节小结：通过本节学习，掌握一阶微分系统的数学模型，掌握一阶线性系统的的对于各种典型性输入的响应曲线，各自的特点。第38页，课件共159页，创作于2023年2月3-3二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。研究二阶系统的意义：1.在控制过程中，二阶系统的典型应用极为普遍；2.不少高阶系统的特性在一定的条件下可用二阶系统的特性来表征。

第39页，课件共159页，创作于2023年2月1．二阶系统的数学模型

开环传递函数：二阶系统的方框图:相应的标准形式：闭环传递函数：其中：-----自然频率（无阻尼震荡频率）

-----阻尼比（相对阻尼系数）第40页，课件共159页，创作于2023年2月例：前面学过的RLC无源网络。其中：第41页，课件共159页，创作于2023年2月由二阶系统的传递函数可知，二阶系统特征根的性质取决于阻尼比值的大小。随着值不同，系统的极点分布也不同。

下面就不同阻尼值的单位阶跃响应响应分别加以说明：

2．二阶系统的单位阶跃响应第42页，课件共159页，创作于2023年2月1.两个正实部的特征根，系统不稳定；2.一对纯虚根，等幅震荡无阻尼；一对有负实部的共轭复根衰减震荡欠阻尼

4.两个相等的负实根临界阻尼；5.两个不相等的负实根过阻尼。第43页，课件共159页，创作于2023年2月（1）欠阻尼响应---阻尼振荡频率系统的特征根：

则：

若令:---衰减系数

第44页，课件共159页，创作于2023年2月在单位阶跃响应下，系统响应：对其求取拉氏变换：其中：

第45页，课件共159页，创作于2023年2月β欠阻尼二阶系统单位阶跃响应j00<ξ<1时：cosβ=ξ第46页，课件共159页，创作于2023年2月第47页，课件共159页，创作于2023年2月(２).临界阻尼（

=1）系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。单位阶跃响应传递函数第48页，课件共159页，创作于2023年2月

临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上升过程。临界阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线第49页，课件共159页，创作于2023年2月（3）过阻尼响应系统的特征根：

系统的响应为：

其中：T1和T2被称为过阻尼二阶系统的时间常数，且T1>T2。则输出的拉氏变换为：

第50页，课件共159页，创作于2023年2月特点：

1.响应特征里包含有两个单调衰减的指数项，其代数和绝不会超过稳态值1，是非振荡的.2.响应速度由两个时间常数共同决定。

过阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非周期上升过程，但过渡时间较临界阻尼长。第51页，课件共159页，创作于2023年2月系统具有一对纯虚根极点。传递函数4.无阻尼情况（

=0）系统响应第52页，课件共159页，创作于2023年2月单位阶跃响应系统响应曲线为无衰减的周期振荡，振荡频率为第53页，课件共159页，创作于2023年2月0＜ξ＜1ξ＝1ξ＝0ξ＞1j0j0j0j0j0j0j0j0T11T21ξ＞1ξ＝10＜ξ＜1ξ＝0过阻尼临界阻尼零阻尼欠阻尼

二阶系统单位

阶跃响应定性分析第54页，课件共159页，创作于2023年2月图表示了二阶系统在不同值瞬态响应曲线由图可见，值越大，系统的平稳性能越好，超调量越小；值越小，输出响应振荡越强，振荡频率越高。＝0时，系统为等幅振荡，不能正常工作，属于不稳定系统第55页，课件共159页，创作于2023年2月

在欠阻尼系统中，ξ=0.5~0.8时，系统有比较理想的响应曲线，这时瞬态响应时间短，且系统振荡适度。因此一般希望二阶系统的阻尼比设计在这一范围内。

对于某些情况则需要采用过阻尼系统，如大惯性的温度控制系统。

对于那些不允许振荡而又要求响应较快的系统，如仪表指示和记录系统，则采用ξ=1的临界阻尼系统。第56页，课件共159页，创作于2023年2月在控制工程中，除了那些不容许产生振荡响应的系统外，通常都希望控制系统具有适度的阻尼、快速的响应速度和较短的调节时间。

3．欠阻尼二阶系统的动态过程分析第57页，课件共159页，创作于2023年2月二阶欠阻尼系统单位阶跃响应：阻尼角阻尼振荡频率第58页，课件共159页，创作于2023年2月（1）.上升时间tr

响应曲线从10%到90%稳态值所经过时间。当t=tr时,

由此可见，当ξ一定时，tr与ωn成反比；当ωn一定时，tr随ξ增大而增大。第59页，课件共159页，创作于2023年2月（2）.峰值时间tp指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所需要的时间。n=1时出现第一次峰值当ξ一定时，tp与ωn成反比；当ωn一定时，tp随ξ增大而增大。第60页，课件共159页，创作于2023年2月（3）.超调量

当

t=tp时，输出xo(t)为最大值，而单位阶跃响应的稳态值为1最大超调量

%仅仅与阻尼比

有关，

越大，则

%越小。第61页，课件共159页，创作于2023年2月（4）.调节时间ts

瞬态响应曲线进入并永远保持在稳态值

%允许误差范围内的最小时间。即当t>=ts时，

通常由响应曲线的一对包络线近似计算。xo(t)在整个瞬态响应过程中总包络在这对曲线内，同时包络线对称于稳态分量。第62页，课件共159页，创作于2023年2月h(t)由包络线求调节时间ts由此可得：它大于实际值第63页，课件共159页，创作于2023年2月求取调节时间可用近似公式：第64页，课件共159页，创作于2023年2月（5）.延迟时间

td指输出响应第一次达到稳态值的50%所需时间。第65页，课件共159页，创作于2023年2月（6）稳态误差ess的直接计算当或者：利用终值定理求稳态误差第66页，课件共159页，创作于2023年2月总之，通过上述对调节时间、超调量与阻尼比之间关系的比较，可以得出如下结论：调节时间、超调量对阻尼比的要求是相互矛盾的，即阻尼比的选择，无法同时满足调节时间、超调量比较小的要求。工程上选取作为系统性能最佳的设计依据。第67页，课件共159页，创作于2023年2月例1设控制系统结构图如图所示，如要求系统,试确定系统参数和，并计算单位阶跃响应的特征量。解：由图知，系统的闭环传递函数为：第68页，课件共159页，创作于2023年2月通过与标准二阶传递函数相比，可得到：由和的关系式解得：

再由峰值时间计算式可得：

第69页，课件共159页，创作于2023年2月从而解得：再由：由公式可分别得到：第70页，课件共159页，创作于2023年2月4过阻尼二阶系统动态性能分析无零点的过阻尼二阶系统阶跃响应无振荡无超调ξ不变时,ωn越大，调节时间ts越小j-a-b0ωn不变时,ξ越大，调节时间ts越大j0-a-b0.70701第71页，课件共159页，创作于2023年2月调节时间ts的计算因此ζ与自变量1/T1和1/T2的关系为延迟时间td的计算上升时间tr的计算当T1≥T2，系统可等效为一阶系统，取ts=3T1第72页，课件共159页，创作于2023年2月5.二阶系统的单位斜坡响应当输入信号为单位斜坡函数时，由传递函数

可得到输出量的拉氏变换式为：第73页，课件共159页，创作于2023年2月欠阻尼单位斜坡响应

误差响应

调节时间：

稳态误差和调节时间，表示了欠阻尼二节系统的单位斜坡响应性能。可知：减小系统的阻尼比，可以减少系统的稳态误差，但是最大偏离量会增大，调节时间会加长，从而动态性能恶化。第74页，课件共159页，创作于2023年2月注意：在比例系统中，通常只有增益可以调整，要同时满足稳态和动态两方面特性的要求很困难，这是因为：

1.改变开环增益就相当于改变系统的阻尼比的数值。但是阶跃响应中的超调量和斜坡响应中的稳态误差对阻尼的要求正好相反。第75页，课件共159页，创作于2023年2月

2.即使能够找到合适的开环增益，满足上述稳态和动态要求，也不可能满足系统在扰动作用下的稳态误差的要求。

3.在高精度控制系统中，需要采用高增益使死区、间隙和摩擦等非线性因素，因此不能降低开环增益来换取较小的超调量。

基于上述原因，需要采用其他控制方式，以改善系统的动态性能和稳态性能。第76页，课件共159页，创作于2023年2月在改善二阶系统性能的方法中，比例－微分控制和测速反馈控制是两种常用方法。

6．二阶系统性能的改善第77页，课件共159页，创作于2023年2月（1）．比例-微分控制

E(s)是误差信号，Td是微分器的时间常数。输出量同时受误差信号及其导数（速率）的双重作用。因此比例微分控制是一种早期控制，可在出现位置误差前，提前修正从而达到改善系统性能的目的。第78页，课件共159页，创作于2023年2月称为开环增益有关

闭环传递函数为第79页，课件共159页，创作于2023年2月令第80页，课件共159页，创作于2023年2月结论

可通过适当选择微分时间常数，改变阻尼的大小;

比例－微分控制可以不改变自然频率可增大系统的阻尼比;

由于PD控制相当于给系统增加了一个闭环零点，故比例－微分控制的二阶系统称为有零点的二阶系统。

，但第81页，课件共159页，创作于2023年2月PD控制对性能的影响：可以增加系统的阻尼，使阶跃响应的超调量下降，调节时间缩短，不影响常值稳态误差及自然频率。微分器对噪声信号，特别是高频噪声有放大作用，在输入端噪声信号较强的情况下，不宜采用PD控制。第82页，课件共159页，创作于2023年2月

(2)测速反馈控制为与测速发电机输出斜率有关的测速反馈系数。(电压/单位转速)系统的开环传递函数:

第83页，课件共159页，创作于2023年2月开环传递函数：开环增益：闭环传递函数：式中：第84页，课件共159页，创作于2023年2月(3).比例－微分控制与测速反馈控制的比较(1)附加阻尼来源：比例－微分控制的阻尼作用产生于系统的输入端误差信号的速度，而测速反馈控制的阻尼作用来源于系统输出响应的速度，因此，对于给定的开环增益和指令输入速度，后者对应较大的稳态误差值。第85页，课件共159页，创作于2023年2月(2)使用环境：比例－微分控制对噪声有明显的放大作用，当系统输入端噪声严重时，一般不宜选用比例－微分控制，同时为优化信噪比，要求选用高质量的放大器；而测速反馈对系统输入端噪声有滤波作用，对系统组成元件没有过高的质量要求。第86页，课件共159页，创作于2023年2月(3)对开环增益和自然频率的影响：比例－微分控制对系统的开环增益和自然频率均无影响，但测速反馈会降低开环增益。因此，对于确定的常值稳态误差，测速反馈控制要求有较大的开环增益。开环增益的加大，必然导致系统自然频率增大，在系统存在高频噪声时，可能引起系统共振。第87页，课件共159页，创作于2023年2月(4)对动态性能的影响：比例－微分控制相当于在系统中加入实零点，可以加快上升时间，在相同阻尼比的条件下，比例－微分控制系统的超调量会大于测速反馈控制系统的超调量。第88页，课件共159页，创作于2023年2月设高阶系统的闭环传递函数为

假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和r对复数极点，零点中只有实数零点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为3.4高阶系统的时域分析式中第89页，课件共159页，创作于2023年2月系统单位阶跃响应的拉氏变换为式中1.高阶系统的单位阶跃响应第90页，课件共159页，创作于2023年2月对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条件下的单位阶跃响应为将上式展开成部分分式，得第91页，课件共159页，创作于2023年2月1.由一阶系统（惯性环节）和二阶系统（振荡环节）的响应函数组成

2.输入信号（控制信号）极点所对应的拉氏反变换为系统响应的稳态分量3.传递函数极点所对应的拉氏反变换为系统响应的瞬态分量。4.闭环极点远离虚轴，则相应的瞬态分量衰减得快，系统的调整时间也就较短。

第92页，课件共159页，创作于2023年2月5.闭环零点只影响系统瞬态分量幅值的大小和符号；6.所有闭环的极点均具有负实部,闭环极点均位于S左半平面的系统，称为稳定系统；7.过渡结束后，系统的输出量（被控制量）仅与输入量（控制量）有关。第93页，课件共159页，创作于2023年2月附加零点对过阻尼二阶系统的影响

j0σ%=33%结论：1零点有削弱阻尼的作用2零点越靠近原点该作用越明显上升时间减小ts可能大了可能小了无振荡有超调第94页，课件共159页，创作于2023年2月附加零点对欠阻尼二阶系统的影响

j0结论依旧第95页，课件共159页，创作于2023年2月分子分母同阶的二阶系统增加零点,削弱阻尼,超调变大,上升时间变短,调节时间不一定小。123你会求它们的初始斜率吗？13与的ts相同第96页，课件共159页，创作于2023年2月附加极点对系统的影响j0结论1：

增加极点增加了阻尼

结论2：增加的极点越靠近原点增加阻尼的作用越明显

第97页，课件共159页，创作于2023年2月

高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定。如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数极点）离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上，则可近似的认为系统的瞬态特性由这个（或这对）极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个（或这对）极点就称为高阶系统的主导极点。2.高阶系统闭环主导极点及其动态性能分析第98页，课件共159页，创作于2023年2月

高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统。第99页，课件共159页，创作于2023年2月

稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首要条件。3.5

线性系统的稳定性分析

实际的控制系统在运行中，总会受到外界和内部因素的扰动。如果系统不稳定，那么任何微小的扰动都会使系统偏离原来的平衡状态。

分析系统的稳定性和提出保证系统稳定的措施，是自动控制理论的基本任务之一。第100页，课件共159页，创作于2023年2月（1）稳定的基本概念：任何系统在受到干扰作用后都会偏离原平衡状态，产生初始的偏差。

当干扰作用消失后，系统能够恢复平衡状态，则系统是稳定的。

若干扰消失后，系统不能回复到平衡状态，而且偏差越来越大，则系统是不稳定的。1．稳定性的概念第101页，课件共159页，创作于2023年2月↓gda单摆o↓gabc平衡点a的稳定域第102页，课件共159页，创作于2023年2月

稳定的平衡点大范围稳定的系统不稳定的平衡点小范围稳定的系统对于稳定的线性系统：必然在大范围和小范围内都稳定；非线性系统可能出现小范围稳定而大范围不稳定第103页，课件共159页，创作于2023年2月(2)稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减，并趋于零，则称系统渐近稳定，简称稳定；反之系统的动态过时间的推移而发散，则称系统不稳定。

第104页，课件共159页，创作于2023年2月2.线性系统稳定性的充分必要条件

稳定性是系统固有特性，与外界条件无关。

线性系统在初始条件为零时，作用一个理想单位脉冲，这时系统的输出增量为脉冲响应。这就相当于系统在扰动信号作用下，偏离平衡点的问题。输出增量收敛于平衡点，线性系统稳定。第105页，课件共159页，创作于2023年2月K(t)=Ae-atΦ(s)=传递函数：AS+a零极点分布图：-aj00运动模态1第106页，课件共159页，创作于2023年2月K(t)=Ae-atsin(bt+α)Φ(s)=传递函数：A1s+B1(S+a)2+b2零极点分布图：-ajb0运动模态20第107页，课件共159页，创作于2023年2月Φ(s)=传递函数：A1s+B1

S2+b2K(t)=Asin(bt+α)零极点分布图：jb0运动模态30第108页，课件共159页，创作于2023年2月Φ(s)=传递函数：A1s+B1(S-a)2+b2零极点分布图：ajb0K(t)=Aeatsin(bt+α)运动模态40第109页，课件共159页，创作于2023年2月Φ(s)=传递函数：As-a零极点分布图：aj0K(t)=Aeat运动模态5第110页，课件共159页，创作于2023年2月运动模态小结j0j0j0j0j0第111页，课件共159页，创作于2023年2月不稳定区域稳定区域根据系统稳定的定义，充分必要条件为：闭环系统特征方程的根均具有负实部。闭环系统的极点均位于S

平面的左半部。S平面第112页，课件共159页，创作于2023年2月1.特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复数根;2.特征方程式的根均在复数平面的左半部分;3.系统的极点均在s平面的左半部分。

线性系统稳定的充分必要条件为：第113页，课件共159页，创作于2023年2月

3.劳斯-赫尔维茨判据（1）赫尔维茨判据设线性系统的特征方程式为线性系统稳定的必要条件为：在特征方程中，各项系数为正。第114页，课件共159页，创作于2023年2月线性系统稳定的充要条件是：由特征方程各项系数所构成的主行列式第115页，课件共159页，创作于2023年2月如果主行列式及其对角线上的各子行列式都大于零，则系统稳定，即特征方程式的各根都具有负实部；否则，系统不稳定。第116页，课件共159页，创作于2023年2月例1系统方程式为使用古尔维茨判断，判别系统的稳定性。第117页，课件共159页，创作于2023年2月其中子行列式由于D1<0，因此不满足赫尔维茨行列式全部为正的条件。属不稳定系统。D2、D3

可以不再进行计算。第118页，课件共159页，创作于2023年2月（2）劳斯判据劳斯判据表现为表格形式，又称劳斯表。根据劳斯判据，线性系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列各值为正。第119页，课件共159页，创作于2023年2月将各项系数，按下面的格式排成劳斯表第120页，课件共159页，创作于2023年2月

如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。

如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。劳斯稳定判据第121页，课件共159页，创作于2023年2月例2：系统特征方程式：

试用劳斯判据判别该系统的稳定性。解：该系统的劳斯表为

由于劳斯表的第一列系数有两次变号，所以该系统不稳定，且有两个正实部根。第122页，课件共159页，创作于2023年2月例3设负反馈系统的开环传递函数为确定使闭环系统稳定的K

及T

的取值范围。

解：系统特征方程为当T>0且0<K≤1，闭环系统稳定；或K>1且0<T<2(K+1)/(K-1)，闭环系统稳定；劳斯计算表第123页，课件共159页，创作于2023年2月4.劳斯稳定判据的特殊情况（1）劳斯表中某行的第一列项为零，而其余项不为零，或不全为零。这样计算劳斯表下一行的第一个元时，将出现无穷大，使得劳斯判据运用无效。例3：系统特征方程为：列劳斯表：第124页，课件共159页，创作于2023年2月

为了克服这种困难，可以用因子原特征方程，其中为特征方程应用劳斯判据。如用:乘以原特征方程可得到：列出新的劳斯表：任意正数；来乘以然后再对新的第125页，课件共159页，创作于2023年2月（2）劳斯表出现全零行设系统特征方程为：s4+5s3+7s2+5s+6=0劳斯表s0s1s2s3s451756116601劳斯表何时会出现零行?2出现零行怎么办?3如何求对称的根?②

由零行的上一行构成辅助方程:①

有大小相等符号相反的特征根时会出现零行s2+1=0对其求导得零行系数:

2s111继续计算劳斯表1第一列全大于零,所以系统稳定错啦!!!劳斯表出现零行系统一定不稳定这是零行2由综合除法或比较系数法可得另两个根s3,4=-2,-3解辅助方程得对称根:

s1,2=±j注意：纯虚根为重根时，系统不再等幅振荡，而是振荡发散。第126页，课件共159页，创作于2023年2月5.劳斯判据的应用例4：已知特征方程为：s4+30s3+200s2+ks+kz=0

求产生纯虚根为±j1的z值和k值。解：301200kkz6000-k30kz（6000-k)s2+30kz=0∵有纯虚根，∴劳斯表一定有零行6000k-k2-900kzs4s3s2s1s0301200kkz于是有：6000k-k2-900kz=0辅助方程:零行的上两行一定成比例30s2+k=0=30+kk=30代入左式得:19930=6.63z=30s3+ks=0∴辅助方程可变为:第127页，课件共159页，创作于2023年2月

劳斯判据主要用于判断系统是否稳定来确定参数的允许范围，但不能表明特征根距虚轴的远近，为保证系统稳定，且具有好的动态特性，希望特征根在s左半面与虚轴有一定距离，通常称为稳定裕量。第128页，课件共159页，创作于2023年2月例5：试用劳斯判据确定系统稳定的开环增益K的取值范围。第129页，课件共159页，创作于2023年2月解：系统的闭环传递函数：

系统特征方程式：

列劳斯表：40k>0，k>0;560-40k>0，k<14

0<k<14第130页，课件共159页，创作于2023年2月上例若要求闭环系统极点，全部位于S=-1垂线之左，K应取何值？令s=z-1代入原特征方程：列劳斯表：40k-27>0,165-(40k-27)>00.675<k<4.8第131页，课件共159页，创作于2023年2月本节小结：稳定性的定义系统稳定的充要条件系统稳定的判别方法劳斯判据的应用第132页，课件共159页，创作于2023年2月3.6线性系统的稳态误差系统稳定是前提

控制系统的性能

动态性能

稳态性能

---稳态误差

稳态误差的不可避免性摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素输入函数的形式不同

(阶跃、斜坡、或加速度)

附加稳态误差原理性误差第133页，课件共159页，创作于2023年2月在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。无差系统：有差系统：在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统。本节主要讨论原理性稳态误差的计算方法系统结构--系统类型输入作用方式第134页，课件共159页，创作于2023年2月1误差的定义G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)输入端定义：E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)H(s)G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)H(s)1R(s)ˊˊ输出端定义：E(s)=C希-C实=-C(s)R(s)H(s)ˊG(s)R(s)E(s)C(s)C(s)误差E(s)=R(s)-C(s)G1(s)H(s)R(s)C(s)G2(s)N(s)En(s)=C希-C实=–Cn(s)第135页，课件共159页，创作于2023年2月公式条件：的极点均位于S左半平面（包括坐标原点）输入形式结构形式

给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构。终值定理，求由输入产生的稳态误差。2求稳态误差的方法G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)第136页，课件共159页，创作于2023年2月求图示系统的稳态误差ess

。2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2其中r(t)=t,n(t)=-1(t)解：令n(t)=0,因为系统稳定,∴essr=limsEr(s)=s→041令r(t)=0,En(s)=-Cn(s)

essn=limsEn(s)=21s→0总误差ess=essr+essn∴ess=412143=+s(s+1)(0.2s+1)+42(0.2s+1)s.1=s(s+1)(0.2s+1)+4s(s+1)(0.2s+1)s2.1=Er(s)=R(s)-B(s)第137页，课件共159页，创作于2023年2月G0H0注意：s→0时，G0H0一定→1此时的k为开环增益sν表示开环有ν个极点在坐标原点ν=0称为0型系统称为Ⅰ型系统称为Ⅱ型系统称为Ⅲ型系统ν=1ν=2ν=3

设开环传递函数G(s)H(s)=3系统型别与开环增益第138页，课件共159页，创作于2023年2月G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)E(s)=R(s)1+G(s)H(s)1若系统稳定,

则可用终值定理求essess=lims1+ksνG0H0R(s)→0sR(s)=R/sr(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tR(s)=V/s2ess=s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2R(s)=A/s3ess=s2·Alim→0sksνkpkvka典型输入下的稳态误差与静态误差系数第139页，课件共159页，创作于2023年2月取不同的νⅠ型0型Ⅱ型R·1(t)

R1+kV

kV·t000∞Ak∞∞At2/2kkk000∞∞∞静态误差系数稳态误差R·1(t)V·tAt2/2kpkvkar(t)=R·1(t)ess=1+ksνRlim→0sr(t)=V·tess=

s·Vlim→0sksνr(t)=At2/2ess=

s2·Alim→0sksν第140页，课件共159页，创作于2023年2月结论：静态误差系数，定量的描述了系统跟踪不同形式输入信号的能力。当系统输入信号形式、输出量的希望值及容许的稳态误差确定后，可以方便的根据静态误差系数去选择系统的类型和开环增益。

但是对于非单位反馈系统而言，静态误差系数没有明显的物理意义。第141页，课件共159页，创作于2023年2月1、kp、kυ、ka定量描述了系统跟踪不同形式输入信号的能力，当系统的输入信号形式、允许的稳态误差确定后，以决定选择系统的类型。2、采用高类型的系统对提高系统的控制准确度有利，但是当前向通道的积分环节数增多时，系统的稳定性就成新要关注的问题。第142页，课件共159页，创作于2023年2月3、在误差分析中，只有当输入信号是阶跃、斜坡和加速度函数时，或者是三者的线性组合时，静态误差系数才有意义，如果是典型信号的组合输入，则根据叠加原理，分别求出每一输入分量单独作用于系统，再求其和。4、当输入信号为其他形式函数时，静态误差系数无法应用。第143页，课件共159页，创作于2023年2月6扰动作用下的稳态误差

负载力矩的变化、放大器的零点漂移、电网电压波动和环境温度的变化等，这些都会引起稳态误差。扰动不可避免它的大小反映了系统抗干扰能力的强弱。

扰动稳态误差控制对象

控制器下面分析扰动对输出的影响第144页，课件共159页，创作于2023年2月输出对扰动的传递函数

第145页，课件共159页，创作于2023年2月扰动传递函数：由扰动产生的输出为:系统的理想输出为零，故扰动作用下误差为：扰动作用下的稳态误差为：

第146页，课件共159页，创作于2023年2月

从上面稳态误差分析可知，采用以下途径来改善系统的稳态精度：1提高系统的型号或增大系统的开环增益，可以保证系统对给定信号的跟踪能力。但同时带来系统稳定性变差，甚至导致系统不稳定。7.减小或消除稳态误差的措施第147页，课件共159页，创作于2023年2月2.增大误差信号与扰动作用点之间前向通道的开环增益或积分环节的个数，可以降低扰动信号引起的稳态误差。但同样也有稳定性问题。3.采用复合控制，即将反馈控制与扰动信号的前馈或与给定信号的顺馈相结合。第148页，课件共159页，创作于2023年2月

提高系统的开环增益和增