北京同仁中学高三数学文下学期期末试卷含解析

北京同仁中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（

）A、向右平移

B、向左平移

C、向右平移D、向左平移参考答案：C2.在三棱锥A-BCD中，△ACD与△BCD都是边长为2的正三角形，且平面ACD⊥平面BCD，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．参考答案：A取AB，CD中点分别为E，F，连接EF，AF，BF，由题意知AF⊥BF，AF=BF，EF＝易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=CF2+OF2，

求得R2＝，所以其表面积为故选A

3.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A．①④②③ B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①参考答案：A4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：D5.给出如图的程序框图，若输出的结果，则输入的的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略6.若不等式对于一切正数、恒成立，则实数的最小值为

（

）A

2

B

C

D

参考答案：D7.设函数f(x)的零点为，函数的零点为，若，则可以是A．

B．C．

D．参考答案：C略8.下列说法错误的是(

)

A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体

B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据

C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势

D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大参考答案：B

解析：平均数不大于最大值，不小于最小值9.（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D故选D

10.已知向量，，那么=

（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.f(x)在x＝1处连续，且＝2，则f(1)等于

.参考答案：012.如图所示，已知F1，F2为双曲线的两个焦点，且|F1F2|=2，若以坐标原点O为圆心，|F1F2|为直径的圆与该双曲线的左支相交于A，B两点，且△F2AB为正三角形，则双曲线的实轴长为．参考答案：﹣1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据△F2AB是等边三角形，判断出∠AF2F1=30°，进而在RT△AF1F2中求得|AF1|，|AF2|，进而根据双曲线的简单性质求得a可得．【解答】解：∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1=30°，∵|F1F2|=2，∴|AF1|=1，|AF2|=，∴a=，∴2a=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用．属基础题．13.如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1．已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为；塔BB1的高为m．参考答案：；45。考点： 解三角形的实际应用．专题： 应用题；解三角形．分析： 设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，利用从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，可得△A1AC∽△CBB1，即可求出结论．解答： 解：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴，∴AA1?BB1=900，∴3600tanαtan2α=900，∴tanα=，tan2α=，BB1=60tan2α=45．故答案为：，45点评： 本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于中档题．14.设函数，其中，则展开式中的系数为参考答案：略15.对于函数，，对于区间上的任意实数，有如下条件：，其中能使恒成立的条件的序号有_________。（写出你认为成立的所有条件序号）参考答案：（2）（3）16.在等差数列中，若，则该数列的前15项的和为

．参考答案：1517.已知正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，圆O的直径AB=10，弦DE⊥AB于点H，BH=2．（Ⅰ）求DE的长；（Ⅱ）延长ED到P，过P作圆O的切线，切点为C，若PC=2，求PD的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）由已知中弦DE⊥AB于点H，AB为圆O的直径，由垂径定理，我们易得DH=HE，进而由相交弦定理，得DH2=AH?BH，由AB=10，HB=2，代入即可求出DH，进而得到DE的长；（Ⅱ）由于PC切圆O于点C，由切割线定理，我们易得PC2=PD?PE，结合（Ⅰ）的结论和PC=2，代入即可求出PD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵AB为圆O的直径，AB⊥DE，∴DH=HE，∴DH2=AH?BH=（10﹣2）×2=16，∴DH=4，∴DE=2DH=8；（Ⅱ）∵PC切圆O于点C，∴PC2=PD?PE，即（2）2=PD?（PD+8），∴PD=2．【点评】本题考查的知识点是垂径定理，相交弦定理及切割线定理，分析已知线段与未知线段之间的位置关系，进而选择恰当的定义进行求解是解答此类问题的关键．19.（本小题满分15分）设数列的前项和为，且，．（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足：，试证明：当时，必有

①；

②．参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（1）（2）（3）略（1）由分别代入递推式即可得（2）因为，所以即，所以，。（3）①由（2）得所以是正项单调递增数列

当时，

所以，即。②由①得，当时，，，……，所以即

所以所以，即又当，

故当时，。【思路点拨】用代入法求出，根据等比数列求出通项公式，利用求和比较证明。20.（本小题满分10分）《选修4-5：不等式选讲》

已知函数．

（I）证明：；

（II）求不等式的解集．参考答案：解：（1）

当

所以

………5分

（II）由（I）可知，

当的解集为空集；

当；

当.综上，不等式

…………10分21.如图，四边形ABCD是正方形，四边形ABEG是平行四边形，且平面ABCD⊥平面ABEG，AE⊥AB，EF⊥AG于F，设线段CD、AE的中点分别为P、M．（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；（Ⅱ）求证：MP∥平面BCE；（Ⅲ）若∠EAF=30°，求三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，得到EF⊥BC．再由已知证得EF⊥BE，利用线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE；（Ⅱ）设线段AB的中点为N，连接MN，PN．由三角形中位线定理可得MN∥BE，PN∥BC，再由面面平行的判定得平面MNP∥平面BCE，得MP∥平面BCE；（Ⅲ）设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，解三角形可得VM﹣BDP，同理可得VF﹣BCE，则三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比可求．【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，由ABCD为正方形，得BC⊥AB，∴BC⊥平面ABEG，又EF?平面ABEG，∴EF⊥BC．又四边形ABEG为平行四边形，EF⊥AG，∴EF⊥BE，又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，∴EF⊥平面BCE；（Ⅱ）证明：设线段AB的中点为N，连接MN，PN．∵线段CD、AE的中点分别为P、M，∴MN∥BE，PN∥BC，则平面MNP∥平面BCE，故MP∥平面BCE；（Ⅲ）解：设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，∵∠EAF=30°，则EF=，∠AEB=30°，∴BE=2AB=2a，∴=．同理，连接FB，FC，则=．∴VM﹣BDP：VF﹣BCE=1：4．【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．22.如图，已知四边形是正方形，平面，PD∥EA，，,,分别为,,的中点.

（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ)求证：平面平面；（Ⅲ）在线段上是否存在一点,使平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

参考答案：（Ⅰ）见解析(Ⅱ)见解析（Ⅲ）解析：（Ⅰ）证明：因为,分别为，的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.

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